函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)

压轴题题型与方法（选择、填空题）

一、函数与导数 1、抽象函数与性质

主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）

对策与方法：赋值法、特例法、数形结合

【例1】已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2

1

42)(--=x x f

当1＞x 时，()()1,f x af x a R =-∈，a 为常数.下列有关函数()x f 的描

述：

①_x0001_

2=a 时，423=??

?

??f ；

②当，

＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-； ③当0＞a 时，不等式()2

12-

≤x a

x f 在区间[)+∞,0上恒成立；

④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个

数为()2

11n

n -+-. 其中描述正确的个数有（ ）【答案】C

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

故④正确，

【例2】定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，且对任意x ∈R 都有1

()2

f x '<，则不

等式22

1

()2

x f x +>的解集为_________．【答案】(1,1)-

【解析】令1()()2x g x f x +=-，则1()()02g x f x ''=-<，11

(1)(1)0

2g f +=-=，

所以22

1()2x f x +>22

()0(1)111g x g x x ?>=?

22

1()2x f x +>的解集为(1,1)-．

【例3】定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ?∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ）【答案】C

A.??? ??21,0

B.??

?

??1,21 C.()2,1 D.()3,2

【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞ ，都有[]2()log 3f f x x -= ， 由f（x）是定义在(0,)+∞上的单调函数，则2()log f x x -为定值， 设2()log t f x x =- ，则2()log f x x t =+ ， 又由f（t）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2； 则2()log 2f x x =+ ，1

()ln 2

f x x '=

。 因为()()2f x f x '-= ，所以21log 22ln 2x x +-=，

即21

log 0ln 2x x -= ， 令21

()log ln 2h x x x =-

， 因为211(1)log 10ln 2ln 2h =-=-< ，211

(2)log 2102ln 2ln 4h =-=-> ，

所以21

()log ln 2

h x x x =- 的零点在区间(1,2) ，即方程()()2f x f x '-=

的解所在的区间是(1,2) 例

4.（2014湖南理科·Ｔ10）已知函数

221

()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，

则a 的取值范围是 ( ) 【答案】B

A．(

-∞ B．(-∞ C．( D．(

【解析】解法一：由题可得存在()0,0x ∈-∞满足

()()02

2

0001ln 2

x x e x x a +-

=-+-+ ()001ln 2x e x a ?--+-0=,当0x 趋于负无穷小时,()001

ln 2

x e x a --+-趋近于-∞

,

因为函数在定义域内是单调递增的,所以ln a a

解法二：由已知设()0,0x ∈-∞，满足()()02

2

0001ln 2

x x e x x a +-

=-+-+， 即()[]a x e x --=-ln 210，构造函数()=x h ()()()0ln ,2

1<-=-x x x e x

?，

画出两个函数的图象，如图，当()()()0ln <-=x x x ?向右平移

a 个单位，恰好过点()

21,0时，得到()e e a a ===21

,2

1

ln ，

所以e a <。

2、函数零点、方程的根、函数图像交点

对策与方法：函数、方程、不等式三者相互转化；数形结合

【例1】已知函数)(x f 满足)1

()(x f x f =，当[]3,1∈x 时，x x f ln )(=，若在区间

??

?

???331，内，曲线x ax x f x g 与-=)()(轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）【答案】C

A．??? ??e 10， B．??? ??e 210， C．??????e 13ln3， D．??

????e 213ln3，

【解析】法一：设133x ??

∈????

，，则[]113x ∈，，又()11()ln()ln f x f x x x ===-，则

()f x 的图象如图所示，

当0a ≤时，显然不合乎题意；

当0a >时，如图所示，当1

(,1]3

x ∈时，存在一个零点，

当13x <<时，()ln f x x =，可得()ln ,(1,3]g x x ax x =-∈，

则()11ax g x a x x -'=

-=

，若()0g x '<，可得1

x a

>，()g x 为减函数； 若()0g x '>，可得1

x a

<，()g x 为增函数；此时()f x 必须在[]1,3上有两个零

点，

由()()1()03010g a g g ?>??≤??

≤??

，解得ln 313a e ≤<．

法二：当13x <<时，求y=ax与()ln f x x =相切时的a值即可。

【例2】（2015天津高考，理8）已知函数()()2

2,2,

2,2,x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) 【答案】D

（A）7,4??+∞ ??? （B）7,4??-∞ ??? （C）70,4?? ??? （D）7,24??

