2 方程的迭代解法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义 设迭代过程收敛，如果存在正数r和c，使满足
| xn1 | lim c r n | x | n
则称该迭代过程是r阶收敛的或称收敛的阶数为r。 说明：阶数r决定敛散性及收敛速度 当r=1时，称为线性收敛； 当r>1时，称为超线性收敛； 当r=2时，称为平方收敛。
测定收敛收敛阶的方法： 定理3 设迭代函数φ(x)在α邻近有r阶连续导数，且满足
1.3203 1.3242 x 1.3223. 2
二分法的特点： 可以求任意精度的方程的根，但不能求重根、收敛速度慢。
§3
1、迭代原理
简单迭代法
① 将方程 f(x)=0 变形为 x=φ(x) 的等价形式，则 f(x)=0 的根
x*必满足 x* = φ(x*) ，即x*是函数φ(x)的不动点 。
( x) ( y) L x y
则迭代函数在[a,b]上存在唯一不动点，且对任意初值
x0 [a, b], 由迭代公式 xk 1 ( xk ) 产生的数列 xk
收敛于x*, 并有误差估计
*
L | x xk 1 | | xk xk 1 | 1 L k L | x* xk 1 | | x1 x0 | 1 L
作 业
1.课本P34
• 书面作业：第2、5题
• 实验作业：第1、4题（编程计算）
2. 预习§2.4,§2.5
§4
1、公式的构造
牛顿迭代法
设xk是方程 f(x)=0 的一个近似根，把f(x)在xk泰勒展开，有
1 2 f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) f ( )( x xk ) 2! 如果 f ( xk ) 0, 其线性部分 P1 ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk )
例3 用迭代法求方程x3-x-1=0在 x0 1.5 附近的根。 解法一：将方程分解为 x 3 1 x , 建立迭代公式 xn1 3 1 xn 可计算得
n
0 1.5
5
1
6
2
7
3
8
4
xn
n
1.35721 1.33086 1.32588 1.13249
xn 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
则牛顿法收敛。
迭代值含于[a,b]
例5 用牛顿法求
c (c 0).
解： 令 f ( x) x 2 c, 只需求方程 f ( x ) 0 的根。 依牛顿法建立迭代公式
xn1
xn 2 c 1 c xn ( xn ), 2 xn 2 xn
注意：如果c很小，则在迭代到靠近真值时 xn 也较小，而
c 的舍入误差很大，从而导致迭代结果失真。 xn
解决办法：令 c
p m, p 是较大的正数。 m 用上述方法先求出 m ，然后由 c 得到 c 的值。 p
§5
1、弦截公式及其收敛性
对牛顿法的迭代公式
弦截法
f ( xn ) xn 1 x n (n 0,1, 2,) f ( xn ) f ( x n ) f ( x0 ) 代替 f ( xn ), 得到新的迭代公式为 用 xn x0 ( xn x0 ) f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) f ( x0 )
定理1（根的存在定理或零点定理） 设f(x)为区间[a, b]上的 连续函数，如果f(a)f(b)<0, 则[a, b]内至少有一个实根。如果
f(x)在[a, b]上还是单调函数，则仅有一个实根。
描图法：通过研究函数f(x)的单调性、极值等性质，描绘出函 数的略图，大致确定根所在的区间。
扫描法：
反之，称为收敛的。
§3
2、迭代法的几何意义①
y
xn1 ( xn )
yx
x1 x2
y ( x)
O
x2
x1
x0
x
2、迭代法的几何意义②
y
xn1 ( xn )
yx
x2 x1
O
y ( x)
x1 x2
x0
x
2、迭代法的几何意义③
xn1 ( xn ) y ( x)
② 迭代计算：由根的近似值 x0 出发，按照
xn1 ( xn ) (n 0,1, 2,)
进行迭代计算，称上式为迭代公式， x0 , x1 , x2 , 称为迭 代序列，序列的计算过程称为迭代过程，称 x =φ(x)为迭代方 程， φ(x)为迭代函数。 如果
lim xn , 则 x* . n
50 0 50 x
