2024广东专插本考试高等数学试题
2024年广东省高考数学真题及参考答案
2024年广东省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
2024广东春季高考数学试卷
2024广东春季高考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {x | x² - 5x + 6 = 0}，则A ∩ B =（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}答案：B。
解析：先求解集合B中的方程x² - 5x+6 = 0，即(x - 2)(x - 3)=0，解得x = 2或x = 3，所以 B = {2, 3}，A ∩ B就是A和B共有的元素，所以A ∩ B = {2, 3}。
2. 函数y = sin(2x + π/3)的最小正周期是（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A。
解析：对于函数y = A sin(ωx+φ)，其最小正周期T = 2π/ω，这里ω = 2，所以T = 2π/2 = π。
3. 若向量a=(1, 2)，向量b=(x, 4)，且a∥b，则x的值为（）A. 2B. - 2C. 1/2D. -1/2答案：A。
解析：两个向量平行，对应坐标成比例，即1/x = 2/4，解得x = 2。
4. 在等差数列{an}中，a1 = 1，d = 2，那么a5等于（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A。
解析：根据等差数列通项公式an=a1+(n - 1)d，这里n = 5，a1 = 1，d = 2，所以a5 = 1+(5 - 1)×2 = 1 + 8 = 9。
二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y = log2(x - 1)的定义域是（）。
答案：(1, +∞)。
解析：对数函数中真数要大于0，即x - 1>0，解得x>1。
2. 过点(1, 2)且斜率为3的直线方程为（）。
答案：y - 2 = 3(x - 1)，即y = 3x - 1。
解析：根据直线的点斜式方程y - y1 = k(x - x1)，这里(x1,y1)=(1,2)，k = 3。
2024广东高职高考《数学》模拟卷含答案
2024广东高职高考《数学》模拟卷含答案一、选择题（每小题4分，共40分）1. 若函数 f(x) = 2x - 3 在区间（2，+∞）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（）A. a > 2B. a ≤ 2C. a ≥ 2D. a < 2答案：B2. 已知函数 f(x) = x² - 2x + 1，下列结论正确的是（）A. 函数在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数在区间（1，+∞）上是增函数C. 函数的图像是开口向下的抛物线D. 函数的图像是开口向上的抛物线答案：B3. 若等差数列的前三项分别为 a, b, c，则第四项的值是（）A. a + b + cB. a + 2b + cC. a + 3b + cD. a + 2b - c答案：D4. 若等比数列的前三项分别为 a, b, c，则第四项的值是（）A. abcB. a²bC. ab²D. a³b²答案：C5. 已知向量 a = (2, 3)，向量 b = (4, -1)，则向量 a + b 的模长是（）A. 3B. 5C. 6D. 7答案：B6. 若矩阵 A = \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，则矩阵 A + B 的值是（）A. \(\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 9\end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 7 & 9\end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}\)答案：A7. 下列关于三角形面积的说法正确的是（）A. 等腰三角形的面积等于底乘以高B. 等边三角形的面积等于底乘以高的一半C. 等腰三角形的面积等于底乘以高的一半D. 等边三角形的面积等于底乘以高答案：C8. 若正多边形边长为 a，则其面积 S 与边长 a 的关系是（）A. S ∝ aB. S ∝ a²C. S ∝ a³D. S ∝ a⁴答案：B9. 若平行线 l₁：x + 2y - 3 = 0，l₂：x - 2y + 3 = 0，则两平行线间的距离 d 是（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C10. 若直线 y = 2x + 1 与圆 x² + y² = 4 相切，则切点的坐标是（）A. (-1, -1)B. (1, 1)C. (-1, 1)D. (1, -1)答案：A二、填空题（每小题4分，共40分）11. 若函数 f(x) = 3x² - 4x + 1 在区间（1，+∞）上是增函数，则实数 a 的取值范围是 _______。
2024年成人高考专升本高等数学真题及答案
2024年成人高考专升本高等数学真题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 1，则 f'(x) 的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数 y = 2x^3 - 3x^2 + 4 在 x = 1 处的切线斜率为（）A. -1B. 1C. 3D. 63. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = |x|D. y = x^44. 设函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求 f(x) 的单调区间。
（）A. (-∞, 1) 和(3, +∞)B. (-∞, 1) 和(2, +∞)C. (1, 3)D. (2, 4)5. 下列积分中，收敛的是（）A. ∫(0, +∞) dx/xB. ∫(-∞, 0) dx/x^2C. ∫(-∞, +∞) dx/x^3D. ∫(0, 1) dx/x^2二、填空题（每题4分，共40分）6. 函数 y = 3x^2 - 2x + 1 的极值点是______。
7. 设函数 f(x) = e^x，求 f'(x) =______。
8. 设函数 f(x) = sin(x)，求 f''(x) =______。
9. 定积分∫(0, π) sin(x) dx 的值是______。
