转化与化归思想方法
第九讲 转化与化归
第九讲 转化与化归所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.不等式恒成立问题与函数最值问题的互化〔例1〕已知()lg(1)f x x =+，()2lg(2)g x x t =+(t R ∈).(1)当1t =-时，解不等式()()f x g x ≤；(2)如果[0 1]x ∈，时，()()f x g x ≤恒成立，求参数t 的取值范围.〔例2〕设123(1)()lg x x x x n n af x n++++-+= ，其中a R ∈，*n N ∈，且2n ≥，若当( 1]x ∈-∞，时，()f x 有意义，求a 的取值范围.方程有解问题与函数的值域问题的互化〔例3〕求函数2331x x y =++的值域.⇔方程23310x x a ++-=有实数解，求实数a 的取值范围.⇔方程210x x a ++-=有正数解，求实数a 的取值范围.〔例4〕求函数2y x =.⇔方程20x a =有实数解，求实数a的取值范围.⇔曲线y 2y x a =-有交点时，求实数a 的取值范围.⇔向量(2 1)a =-，与向量(b x = 的数量积的取值范围.参数与变量的转化〔例5〕求对于满足04p ≤≤的所有实数p ，使不等式243x px x p +>+-恒成立的x的取值范围.〔例6〕点00( )M x y ，为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的点，判断直线200x x y y a +=与该圆的位置关系.〔例7〕对任意函数()()f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出{}n x的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的 初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x ，满足 对任意正整数n 均有1n n x x +<；求0x 的取值范围正与反的转化〔例8〕一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为〔例9〕某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）具体与抽象的转化〔例10〕已知函数()tan 4f x a x =+，其中 a b ，为常数，若3[lg(log 10)]5f =，求[lg(lg3)]f 的值.〔例11〕知函数532()lg(sin 8f x x x a x bx cx x =+++-+-，其中 a b ，为常数，若(2) 4.627f -=，求(2)f 的值.一般化，已知函数()()()f x g x h x m =++，其中m 为常数，()g x 是奇函数，()h x 是偶函数，若()f a b =，求()f a -的值.实与虚的转化〔例12〕已知复数z 满足i z 44+-=-，求复数z 的模||z .〔例13〕设0a ≥，在复数集内解方程22||z z a +=〔例14〕如图，正方形ABCD 和ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF上移动，若(0CM BN a a ==<，(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时，MN 的长最小，并求这个最小值.定与动的转化〔例15〕已知a b ≠，且2sin cos 04aa πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，判断连结点2( )a a ，，2( )b b ，的直线与以原点为圆心的单位圆的位置关系.〔例16〕双曲线的一个焦点1(2 12)F -，且过点(7 0)A -，和(7 0)B ，，求双曲线另一个焦点2F 的轨迹方程.整体与局部的转化 〔例17〕“换元法”是将某个代数式看成一个整体并用一个字母取代它，将问题简单化的一种方法，如：“求函数y x =-的最小值”，我们可以用换元法解答如下：令t ，则[0 )t ∈+∞，，21x t =+，221y t t =-+，当1t =，即2x =时，min 0y =.请从函数2x y =；1y x x=+；22y x x =-中任选两个不同的函数编制一道用换元法简化的数学问题，并予以解答.〔例18〕设二次函数)0()(2>++=c c x x x f .若()0f x =有两个实数根1x ，)(212x x x <.（1）求实数c 的取值范围；（2）求12x x -的取值范围；（3）如果存在一个实数m ，使得()0f m <，证明：21x m >+.CEAFBD M N练习：1.已知两条直线12 0y x ax y =-= ：，：，其中a R ∈，当这两条直线的夹角在(0 )2π，内变动时，a 的取值范围是 .2.等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别用n S 和n T 表示，若534+=n nT S n n ，则lim n n na b →∞= . 3.已知实数 x y 、满足512600x y +-=的最小值是 .4.求函数cos y x x =的对称轴、对称中心、单调区间.5. 已知函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且及数列}{n a .使得2，)(1a f ，)(2a f ，…，)(n a f ，24( 1 23 )n n += ，，，构成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n a 的前n 项和为n S ，当01a <<时，求n n S ∞→lim ；（3）若)(n n n a f a b ⋅=，当1a >时，试比较n b 与1+n b 的大小.6.已知实数y x ,满足545422=+-y xy x ，设22y x S +=，求minmax 11S S +的值.7.已知函数23123()n n f x a x a x a x a x =++++ ，*n N ∈，且123 n a a a a ，，，，构成一个数列{}n a ，满足2(1)f n = （1）求数列{}n a 的通项公式，并求1lim +∞→n n n a a ；（2）证明10()13f <<8.设 A B ，是双曲线2212y x -=上的两点，点(1 2)N ，）是线段AB 的中点 （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？9.过点(4 3)P ，的直线 与 x y ，轴的正半轴分别相交于 A B ，，O 为坐标原点，当||||OA OB +最小时，求这个最小值和直线 的方程.10.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由“明文→密文(加密)”，接收方由“密文→明文(解密)”，已知加密规则是：明文 ab c d ，，，对应密文2 2 23 4a b b c c d d +++，，，，例如，明文12 3 4，，，对应的密文是5 7 18 16，，，.当接收方收到密文14 9 23 28，，，时，求解密后得到的明文.。