a (e e ) y x [50,50], 2 y(50) y(0) 1, a (e e 2
50 a 50 a
要计算电缆长度，首先要将 右侧方程中的参数a求出。 ——非线性方程求根问题
)
=a +1,
方程 f(x)=0
代数方程：f(x)为有理系数多项式。 超越方程：除代数方程以外的方程。
yx
y
x2 x1
O
x0 x1
x2
x
2、迭代法的几何意义④
y
xn1 ( xn )
yx
y ( x)
O
x3 x1 x0 x2
x
3、迭代法的收敛性
定理1（P22） 设迭代函数f(x)满足
（1）当 x [a, b] 时，有 ( x) [a, b];
（2）存在正常数L<1, 使对任意 x, y [a, b] 都有
xne xn 1 xn1 xn xn , e (1 xn )
取初值 x0 0.5, 计算结果为
n
0
1
2
3
4
xn 0.5 0.57102 0.56716 0.56714 0.56714
（3）牛顿法的收敛性
• 收敛阶为2，重根时收敛阶为1； • 是局部收敛的迭代法
y
y f (wenku.baidu.comx)
例6 求 xex-1=0 的根，要求根的近似值稳定至小数点后第5位。 解：将 xex-1 = 0 分解为 x = e-x, 由画图法确定出其根的范围在 [0.5, 0.6]内。取 x0 0.5, 按照迭代公式 xn1 e xn 计算如下：
n
0 1 2 3 4 5
xn
0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117
xk x* xk xk 1 bk ak
总成立，因而当 xk xk 1
实用的终止条件 或 bk ak 时就有
xk x* .
二分法的算法：
ab , 计算f(x) ① 取[a,b]的中点 x 2 ② 若f(a)f(x)=0,则x就是一个根；若f(a)f(x)>0,则取a=x；
称为弦截公式（单点弦截法）。
(n 1, 2,)
单点弦截法的几何意义
y
A
y f ( x)
A ——不动点
O
x0
x3
x2
x1
x
C
B
单点弦截法的收敛性
注：定理1的条件（2）不易使用，可换成
| ( x) | L 1, x [a, b]
此时，根据微分中值定理有
( x) ( y) | ( x) | x y L x y
说明：
① L越小，收敛速度越快。 ② 实际应用中，若 ( x)连续且 [a, b]较小，可用 | ( x) | 1 代 替定理中的判别式。
n
6 7 8 9 10 11
xn
0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 0.56727
n
12 13 14 15 16 17
xn
0.56707 0.56718 0.56712 0.56715 0.56714 0.56714
取方程的根为0.56714.
4、收敛速度
O
x1
x0 x2
x
牛顿法收敛的充分条件—— 定理5 若f(x)在[a,b]上二阶导数存在，且满足
(1) f (a ) f (b) 0 ——根的存在性 (2) f ( x ) 0 ——根的唯一性 (3) f ( x ) 不变号 (4) 初值 x0 满足 f ( x0 ) f ( x0 ) 0
③ 若b1-a1>ε(预先给定的精度要求)，则对区间[a1,b1]重复 前面的步骤 ；否则结束。
如果经k次对分后，所得的含根区间依次为：
[a, b],[a1, b1 ],[a2 , b2 ],,[ak , bk ]
在 [ak , bk ]中任取一点或取中点作为根的近似值
ak bk xk . 2
到一个有根区间 [ xk , xk 1 ], 同样的方法继续下去，就可以找 出[a,b]内的所有含根区间。 例2.1 略。（P16）
§2
二分法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且仅有一根x*。
二分法的构造原理：
ab , 计算f(x0). ① 取[a,b]的中点 x0 2 ② 检查f(x0)是否与f(a)同号，如果是，则x*在右半区间， 于是令a1=x0, b1=b；否则，根在左半区间，令a1=a, b1=x0.
那么，
1 1 xk x bk ak k 1 (b a ). 2 2
*
* 当给定精度 0 后，要想 xk x , 只要取k满足
1 (b a ) , k 1 2
即
ln(b a) ln k 1. ln 2
由于 ak 或 bk 本身就是 xk , 所以
取方程的根为1.32472.
