等差、等比数列的性质总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=；

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列．

（2） 等差中项：数列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ．

⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*

N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列

（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

1.当项数为偶数n 2时，

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+=

=奇

()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶

()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a S na a ++==奇偶

2、当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=??

-==????

n+1n+1

奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

n

A f n

B =， 则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.

（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+

(10)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由??

?≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001>

1

n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．

或求{}n a 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n +=

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等比数列性质

1. 等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=??≠?≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m

n

m

a q a -=

或n q =3. 等比中项

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

A ab =

或

A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项

互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=?

4. 等比数列的前n 项和n S 公式：

(1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--

11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或为常数，?{}n a 为等比数列

（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n

n a A B

A B =??≠?{}n a 为等比数列

（4） 前n 项和公式：()

'',,','n

n

n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=

如奇数个数成等差，可设为…，

22

,,,,a a

a aq aq q q

…（公比为q ，中间项用a 表示）；

8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时

①等比数列通项公式()1

110n n

n n a a a q q A B A B q

-==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q

②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a

S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-?=-----，

系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?.特别的,当n+m=2k 时,得

2n m k a a a ?=

注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n

k

a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a

b ??{}n n a b (k 为非零常

数) 均为等比数列.

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列

(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列

(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????, 122n n n a a a ++??????,

21223n n n a a a ++???????成等比数列

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,

1S S q

=奇偶,. (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?