运用转化与化归的思想方法解题1
运用转化与化归的思想方法解题1方法技巧与总结将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=32，cos B=277，∠ADB=23．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵cos7B=，(0,)Bπ∈，∴sin7B===，∴1sin sin()()727214BAD B ADB∠=+∠⋅-+⋅=，由正弦定理sin sinAD BDB BAD=∠，知1·sin2sinBD BADBAD===∠．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即29422cos3DC CDπ=+-⨯⨯，∴DC2-2DC-5=0，解得1DC=．∴11sin2(12222ADCS AD DC ADC=⋅∠=⨯⨯⨯=，从而12ADE ADCS S==例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点，60EPF︒∠=，则球O的表面积为____________.【答案】6π【解析】由于P-ABC为正三棱锥，故EP FP=，从而△EPF为等边三角形，且边长EF=1.由此可知侧面PAC的高PE=1，故棱长PA=.的正方体可知，P-ABC，从而表面积为6π.故答案为：6π．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a，b满足ab a b=+，则2a b+的最小值为____________．【答案】3+【解析】0,0a b>>，ab a b=+，则111a b+=，1122(2)()333a b a b a b a b b a +=++=++≥+=+当且仅当2a b b a =，即212a =+，1b =时等号成立，所以2a b +最小值是3+．故答案为：3+例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC = ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________【答案】132【解析】16AD BC = ，则1AD = ，如图，建立平面直角坐标系，3,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，5,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭ ，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，[]0,5x ∈，2253152742244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132，所以DM DN ⋅ 的最小值为132.故答案为：132例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）AB ．6πC ．24πD ．【答案】A 【解析】设2PA PB PC x ===，E ，F 分别为PA ，AB 中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC 为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒，CE ∴=12AE PA x ==，在AEC △中，由余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，∴D 为AC 中点，又1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，解得x =，PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，PA ∴，PB ，PC 两两垂直，即三棱锥-P ABC 是以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的一部分；所以球O 的直径2R ==2R =，则球O 的体积34433V R =π=π⨯，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【答案】(0【解析】如图所示，延长AD ，BC 交于E ，平行移动CD ，当C 与D 重合于E 点时，AD 最长，在ABE 中，75A B ∠=∠= ，30E ∠= ，AB =2，由正弦定理可得sin sin AB AE E B =∠∠，即o o 2sin 30sin 75AE =，()o o o o o o o sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30=+=+解得AE 平行移动CD ，到图中AF 位置，即当A 与D 重合时，AD 最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为(0故答案为：(0.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥-P ABC 中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，-P ABC 的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC的距离均为P 到平面ABC 的距离为___________.【答案】22【解析】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ，由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥，过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ，由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：22例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设m ，n ，t 为正数，且345m n t ==，则（）A ．m n t<<B ．n m t <<C ．n t m <<D ．t n m <<【答案】D【解析】令345m n t k ===，则1k >，3log m k =，4log n k =，5log t k =，在平面直角坐标系中画出3log y x =，4log y x =，5log y x =的图象及直线x k =，结合图象知t n m <<．方法二令345m n t k ===，则1k >，易得31log log 3k m k ==，41log log 4k n k ==，51log log 5k t k ==，又当1k >时，函数()log k f x x =在()0,+∞上单调递增，且1345<<<，∴0log 3log 4log 5k k k <<<，∴111log 3log 4log 5k k k >>，即t n m <<．故选：D.。