???

【解析】法一： 由()()2

2,2,2,2,x x f x x x -≤??=?->??得222,0

(2),0x x f x x x --≥??-=?

2,0

()(2)42,

0222(2),2

x x x y f x f x x x x x x x ?-+

=+-=---≤≤??--+->?， 即2

22,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+

=+-=≤≤??-+>?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方

程

()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)

y f x f x =+-的图象的4个公共点，

由图象可知

7

24

b <<. 法二：同一坐标系下作出()y g x =与()2y b f x =--图像，寻找满足已知的条件即可。

【例3】（2014·湖北高考理科·Ｔ10）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数

，当0≥x 时，)3|2||(|21

)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈?x ，)()1(x f x f ≤-，

则实数a 的取值范围为（ ）

A.]61,61[-

B.]66,66[-

C. ]3

1,31[- D. ]33,33[- 【答案】B

解析：

当x ≥0时，f (x )＝???

－x ，0≤x ≤a 2

－a 2

，a 2

2

x －3a 2

，x >2a

2

，

又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示， 利用图像平移可得f (x －1)图像，又?

x ∈R，f (x －1)≤f (x )，

可知4a 2－(－2a 2)≤1?a ∈??????

－66

，66。

【例4】已知函数f（x）周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=

，其中m＞0．

若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）【答案】B

A．（

，） B．（

，

） C．（，） D．（，

）

【解析】∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x 2+=1（y

≥0），

∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，

同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作

出函数其它部分的图象，

由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）2+

=1=1（y≥0）相交，

而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1=1

（y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解， 将 y=代入（x﹣4）2+

=1=1

（y≥0）得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2（t＞0）， 则（t+1）x 2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m 2＞15，且m＞0得 m ，

同样由 y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1=1 （y≥0）由△＜0可计算得

m＜

，

综上可知m∈（）

【例5】已知函数())f x x R =

∈，若关于x 的方程()2()10f x mf x m -+-=恰好

有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）【答案】A

A、11?

? ? ??? B、0? ?? C、111e ??

+ ???， D、1?????

【解析】当0≤x 时，x e

x

x f -=

)(为减函数，0)0()(min ==f x f ； 当0>x 时，x

e x x

f =)(，x

e x x x

f 221)('-=

，则21>x 时，0)('

x f ，

即)(x f 在??? ??21,0递增，在??

?

??+∞,21递减，e e f x f 22)21()(==极大值；

其大致图象如图所示，

令)(x f t =，得012=-+-m mt t ，即0)1)(1(=+--m t t ； 当1=t 时，t x f =)(有一解；若01)()(2=-+-m x mf x f 有四解，则

e e m 2210<

-<，即e

e

m 2211+<<. 3、单调性、极值与最值

【例1】若对任意的正实数t ，函数33()()(ln )3f x x t x t ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）【答案】A

A．1

(,]2

-∞ B．(-∞ C．(-∞ D．(,2]-∞ 【解析】由已知得：22'()3()3(ln )30f x x t x t a =-+--≥恒成立， 即22222(ln )ln 0x t t x t t a -+++-≥对任意实数x成立，所以

2224(ln )8(ln )0,t t t t a +-+-≤

即2

2

2ln ln 20t t t t a -+-≥对任意的正实数t 恒成立，故只需2

(ln )2

t t a -≤的最小

值．

令2(ln )()2t t u t -=(t 0)>， (1)(ln )

'()t t t u t t

--=

， 由于01t <<时，10,ln 0t t t -<->；1t >时，

10,ln 0t t t ->->，

即1t =时，2(ln )()2t t u t -=取得最小1

2

，故选A ．

注意：即求最小值的最小值

【例2】若对,[0,)x y ?∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ）

A．

14 B．1 C．2 D．12 【答案】D．

【解析】∵)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ， 由2

2(1)4x e

ax -+≥，可有x

e a x 2

12-+≤，

令x e x g x 2

1)(-+=，则22

(1)1()x e x g x x ---'=，可得(2)0g '=，且在),2(+∞上()0g x '>，在)2,0[上()0g x '<，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，∴21a ≤，即