§3
例3 用迭代法求方程x3-x-1=0在 x0 1.5 附近的根。
3 x x 解法二：将方程分解为 x x 1, 建立迭代公式 n1 n 1,
3
可计算得
n
0
1.5
1
2.375
2
12.398
3
1904
4
6.9024×109
xn
如果迭代序列极限不存在，则称迭代过程为发散的；
若f(a)f(x)<0,则取b=x ③ 若b-a>ε(预先给定的精度要求)，转向①，否则结束。
例2 用对分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的根的初值 （ε=0.5×10-2）。 解：取a=1，b=1.5，注意到f(1)=-1<0，f(1.5)=0.875>0，因此 在[a,b]内至少存在一个根。计算结果 当对分到第7次时，区间长度为0.0039<0.005，满足精度 要求，取
可以近似地表示 f(x)，则f(x)=0 近似地表示为P1(x)=0， 并将其根作为f(x)=0 的新的近似值xk+1，即
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
(k 0,1, 2,)
牛顿法（切线法）的几何意义
y
y f ( x)
O
x2
x1
x0 x
例6 用牛顿法解x=e-x，已知 x* [0.5,0.6]. 解： 因为 f ( x) xe x 1, f ( x) e x (1 x), 依牛顿法建立迭代公式为
定义：满足方程f(x)=0的x值称为方程的根或解，也叫做函数f(x)
的零点。如果f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)≠0，则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根，m>1称为重根。 迭代解法要解决的问题：
（1）判定根的存在性；
闭区间上连续函数的零点定理
（2）确定根的分布范围； 描图法、搜索法 （3）根的精确化。 二分法
第2章
一元非线性方程的解法
§1 引例及问题综述
§2 二分法
§3 简单迭代法
§4 牛顿迭代法
§5 弦截法
§1 引例及问题综述
引例：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一 根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长 y 度。 分析：悬垂链方程为 a 1 x x a a a
( ) ( ) ( r 1) ( ) 0 及 ( r ) ( ) 0,
则该迭代过程是r阶收敛的。（P25）
迭代过程的敛散性与下列因素有关：
① 迭代函数在根附近的性质 ② 初值的选取范围 • 大范围收敛（如对分法）——慢 • 局部收敛（如§4 牛顿法）——快
① 对于给定的f(x)及含根区间[a,b]，从 x0 a 开始，以步长为 ba xi x0 ih(i 0,1,, n); h (n Z ) 在[a,b]内依次取节点： n
② 依次检查 f ( xi ) 的符号，如果发现 f ( xk ) 与 f ( xk 1 )异号，则得
| xn1 | lim c r n | x | n
则称该迭代过程是r阶收敛的或称收敛的阶数为r。 说明：阶数r决定敛散性及收敛速度 当r=1时，称为线性收敛； 当r>1时，称为超线性收敛； 当r=2时，称为平方收敛。
测定收敛收敛阶的方法： 定理3 设迭代函数φ(x)在α邻近有r阶连续导数，且满足
1.3203 1.3242 x 1.3223. 2
二分法的特点： 可以求任意精度的方程的根，但不能求重根、收敛速度慢。
§3
1、迭代原理
简单迭代法
① 将方程 f(x)=0 变形为 x=φ(x) 的等价形式，则 f(x)=0 的根
x*必满足 x* = φ(x*) ，即x*是函数φ(x)的不动点 。
( x) ( y) L x y
则迭代函数在[a,b]上存在唯一不动点，且对任意初值
x0 [a, b], 由迭代公式 xk 1 ( xk ) 产生的数列 xk
收敛于x*, 并有误差估计
*
L | x xk 1 | | xk xk 1 | 1 L k L | x* xk 1 | | x1 x0 | 1 L
作 业
1.课本P34
• 书面作业：第2、5题
• 实验作业：第1、4题（编程计算）
2. 预习§2.4,§2.5
§4
1、公式的构造
牛顿迭代法
设xk是方程 f(x)=0 的一个近似根，把f(x)在xk泰勒展开，有
1 2 f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) f ( )( x xk ) 2! 如果 f ( xk ) 0, 其线性部分 P1 ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk )
例3 用迭代法求方程x3-x-1=0在 x0 1.5 附近的根。 解法一：将方程分解为 x 3 1 x , 建立迭代公式 xn1 3 1 xn 可计算得
n
0 1.5
5
1
6
2
7
3
8
4
xn
n
1.35721 1.33086 1.32588 1.13249
xn 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
则牛顿法收敛。
迭代值含于[a,b]
例5 用牛顿法求
c (c 0).
