全等三角形几种类型(总结)
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【巩固】如图所示, ， , 在 上， 与 相交于 ．图中有几对全等三角形？请一一找出来,并简述全等的理由．
ﻫ
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】(20０8年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图, ， , ．求证: .
【例3】(200８年宜宾市)已知:如图, ， ,求证： ．
【巩固】如图， 、 相交于 点，且 , ，求证: .
全等三角形:能够完全重合的Fra Baidu bibliotek角形就是全等三角形.
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等;
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
3. ，这种对称的图形应用得也较为普遍，
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(4)有公共角的,公共角常是对应角.
(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
全等三角形的判定方法:
(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3）边边边定理(SSＳ):三边对应相等的两个三角形全等．
(4)角角边定理（AＡS）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
【例5】如图,已知 是 上的一点,又 ， ．求证： ．
【例6】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=７，∠ＢAD的角平分线交ＢＣ于点E,EＦ⊥EＤ交ＡB于F,则EＦ=_____＿__＿_．
【例7】如图所示,已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上. ， ．求证： ∥
⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角)．
⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质:
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等;
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
它们具有互逆性.
角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:
１.由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，
（5）斜边、直角边定理(HＬ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
判定三角形全等的基本思路：
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
由全等可得到的相关定理:
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.
板块三、截长补短类
【例1】如图,点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点（点 除外),作 ,射线 与 外角的平分线交于点 , 与 有怎样的数量关系?
【巩固】如图，点 为正方形 的边 上任意一点, 且与 外角的平分线交于点 , 与 有怎样的数量关系?
【例2】如图，ＡＤ⊥AＢ,CB⊥AB，DM=CM= ,ＡD= ,CB= ，∠AＭD=75°，∠BMC=４5°，则AB的长为(）
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】如图，已知 的周长是 , , 分别平分 和 ， 于 ，且 ,求 的面积.
【例2】在 中, 为 边上的点,已知 ， ，求证： ．
【例3】已知 中, , 、 分别是 及 平分线.求证： ．
【例4】已知 中， ， 、 分别平分 和 , 、 交于点 ,试判断 、 、 的数量关系，并加以证明．
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法:
(１)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
（２)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点）,我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】在 、 上各取一点 、 ,使 ,连接 、 相交于 再连结 、 ,若 ,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
【例4】(哈尔滨市２008年初中升学考试)已知：如图, 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ， .求证： .
【例5】已知，如图， , ， ，求证： .
【例6】 、 分别是正方形 的 、 边上的点,且 ．求证: ．
【巩固】 、 、 分别是正方形 的 、 、 边上的点， ， ．求证： .
【例7】在凸五边形中， , , , 为 中点．求证: .
全等三角形与角平分线
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．
全等多边形:能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图,两个全等的五边形,记作：五边形 ≌五边形 .
这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”．
A. Ｂ. C． Ｄ.
【例3】已知:如图,ＡBCD是正方形，∠FAD=∠ＦAE.求证：BE+ＤF=AE.
【例4】如图所示， 是边长为 的正三角形, 是顶角为 的等腰三角形,以 为顶点作一个 的 ,点 、 分别在 、 上，求 的周长．
【例5】五边形ＡBCＤE中,ＡB=AE，BC＋DE=CＤ,∠ABC+∠AED=1８0°,求证：AD平分∠CＤE
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板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】(20０8年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图, ， , ．求证: .
【例3】(200８年宜宾市)已知:如图, ， ,求证： ．
【巩固】如图， 、 相交于 点，且 , ，求证: .
全等三角形:能够完全重合的Fra Baidu bibliotek角形就是全等三角形.
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等;
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
3. ，这种对称的图形应用得也较为普遍，
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(4)有公共角的,公共角常是对应角.
(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
全等三角形的判定方法:
(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3）边边边定理(SSＳ):三边对应相等的两个三角形全等．
(4)角角边定理（AＡS）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
【例5】如图,已知 是 上的一点,又 ， ．求证： ．
【例6】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=７，∠ＢAD的角平分线交ＢＣ于点E,EＦ⊥EＤ交ＡB于F,则EＦ=_____＿__＿_．
【例7】如图所示,已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上. ， ．求证： ∥
⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角)．
⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质:
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等;
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
它们具有互逆性.
角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:
１.由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，
（5）斜边、直角边定理(HＬ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
判定三角形全等的基本思路：
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
由全等可得到的相关定理:
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.
板块三、截长补短类
【例1】如图,点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点（点 除外),作 ,射线 与 外角的平分线交于点 , 与 有怎样的数量关系?
【巩固】如图，点 为正方形 的边 上任意一点, 且与 外角的平分线交于点 , 与 有怎样的数量关系?
【例2】如图，ＡＤ⊥AＢ,CB⊥AB，DM=CM= ,ＡD= ,CB= ，∠AＭD=75°，∠BMC=４5°，则AB的长为(）
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】如图，已知 的周长是 , , 分别平分 和 ， 于 ，且 ,求 的面积.
【例2】在 中, 为 边上的点,已知 ， ，求证： ．
【例3】已知 中, , 、 分别是 及 平分线.求证： ．
【例4】已知 中， ， 、 分别平分 和 , 、 交于点 ,试判断 、 、 的数量关系，并加以证明．
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法:
(１)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
（２)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点）,我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】在 、 上各取一点 、 ,使 ,连接 、 相交于 再连结 、 ,若 ,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
【例4】(哈尔滨市２008年初中升学考试)已知：如图, 、 、 、 四点在同一条直线上， ， ， .求证： .
【例5】已知，如图， , ， ，求证： .
【例6】 、 分别是正方形 的 、 边上的点,且 ．求证: ．
【巩固】 、 、 分别是正方形 的 、 、 边上的点， ， ．求证： .
【例7】在凸五边形中， , , , 为 中点．求证: .
全等三角形与角平分线
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．
全等多边形:能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图,两个全等的五边形,记作：五边形 ≌五边形 .
这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”．
A. Ｂ. C． Ｄ.
【例3】已知:如图,ＡBCD是正方形，∠FAD=∠ＦAE.求证：BE+ＤF=AE.
【例4】如图所示， 是边长为 的正三角形, 是顶角为 的等腰三角形,以 为顶点作一个 的 ,点 、 分别在 、 上，求 的周长．
【例5】五边形ＡBCＤE中,ＡB=AE，BC＋DE=CＤ,∠ABC+∠AED=1８0°,求证：AD平分∠CＤE