专题复习5转化与化归
高三数学复习专题(5)――转化与化归思想前置作业1.方法概述：转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等.2•常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题•基础检测：1•已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(x2+ x)—f(2)< 0,则实数x的取值范围为 _____________2.关于x的不等式x2+ 16> mx在x€ [1,10]上恒成立，则实数m的取值范围为 ____________ .3.__________________________________________________________________ 如果实数x, y满足等式(x—2)2+ y2= 3，那么乂的最大值是_________________________________ .x4.设a为第四象限的角，若sin 3 a= ¥，则tan 2 a= ________________ •sin a 52 2 . 2 . 25•已知圆O:x y ^1,圆C: x-2 + y-4 4,由两圆外一点P(a,b)向两圆各引一条切线PA,PB，切点分别为A, B,满足|PA|=|PB|, O为坐标原点，则OP的最小值为_______________ .答案1•解析：依题意，由f(x2+ x) —f(2)<0可得f(x2+ x)<f(2),由f(x)在R上单调递增，即X2+ x<2,得一2<x<1.答案：(一2,1)16 2•解析：由于x q i,10]，原不等式可化为m W x+&.又x + 蛙 2 .' x —= 8,x x当x = 4时，等号成立.所以m W 8,即卩m的取值范围是(一g, 8].答案：( —g, 8]3•解析：原题即为：在圆(x—2)2+ y2= 3上求一点P,使直线斜率最大.如图，显然当直线0P为圆的切线时斜率最大，设此时x轴的夹角为0,则有sin 0= 2，所以tan 9=^34•解析：借助三角变换转化求cos 2 a、sin 2 a,sin 3 a= sin(2 a+ a)= sin 2 a cos a+ cos 2asin a,sin 3a - 2 13•兀=2cos a+ cos 2a= 1+ COS 2 a+ cos 2a= y.4 n•'cos 2 a= 5.又2k n—aV 2k n(k(Z),•'4k n— n <2<4 k ^(k ),•sin 2a=—|./ta n 2a= —35 4答案：—3417.55. -------20电=二心申花―2b^o"^忡的最小值.，则a 的取值范围为高三数学复习专题（5）――转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时， 把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类 已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、 化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转 化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化 的等价.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的 转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等.分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现. 常用 的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段. 题型一向量三角问题的转化 例1：已知向量一a,b ,满足a题型二不等式问题的转化例2:若不等式x 2+ px >4x + p — 3对一切—4< x w 0均成立，求实数 p 的取值范围.b + 2c w 3a ,例3.已知△ ABC 的三边长a , b , c 满足l c + 2a w 3bm的取⑵n =16,求数列乞的最大值和最小值题型三解析几何问题的转化2 2例4•若椭圆C的方程为X+ y= 1，焦点在x轴上，与直线y = kx+ 1总有公共点，求5 m值范围.题型四数列问题的转化例 5.已知数列a* = n -16, b n=(—1)n n -15 ,其中n N(1)求满足a n += b*的所有正整数n的集合3aP 为直线x =3■上一点，△F 2PF 1 是2. 设m>1，在约束条件值范围为 _________ . y > x ,y w mx ,下的目标函数 x + y w 1z = x + my 的最大值小于 2,则实数m 的取题型五函数问题的转化32t — 6例6.已知函数f x = x ax 图象上一点P 1,b 的切线斜率为一3, g x = x 3 + — x 2 —(t + 1)x + 3(t > 0). (1) 求a,b 的值；(2) 当x € [ — 1, 4]时，求f(x)的值域；(3) 当x € [1 , 4]时，不等式f x < g x 恒成立，求实数t 的取值范围.课后作业:2 21. 设F i 、F 2是椭圆E ： a + b = 1(a>b>0)的左、右焦点,底角为30°的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为 ________23.设P 是双曲线7 — y 2= 1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1),3则|FA|+ |PF|的最小值为 _________ .x 24. 