10. 设函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求 f(x) 的拐点坐标______。
三、解答题（每题20分，共60分）11. 设函数 f(x) = x^3 - 6x + 9，求 f(x) 的单调区间和极值。
【参考答案】一、选择题1. C2. D3. A4. A5. B二、填空题6. x = 1/37. e^x8. -sin(x)9. 210. (2, 5)三、解答题11. 【解析】首先求导数 f'(x) = 3x^2 - 6。
令 f'(x) = 0，得x = ±√2。
广东省2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学试卷
广东省2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．记复数z 的共轭复数为z ，若(1i)22i z +=-，则||z =（ ）A ．1B C ．2D ．2．已知集合ππ,Z ,π,Z 22k A x x k B x x k k ⎧⎫⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则（ ）A ．AB = B ．A B ⋂=∅C ．A B ⊆D ．A B ⊇3．双曲线2213x y -=的顶点到其渐近线的距离为（ ）AB ．1CD 4．过(1,0)A -，(0,3)B ，(9,0)C 三点的圆与y 轴交于M ，N 两点，则||MN =（ ） A ．3B ．4C ．8D ．65．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：lg102 2.0086≈，lg99 1.9956≈，lg 20.3010≈）A ．23B ．100C ．150D ．2326．“ππ()4k k α=+∈Z ”是1=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．分别以锐角三角形ABC 的边AB ，BC ，AC 为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之2，则cos B =（ ）A B C D 8．已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（ ）A ．16B ．24C ．32D ．48二、多选题9．已知向量a =r，(cos ,sin )b αα=r ，则下列结论正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则tan α=B ．若a b ⊥r r ，则tan α=C ．若a r 与b r 的夹角为π3，则||3a b -=rrD ．若a r 与b r 方向相反，则b r 在a r 上的投影向量的坐标是1(,2-10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 在[]0,1上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A ．302f ⎛⎫⎪⎝⎭-<B ．403f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．(3)0f <D ．202403f ⎛⎫> ⎪⎝⎭11．已知正方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P 为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．有无数个点P ，使得//AP 平面1BDCB ．有无数个点P ，使得AP ⊥平面1BDCC ．若点P ∈平面11BCC B ，则四棱锥P ABCD -D ．若点P ∈平面11BCC B ，则1AP PC +三、填空题12．随机变量2~(,)X N μσ，若(70)(90)P X P X ≥=≤且(7280)0.3P X ≤≤=，则随机变量X 的第80百分位数是.13．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在区间π7π(,)612上单调，且满足π()16f =-，3π()04f =，则ω=. 14．已知直线l 与椭圆22:132x y C +=在第一象限交于P ，Q 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足||||||||||||||||PM QM PN QN QM PM QN PN +=+，则l 的斜率为.四、解答题15．已知01a <<，函数e ()(0)x aa f x x x -=≠.(1)求()f x 的单调区间.(2)讨论方程()f x a =的根的个数.16．如图，已知圆柱1OO 的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆1O 上异于点C ，D 的任意一点.(1)若点D 到平面ACP 1O P CD ⊥. (2)求OC 与平面ACP 所成角的正弦值的取值范围.17．如图，已知抛物线2:4C x y =，其上有定点(2,1)A -，(6,9)B ，动点P 在抛物线上，且点P 位于点A ，B 之间的曲线段上（不与点A ，B 重合），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)若点P 是AQ 的中点，求点P 的坐标. (2)求证：BQ 无最大值.18．某单位进行招聘面试，已知参加面试的N 名学生全都来自A ，B ，C 三所学校，其中来自A 校的学生人数为(1)n n >.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码(1,2,3,,)k k N =L ，按面试号码k 由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场. (1)求面试号码为2的学生来自A 校的概率.(2)若40N =，10n =，且B ，C 两所学校参加面试的学生人数比为1:2，求A 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A 校所有参加面试的学生完成面试后，B ，C 两校都还有学生未完成面试）的概率.(3)记随机变量X 表示最后一名A 校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A 校学生完成面试所用的时间），()E X 是X 的数学期望，证明：5(1)()1n N E X n +=+. 19．