2

1

≤

a 。 【例3】若曲线21x y C =：与曲线x ae y C =：2存在公切线，则a 的（ ）【答案】B

A．最大值为

28e B．最大值为24e C．最小值为28e D．最小值为24

e

【解析】设公共切线与曲线1C 切于点211()x x ，，与曲线2C 切于点2

2(e )x x a ，，则

22

2

1121

e 2e x x a x x a x x -==-有解，

将2

12e x x a =代入221121e 2x a x x x x -=-，可得1222x x =-，代入212e x x a =可得224(1)

e

x x a -=，

设4(1)()e x x f x -=

，求导得4(2)

()e

x

x f x -'=，可得()f x 在(12)，上单调递增，()f x 在(2)+∞，上单调递减，

所以max 2

4

()(2)e f x f ==

． 【例4】已知函数()()2

1

ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈?∈?,0,b R a ，使得

()()b g a f =，则a b -的最小值为（ ） 【答案】A

A ．22ln 1+

B．2

2

ln 1- C．12-e D．1-e 【解析】由()()b g a f =可得：21ln 2+=b e a ，令2

1

ln 2+==b e t a ，则2ln t a =，

2

1

-

=t e

b ，

令(t)h =a b -

()()0,2ln 2

1>-=-t t e t f t ，所以'(t)

h ()t e t f t 2121'

-=-，令'(t)h =0得2

1=t ， 所以当??? ??∈21,0t 时(t)h 为减函数，当??

?

??+∞∈,21t 时(t)h 为增函数，所以a b -的

最小值为2

2

ln 1+

． 【例5】直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A，B，则||AB 的最小值为（ ）

A．3 B．2 C．4 D．3

2

【答案】D

【解析】当y a =时，2(1)x a +=，所以12

a

x =-；设方程ln x x a +=的根为t ，所以ln t t a +=， 则12a AB t =-+ln ln 11222

t t t t t +=-+=-+， 设ln ()122t t g t =

-+（0t >），'111

()222t g t t t

-=-=

，令'()0g t =，得1t =， 当'(0,1),()0t g t ∈<；'(1,),()0t g t ∈+∞>，所以min 3

()(1)2

g t g ==，

所以32AB ≥，所以||AB 的最小值为3

2

.

练习

1.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ?∈，都有()()2f x f x '>成立，若

()ln 42f =，则不等式()2

x

f x e >的解是（ ）【答案】A

A. ln 4x >

B. 0ln4x <<

C. 1x >

D. 01x <<

【解析】设函数()()2x e x f x g =，所以()()()222

2

21

???

? ??-'='x x

x e e x f e x f x g ，

根据已知()()x f x f 21

>'，所以()0>'x g ，所以()x g 为单调递增函数，

且()14ln =g ，所以不等式()2

x f x e >等价于()12

>x e

x f ，等价于()()4ln g x g >，

根据()x g 为增函数，所以4ln >x

2.定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：对),0(+∞∈?x ，都有)(2)2(x f x f =；当

]2,1(∈x 时，x x f -=2)(，给出如下结论：

①对Z m ∈?，有0)2(=m f ； ②函数)(x f 的值域为),0[+∞； ③存在Z n ∈，使得9)12(=+n f ；

④函数)(x f 在区间),(b a 单调递减的充分条件是“存在Z k ∈，使得

)2,2(),(1+?k k b a ，

其中所有正确结论的序号是： ．（请将所有正确命题的序号填上）【答案】①②④

【分析】作出()2f x x

=-的图像即可逐一判断 3.（2013·安徽高考理）若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 ( ) 【答案】A

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b,

3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0且方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2， 所以f (x )＝x 1或f (x )＝x 2

.

当x 1是极大值点时，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图1所示 可知方程f (x )＝x 1有2个实根，f (x )＝x 2有1个实根， 故方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．

当x 1是极小值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2

方程f (x )＝x 1有2个实根，f (x )＝x 2有1个实根，故方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．

综上，可知方程3f 2

(x )＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．

4.设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x xg x =，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）【答案】A

A.21(,]e e -∞+

B.21(0,]e e +

C.21

(,)e e ++∞

D.2211

(,]e e e e

--+

显然，(x)h →-∞，

5.已知函数21

()ln (22)(0)4f x x ax a x a a

=++-+>，若存在三个不相等的正实数123,,x x x ，使得

312123

()

()()3f x f x f x x x x ===成立，则a 的取值范围是 ．【

答案】11

(

,)22e