高等数学期末考试试卷及答案

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郑州轻工业学院

2007-2008学年第二学期高等数学试卷A

试卷号:A20080630

一、填空题(每题3分,共18分)

1、

[]2

2

()()x f x f x dx -+-=⎰ 。

2、曲面24z xy +=在点)0,2,1(处的切平面方程为

___________________ 。

3、设

10

(,)y

I dy f x y dx =⎰⎰,交换积分次序后,

=I 。

4、曲线积分

=+⎰

C

ds y x )(2

2 ,其中曲线C 为圆周:cos ,sin (02)x a t y a t t π==≤≤

5、设幂级数

1(1)

n

n n a x ∞

=+∑在3x =-时收敛,在1x =时发散,则收敛半径

R = ______ 。

6、已知函数x x e e x

x

cos ,sin ,,-都是某四阶常系数齐次线性微分方程的特解,则该微分方程为 。

二、单项选择题(每题3分,共18分)

1、

(,)lim

x y →=( )

(A )3 (B )6 (C )不存在 (D )∞

2、设(),x

f x dt =

则(1)f '=( )

(A ) (B )3 (C )36- (D )63- 3、Ω为球:12

2

2

≤++z y x ,则

⎰⎰⎰

Ω

++dv z y x 222=( )

(A )

⎰⎰⎰Ω

dxdydz (B )21

30

sin d d r dr ππθϕϕ⎰

⎰⎰

(C )

21

30

sin d d r dr ππθϕθ⎰

⎰⎰ (D )221

30

sin d d r dr π

πθϕϕ⎰

4、微分方程x y =''的经过点(0,1)且在此点与直线12

1

+=x y 相切 的积分曲线为( )

(A) 1613++=

x x y ; (B) 21361

c x c x y ++=; (C) 12

1613++=x x y ; (D) x c x c y 22

1+= 。

5、下列级数中条件收敛的是( ) (A )

n

n n 1)

1(11

∑∞

=+- (B )

21

1

)

1(n

n n

∑∞

=- (C )1)1(1+-∑∞

=n n n n

(D ))1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

6、(化工学院、食工学院同学做)

设区域G 为开区域,函数),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数,则( )不是曲线积分(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

在G 内与路径无关

的充分必要条件。 (A )

y

P x Q ∂∂=∂∂ G y x ∈),( (B ) 任取区域G 内任一条闭合曲线C ,有

(,)(,)0C

P x y dx Q x y dy +=⎰

(C )存在一个二元函数),(y x u u =,使得

dy y x Q dx y x P du ),(),(+=

(D )

P Q x y

∂∂=∂∂ G y x ∈),( 6、(物理系、机电学院、电气学院、计算机学院同学做 )

设∑为柱面12

2

=+y x 和0,0,0,1x y z z ====在第一卦限所围成部分的外侧,则曲面积分zdxdy xdydz ydxdz ∑

++⎰⎰=( )

(A )0; (B )4π-

; (C )4

π

; (D )34π。 三.解答题(每题5分,共25分)

1、求

++40

1

22dx x x

2、设sin()x

z e x y =- , 求 dz

3、判别级数∑

=+++-1

1

1

1

sin

)1(n n n n π

π

是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是

条件收敛?

4、求 2

()(2)L I x y dx y x dy =++-⎰,L 为上半椭圆122

22=+b

y a x 取逆

时针方向。

5、求体积为a 3,而表面积最小的长方体的表面积

四(本题满分7分)

设曲线积分

2()L

xy dx y x dy ϕ+⎰

与路径无关,其中)(x ϕ连续,且有

0)0(=ϕ,计算I =()

()()1120,0xy dx y x dy ϕ+⎰

五、(本题满分7分)

计算二重积分

2

2min(,1)D

x

y dxdy +⎰⎰,其中D 为01x ≤≤,01y ≤≤

六、(本题满分9分) 求由 x y ln =,x e

y 1

=及0=y 所围成的平面图形的面积,并求该图形

绕x 轴旋转所得的立体体积。

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