已知函数f x = e — 1, g x =— x + 4 x — 3,若有f b = g b ，则b 的取值范围为a — 2ln a 3c — 42 25.若实数a, b, c, d满足 b --------- =— = 1则(a—c) + (b —d)的最小值为__________ .6.若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x+ 3)w f(x) + 3和f(x+ 2) >f(x) + 2,且f⑴=1,贝U f(2 015) = _______ .7•在△ ABC 中，内角/ A、/ B、/ C 所对的边分别为a,b,c，已知sin B(ta nA + tanC) = tan Ata nC.(1)求证：a,b,c成等比数列；(2)若a= 1, c= 2,求厶ABC的面积S.&已知f(x) = log 2(x+ 1)，当点(x, y)是y= f(x)图像上的点时，点g, '是g(x)图像上的点.(1)写出y= g(x)的表达式.(2)当g(x) —f(x) > 0时，求x的取值范围.⑶当x在⑵所给范围取值时，求g(x) —f(x)的最大值.a n + a n+2 —9.如果无穷数列｛a n｝满足下列条件：①2— w a n+1；②存在实数M,使得a.w M ,其中n€ N ,那么我们称数列｛a*｝为Q数列.(1)设数列｛b n｝的通项为b n= 5n—2n，且是Q数列，求M的取值范围；17⑵ 设｛c n｝是各项为正数的等比数列，S n是其前n项和，C3 = [, $3 =[，证明：数列｛S n｝是Q数列；例2:解：解法1 :构造函数f(x) = x2+ (p —4)x —p + 3,解法2 :构造函数f(x) = x2+ (p —4)x —p + 3 = (x —1)(x + p —3)，又f(x) > 0 对一切—1a+2c w 3,1即c 3b + 2w-a a,be c b1 1 + > , 1 +一＞1 a a a a1a> 0, b> 0,c> 0.> 1,p — 4一-- V —4△ V 0或2'或.f (—4)> 0f (0)> 0,4 w x w 0 均成立，而x —1 V 0,.. x + p —3 V 0，…p V 3 —x,.. p V 3. 例3•解析：依题意可知b+ 2c w 3a,c+ 2a w 3b,ja+ b>c, a + c> b, b+ c> a,a> 0, b > 0, c> 0.设x = a, y = c，从而x+ 2y w 3,y+ 2w 3x,有1 + x>y, 1 + y>x, x+ y> 1,x>0, y>0,作出可行域如图阴影部分所示，由图可知bx A V a V X。
转化与化归
4 转化与化归思想方法解读1．转化与化归思想所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解．2．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决3．转化与化归思想常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的．(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证．(10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题得以解决．例题讲解一、特殊与一般的转化例1 在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝λa n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0.求数列{a n}的通项公式．变式训练1e416，e525，e636(其中e为自然常数)的大小关系是____________．二、正难则反的转化与化归例2 已知三条抛物线：y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．变式训练2 已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为____________________．三、抽象问题与具体问题的转化例3 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________．变式训练3 已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时，一定有________(填序号)．①f(x)＜－1；②－1＜f(x)＜0；③f(x)＜1；④0＜f(x)＜1.四、函数、不等式、方程之间的转化 例4 设函数f (x )＝ex －1＋m x(m ∈R)，(1)若f (x )在(1,2)上为单调减函数，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处有极值，且函数g (x )＝f (x )－n 在(0，＋∞)上有零点，求n 的最小值．变式训练4 设g (x )＝px －q x －2f (x )，其中f (x )＝ln x ，且g (e)＝q e －pe －2(e 为自然对数的底数)．(1)求p 与q 的关系；(2)若g (x )在其定义域内为增函数，求p 的取值范围．练习一、填空题1．若方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围为______________．2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．(2010·安徽改编)设5253⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5352⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，5252⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 011)＝________.5．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是___________________．6．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则|OP →|的最小值为 ____.7．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，则m 的取值范围为________．8．(2011·浙江改编)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是________．(填序号)二、解答题 9．设曲线y ＝ax 33＋12bx 2＋cx 在点x 处的切线斜率为k (x )， 且k (－1)＝0，对一切实数x ，不等式x ≤k (x )≤12(x 2＋1)恒成立(a ≠0)．(1)求k (1)的值； (2)求函数k (x )的表达式．10．设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．。
