高等数学期末考试试卷及答案
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郑州轻工业学院
2007-2008学年第二学期高等数学试卷A
试卷号:A20080630
一、填空题(每题3分,共18分)
1、
[]2
2
()()x f x f x dx -+-=⎰ 。
2、曲面24z xy +=在点)0,2,1(处的切平面方程为
___________________ 。
3、设
10
(,)y
I dy f x y dx =⎰⎰,交换积分次序后,
=I 。
4、曲线积分
=+⎰
C
ds y x )(2
2 ,其中曲线C 为圆周:cos ,sin (02)x a t y a t t π==≤≤
5、设幂级数
1(1)
n
n n a x ∞
=+∑在3x =-时收敛,在1x =时发散,则收敛半径
R = ______ 。
6、已知函数x x e e x
x
cos ,sin ,,-都是某四阶常系数齐次线性微分方程的特解,则该微分方程为 。
二、单项选择题(每题3分,共18分)
1、
(,)lim
x y →=( )
(A )3 (B )6 (C )不存在 (D )∞
2、设(),x
f x dt =
⎰
则(1)f '=( )
(A ) (B )3 (C )36- (D )63- 3、Ω为球:12
2
2
≤++z y x ,则
⎰⎰⎰
Ω
++dv z y x 222=( )
(A )
⎰⎰⎰Ω
dxdydz (B )21
30
sin d d r dr ππθϕϕ⎰
⎰⎰
(C )
21
30
sin d d r dr ππθϕθ⎰
⎰⎰ (D )221
30
sin d d r dr π
πθϕϕ⎰
⎰
⎰
4、微分方程x y =''的经过点(0,1)且在此点与直线12
1
+=x y 相切 的积分曲线为( )
(A) 1613++=
x x y ; (B) 21361
c x c x y ++=; (C) 12
1613++=x x y ; (D) x c x c y 22
1+= 。
5、下列级数中条件收敛的是( ) (A )
n
n n 1)
1(11
∑∞
=+- (B )
21
1
)
1(n
n n
∑∞
=- (C )1)1(1+-∑∞
=n n n n
(D ))1(1)1(1
+-∑∞
=n n n n
6、(化工学院、食工学院同学做)
设区域G 为开区域,函数),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数,则( )不是曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +⎰
在G 内与路径无关
的充分必要条件。 (A )
y
P x Q ∂∂=∂∂ G y x ∈),( (B ) 任取区域G 内任一条闭合曲线C ,有
(,)(,)0C
P x y dx Q x y dy +=⎰
(C )存在一个二元函数),(y x u u =,使得
dy y x Q dx y x P du ),(),(+=
(D )
P Q x y
∂∂=∂∂ G y x ∈),( 6、(物理系、机电学院、电气学院、计算机学院同学做 )
设∑为柱面12
2
=+y x 和0,0,0,1x y z z ====在第一卦限所围成部分的外侧,则曲面积分zdxdy xdydz ydxdz ∑
++⎰⎰=( )
(A )0; (B )4π-
; (C )4
π
; (D )34π。 三.解答题(每题5分,共25分)
1、求
⎰
++40
1
22dx x x
2、设sin()x
z e x y =- , 求 dz
3、判别级数∑
∞
=+++-1
1
1
1
sin
)1(n n n n π
π
是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是
条件收敛?
4、求 2
()(2)L I x y dx y x dy =++-⎰,L 为上半椭圆122
22=+b
y a x 取逆
时针方向。
5、求体积为a 3,而表面积最小的长方体的表面积
四(本题满分7分)
设曲线积分
2()L
xy dx y x dy ϕ+⎰
与路径无关,其中)(x ϕ连续,且有
0)0(=ϕ,计算I =()
()()1120,0xy dx y x dy ϕ+⎰
,
。
五、(本题满分7分)
计算二重积分
2
2min(,1)D
x
y dxdy +⎰⎰,其中D 为01x ≤≤,01y ≤≤
六、(本题满分9分) 求由 x y ln =,x e
y 1
=及0=y 所围成的平面图形的面积,并求该图形
绕x 轴旋转所得的立体体积。