解： 令 f ( x) x 2 c, 只需求方程 f ( x ) 0 的根。 依牛顿法建立迭代公式
xn1
xn 2 c 1 c xn ( xn ), 2 xn 2 xn
注意：如果c很小，则在迭代到靠近真值时 xn 也较小，而
c 的舍入误差很大，从而导致迭代结果失真。 xn
解决办法：令 c
p m, p 是较大的正数。 m 用上述方法先求出 m ，然后由 c 得到 c 的值。 p
§5
1、弦截公式及其收敛性
对牛顿法的迭代公式
弦截法
f ( xn ) xn 1 x n (n 0,1, 2,) f ( xn ) f ( x n ) f ( x0 ) 代替 f ( xn ), 得到新的迭代公式为 用 xn x0 ( xn x0 ) f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) f ( x0 )
定理1（根的存在定理或零点定理） 设f(x)为区间[a, b]上的 连续函数，如果f(a)f(b)<0, 则[a, b]内至少有一个实根。如果
f(x)在[a, b]上还是单调函数，则仅有一个实根。
描图法：通过研究函数f(x)的单调性、极值等性质，描绘出函 数的略图，大致确定根所在的区间。
扫描法：
反之，称为收敛的。
§3
2、迭代法的几何意义①
y
xn1 ( xn )
yx
x1 x2
y ( x)
O
x2
x1
x0
x
2、迭代法的几何意义②
y
xn1 ( xn )
yx
x2 x1
O
y ( x)
x1 x2
x0
x
2、迭代法的几何意义③
xn1 ( xn ) y ( x)
② 迭代计算：由根的近似值 x0 出发，按照
xn1 ( xn ) (n 0,1, 2,)
进行迭代计算，称上式为迭代公式， x0 , x1 , x2 , 称为迭 代序列，序列的计算过程称为迭代过程，称 x =φ(x)为迭代方 程， φ(x)为迭代函数。 如果
lim xn , 则 x* . n
50 0 50 x
a (e e ) y x [50,50], 2 y(50) y(0) 1, a (e e 2
50 a 50 a
要计算电缆长度，首先要将 右侧方程中的参数a求出。 ——非线性方程求根问题
)
=a +1,
方程 f(x)=0
代数方程：f(x)为有理系数多项式。 超越方程：除代数方程以外的方程。
yx
y
x2 x1
O
x0 x1
x2
x
2、迭代法的几何意义④
y
xn1 ( xn )
yx
y ( x)
O
x3 x1 x0 x2
x
3、迭代法的收敛性
定理1（P22） 设迭代函数f(x)满足
（1）当 x [a, b] 时，有 ( x) [a, b];
（2）存在正常数L<1, 使对任意 x, y [a, b] 都有
xne xn 1 xn1 xn xn , e (1 xn )
取初值 x0 0.5, 计算结果为
n
0
1
2
3
4
xn 0.5 0.57102 0.56716 0.56714 0.56714
（3）牛顿法的收敛性
• 收敛阶为2，重根时收敛阶为1； • 是局部收敛的迭代法
y
y f (wenku.baidu.comx)
例6 求 xex-1=0 的根，要求根的近似值稳定至小数点后第5位。 解：将 xex-1 = 0 分解为 x = e-x, 由画图法确定出其根的范围在 [0.5, 0.6]内。取 x0 0.5, 按照迭代公式 xn1 e xn 计算如下：
n
0 1 2 3 4 5
xn
0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117
xk x* xk xk 1 bk ak
总成立，因而当 xk xk 1
实用的终止条件 或 bk ak 时就有
xk x* .
二分法的算法：
ab , 计算f(x) ① 取[a,b]的中点 x 2 ② 若f(a)f(x)=0,则x就是一个根；若f(a)f(x)>0,则取a=x；
称为弦截公式（单点弦截法）。
(n 1, 2,)
单点弦截法的几何意义
y
A
y f ( x)
A ——不动点
O
x0
x3
x2
x1
x
C
B
单点弦截法的收敛性
注：定理1的条件（2）不易使用，可换成
| ( x) | L 1, x [a, b]
此时，根据微分中值定理有
( x) ( y) | ( x) | x y L x y
说明：
① L越小，收敛速度越快。 ② 实际应用中，若 ( x)连续且 [a, b]较小，可用 | ( x) | 1 代 替定理中的判别式。
n
6 7 8 9 10 11
xn
0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 0.56727
n
12 13 14 15 16 17
xn
0.56707 0.56718 0.56712 0.56715 0.56714 0.56714
取方程的根为0.56714.