初中数学转化与化归思想——消元
转化与化归思想——消元转化与化归的思想所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。
化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。
数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。
化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
解题方法指导1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：(1)明确化归对象，即对什么问题转化；2)认清化归目标，即化归到何处去；(3)把握化归方法，即如何进行化归；2．运用化归与转化的思想解题的途径：(1)借助函数进行转化；(2)借助方程（组）进行转化；(3)借助辅助命题进行转化；(4)借助等价变换进行转化；(5)借助特殊的数与式的结构进行转化；(6)借助几何特征进行转化。
消元例 用加减法解方程组34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩ 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
①②解：①×3,得9x+12y=48 ③②×2,得10x-12y=66 ④③＋④,得19x=114x=6把x=6代入①，得3×6+4y=164y=-2, y=-1 2所以，这个方程组的解是612 xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
思想方法专题复习 化归与转化思想专题[整理]名师课件
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解法二：f(x)= x+ a +2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的
x
值恒为正，当a>0时函数f(x)递增，
故当x=1时， f(x)min=3+a 于是当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，
5
此时，点M的坐标为（ 3 5 ，2）
2
最小值为 9 a2 9 9 36
c
55
9、已知函数f(x)= x2 2x a , x 1,
（1）
a=
1 2
x
时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范 围。
考查方向：主要考查了函数的单调性，及应用函数知识解决其 他数学问题的能力。
试题分析：本题在解决第二问时，把区间上的不等式的恒成立 问题转化为函数的最值问题来解。
1
1
2
2x
7 2
（2) 解法一：在区间[1，+∞）上，
f(x)= x2 2x a >0恒成立 x2 + 2x + a > 0恒成立 x
设y=x2+2x+a，x∈[1，+∞)，
y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
x
2
y
4
则t＝
x2
y2
2x 2y 2
y 2
的最小值为（ ）
4、转化与化归思想
4 转化与化归思想主线—基础—方法—应用—例题—注意—总结知识清单：知识1 转化与化归思想概述知识2 转化与化归的原则知识1 转化与化归思想概述所谓化归思想就是通过转化，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题，以有利于解决的一种数学思想。
化归思想常常以变换题目的结构形状、变更问题、从反面探究结论等方式出现，前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法。
知识2 转化与化归的原则（1）目标简化原则将复杂的问题向简单的问题转化。
（2）和谐统一性原则即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当。
（3）具体化原则即化归方向应由抽象到具体。
（4）低层次原则即将高维空间问题化归成低维空间问题。
（5）正难则反原则即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
方法清单：方法1 直接转化法方法2 换元转化法方法3 数形结合法转化方法4 构造法转化方法5 坐标法转化方法6 补集法转化方法7 空间与平面间的转化方法8 几何条件转化为向量关系的方法方法9 变更主元的转化法方法10一般式转化为标准式方法1 直接转化法把原问题转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
例1函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是（）方法2 换元转化法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
例2 设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值。
方法3 数形结合法转化研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）的关系，通过互相变化获得转化途径。
例3 已知1,0,0=+≥≥b a b a ，求证225)2()2(22≥+++b a 方法4 构造法转化 “构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
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转化与化归思想方法
Prepared on 22 November 2020
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使
之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将
难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问
题.