数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量(,)a x y =r ，其模定义为||a r类似地，对于n 行n 列的矩阵111213121222323132333n n nnn a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭LL L M M M M A ，其模可由向量模拓展为12211n n iji j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑（其中ij a 为矩阵中第i 行第j 列的数，∑为求和符号），记作F A ，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵11122221222435a a a a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A，其矩阵模12211nnF ij i j A a ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)*n ∀∈N ，3n ≥，矩阵100000000000nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝L LL M M M M LB，求使F B >n 的最小值. (2)*n ∀∈N ，3n ≥，，矩阵nn =C 22222222111cos cos cos cos cos 0sin sin cos sin cos sin cos sin cos 00sin sin cos sin cos sin cos 0000(1)sin (1)sin cos 000(1)sin n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ------⎛⎫⎪----- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭L LL MM M M M M L L求F C .(3)矩阵，证明：*n ∀∈N ，3n ≥，39F nD n >+.。
广东专插本23年高数大纲
广东专插本23年高数大纲广东省专插本考试是为了方便广东省内中专毕业生升入本科学习而设立的考试。
高等数学是其中一门重要的科目，对于学生的数学素养和综合能力有着重要的影响。
为了帮助考生顺利备考和取得优异成绩，下面将介绍广东专插本23年高数大纲的内容要点和考试要求。
一、数列和数学归纳法1. 数列的概念和性质- 数列的概念和表示方法- 等差数列和等比数列的性质和通项公式- 数列的极限和收敛性2. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想和证明方法- 数学归纳法的应用，如等差数列的求和公式的证明二、函数的基本概念和性质1. 函数的定义和表示- 函数的概念和符号表示- 函数的定义域、值域和图像2. 基本初等函数和常用函数- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的性质和图像- 基本初等函数的复合、反函数和函数的运算三、极限和连续1. 函数的极限- 函数极限的定义和性质- 函数极限的运算法则2. 函数的连续性- 函数连续性的定义和性质- 连续函数的运算法则和连续函数的应用四、导数与微分1. 函数的导数- 导数的定义和性质- 基本初等函数的导数- 导数的四则运算法则和求导法则2. 函数的微分- 微分的定义和性质- 微分的应用，如函数的近似计算和极值判定五、不定积分1. 不定积分的概念和性质- 不定积分的定义和性质- 不定积分的运算法则和基本积分表2. 不定积分的应用- 函数的原函数和定积分的关系- 定积分的性质和计算方法以上内容是广东专插本23年高数大纲的核心要点。
考生在备考过程中应重点掌握数列和数学归纳法、函数的基本概念和性质、极限和连续、导数与微分以及不定积分的相关知识。
通过理解和掌握这些知识点，考生将能够更好地应对广东专插本高数考试。
在备考过程中，考生应注重理论知识的学习和理解，同时加强与实际问题的结合，注重解题技巧和方法的掌握。
可以通过刷题、做习题集、参加模拟考试等方式来提高自己的解题能力和应试水平。
此外，考生还可以参考往年的真题和模拟试题，加强对考试形式和题型的了解，提前适应考试的时间压力和题目难度。
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2024广东专插本考试高等数学试题
2024广东专插本考试高等数学试题
一、选择题
1、下列函数中，在区间(0,1)内为增函数的是： A. y = ln(x + 1) B. y = e^(-x) C. y = sinx D. y = cosx
2、设{an}为等比数列，a1 = 2，公比为q，则a2 等于： A. 2q B. q
C. 1/q
D. q^2
3、下列图形中，面积为S的平行四边形的个数是： A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
二、填空题 4. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (3, -4)，则向量
a 与向量
b 的夹角为__________。
5. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3，则f(-2) = __________。
6. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| = __________。
三、解答题 7. 求函数y = sinx + cosx + sinxcosx + 1的最大值与最小值。
8. 求下列微分方程的通解：dy/dx = y/(x + 1)，其中y(0) = 1。
9. 在等差数列{an}中，已知a1 = 1，S100 = 100a10，求{an}的前n项和Sn的公式。
四、应用题 10. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本40万元，
此外每生产100件产品还需增加投资2万元。
设总收入为R(x)万元，x为年产量，产品以每百件为单位出售，售价为47万元/百件。
若当年产量不足300件时，可全部售出；若当年产量超过300件，则只能销售75%。
试求该公司的年度总收入R(x)的表达式。
五、选做题 11. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3, π/6)、(4, π/3)，求△AOB的面积S。
12. 已知函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。
试求证：存在一点ξ∈[0,1]，使得f(ξ) = -ξ。
六、附加题 13. 求证：在正整数中，n^3 - n一定是6的倍数。
希望这篇文章能帮到大家。
在准备2024年广东专插本考试时，请务必仔细研究每个试题，加深对高等数学的理解和掌握。
祝大家考试顺利！。