4、收敛速度
O
x1
x0 x2
x
牛顿法收敛的充分条件—— 定理5 若f(x)在[a,b]上二阶导数存在，且满足
(1) f (a ) f (b) 0 ——根的存在性 (2) f ( x ) 0 ——根的唯一性 (3) f ( x ) 不变号 (4) 初值 x0 满足 f ( x0 ) f ( x0 ) 0
③ 若b1-a1>ε(预先给定的精度要求)，则对区间[a1,b1]重复 前面的步骤 ；否则结束。
如果经k次对分后，所得的含根区间依次为：
[a, b],[a1, b1 ],[a2 , b2 ],,[ak , bk ]
在 [ak , bk ]中任取一点或取中点作为根的近似值
ak bk xk . 2
到一个有根区间 [ xk , xk 1 ], 同样的方法继续下去，就可以找 出[a,b]内的所有含根区间。 例2.1 略。（P16）
§2
二分法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且仅有一根x*。
二分法的构造原理：
ab , 计算f(x0). ① 取[a,b]的中点 x0 2 ② 检查f(x0)是否与f(a)同号，如果是，则x*在右半区间， 于是令a1=x0, b1=b；否则，根在左半区间，令a1=a, b1=x0.
那么，
1 1 xk x bk ak k 1 (b a ). 2 2
*
* 当给定精度 0 后，要想 xk x , 只要取k满足
1 (b a ) , k 1 2
即
ln(b a) ln k 1. ln 2
由于 ak 或 bk 本身就是 xk , 所以
取方程的根为1.32472.
§3
例3 用迭代法求方程x3-x-1=0在 x0 1.5 附近的根。
3 x x 解法二：将方程分解为 x x 1, 建立迭代公式 n1 n 1,
3
可计算得
n
0
1.5
1
2.375
2
12.398
3
1904
4
6.9024×109
xn
如果迭代序列极限不存在，则称迭代过程为发散的；
若f(a)f(x)<0,则取b=x ③ 若b-a>ε(预先给定的精度要求)，转向①，否则结束。
例2 用对分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的根的初值 （ε=0.5×10-2）。 解：取a=1，b=1.5，注意到f(1)=-1<0，f(1.5)=0.875>0，因此 在[a,b]内至少存在一个根。计算结果 当对分到第7次时，区间长度为0.0039<0.005，满足精度 要求，取
可以近似地表示 f(x)，则f(x)=0 近似地表示为P1(x)=0， 并将其根作为f(x)=0 的新的近似值xk+1，即
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
(k 0,1, 2,)
牛顿法（切线法）的几何意义
y
y f ( x)
O
x2
x1
x0 x
例6 用牛顿法解x=e-x，已知 x* [0.5,0.6]. 解： 因为 f ( x) xe x 1, f ( x) e x (1 x), 依牛顿法建立迭代公式为
定义：满足方程f(x)=0的x值称为方程的根或解，也叫做函数f(x)
的零点。如果f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)≠0，则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根，m>1称为重根。 迭代解法要解决的问题：
（1）判定根的存在性；
闭区间上连续函数的零点定理
（2）确定根的分布范围； 描图法、搜索法 （3）根的精确化。 二分法
第2章
一元非线性方程的解法
§1 引例及问题综述
§2 二分法
§3 简单迭代法
§4 牛顿迭代法
§5 弦截法
§1 引例及问题综述
引例：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一 根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长 y 度。 分析：悬垂链方程为 a 1 x x a a a
( ) ( ) ( r 1) ( ) 0 及 ( r ) ( ) 0,
则该迭代过程是r阶收敛的。（P25）
迭代过程的敛散性与下列因素有关：
① 迭代函数在根附近的性质 ② 初值的选取范围 • 大范围收敛（如对分法）——慢 • 局部收敛（如§4 牛顿法）——快
① 对于给定的f(x)及含根区间[a,b]，从 x0 a 开始，以步长为 ba xi x0 ih(i 0,1,, n); h (n Z ) 在[a,b]内依次取节点： n
② 依次检查 f ( xi ) 的符号，如果发现 f ( xk ) 与 f ( xk 1 )异号，则得