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，
如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问
题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手
段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.
1.转化与化归的原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来
解决.
（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问
题的目的，或获得某种解题的启示和依据.
（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.
（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面
去探讨，使问题获解.
2.常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况
转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有
效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.
（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、
不等式问题转化为易于解决的基本问题.
（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相
变换获得转化途径.
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.
（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合
原问题.
随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标
的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数
学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是
揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转
化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化
的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,
这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问
题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，
命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元
向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化
等，都是转化思想的体现.新的教学体制的出现,化归与转化的思想将是贯穿整个
中学教学的一种主要的思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体
会个中的精髓.
关健词
化归；转化；分析；联想
１.化归与转化
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、
类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为
一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解
决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.化归与转
化思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学
问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决
的问题，化归为某个已经解决的问题.从而求得原问题的解决.它的基本形式有：
化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直等等.
化归与转化的思想也不是随时能用,或随便用的,它需要遵循一定的原则,从
而达到转化的正确性,实现这种思想的作用.下面我就来谈谈我对这种方法的理解.
２．化归与转化的原则
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.转化有等价转化和非等价转
化,等价转化的作用就不用说,而不等价转换,如果没明确的附加条件,那就失去它
的价值了.所以化归与转化就需要遵循一定的原则:
熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、
经验和问题来解决.除了及少数的原始知识外,整个中学的数学知识的学习就是在
实现转化为旧的知识而得到的.例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次
方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间的转化等等.
简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解
决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.这个原则大部分学生都知道,
他们都会想把问题简单化,达到求解的过程.这个原则可以在无以记数的数学简便
方法中体现出来.
和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示
的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符
合人们的思维规律.
也就是说整个转化的过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为
边的想象,但也要能被人接受并能理解.体现出现在国家倡导的和谐社会.
直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.这个主要在函数
与图象的联系中体现出来.把某些枯燥乏味的代数问题转化为图形来解决,能直观
的解决问题.
正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题
的反面去探求，使问题获解.反证法的应用把这个原则表现的淋漓尽致,学生能理
解到其中的精髓可是可以受用无穷的,包括在生活中的应用.
现实化原则:所学所用所理解的道理要用于社会实践,同时要满足社会人才的需求.
3．化归与转化的方法
化归与转化的方法,在千变万化的题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就
只讲解几中常用,学生也容易理解的.
直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学
生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续
解决新的问题.
构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不
少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入
进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.
数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形
结合是数学学习的一种重要的思想.
换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要
用于方程的解答.
相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.
实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.
特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可
以说把具体的抽象化了.
数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,
让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.
5总结提炼
数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学的知识解决新问题,并能
总结归纳,化为新的知识并接受,这样才能满足社会人才的需求.化归与转化就是
将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结
为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决
方法和程序的问题，最终求得原问题的解决.懂得化归和转化的基本方向是简单
化、熟悉化、和谐化.化归和转化需要广泛和灵活的联想，联想的基础是扎实的
基础知识、基本技能和基本方法.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本
方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的
桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上
的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间
的本质联系.为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的
结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代
数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题.