基本不等式测试卷
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C．ab有最大值 D．ab有最小值
15．若点A(m，n)在第一象限，且在直线 上，则mn的最大值为_______.
16．设 ， 均为正实数，且 ，则 的最小值为________.
17．已知实数 ， ，且 ，则 的最小值为______．
18．设 ,则 的最大值为________．
19．（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
对于C中，由 ，
当且仅当 ，即 ，即 （不成立），所以不正确；
对于D中，由 ，可得 ，且 ，
可得 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以是正确的.
故选：BD.
13．ABD
A.正实数 满足
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
B.由 且 得 ，
当且仅当 时，等号成立，则 ，故B正确；
C.由 且 得 ，
则 ，故C错误；
即 且 ，解得：
有最小值 ，知 正确.
故选：
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用基本不等式将已知方程化为关于 和 的不等式；易错点是忽略 和 所处的范围，造成求解错误.
15．3
【解析】
【分析】
由点 的位置得出 ，再用基本不等式求mn的最大值.
【详解】
因为点A(m，n)在第一象限，且在直线 上，所以 .
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
20．已知函数 ．
求方程 的实根；
若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数m的最大值．
参考答案
1．C
因为 ，所以 ，
又由基本不等式可得： ，所以 ，
又 ，所以 ，
因此 .
故选：C.
2．D
解：
当且仅当 即 时取等号，
A．如果 ,那么 B．如果 ,那么
C．对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时等Biblioteka Baidu成立
D．对任意正实数 和 ，有 ,当且仅当 时等号成立
4．实数 、 ， ，且满足 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
5．已知a， ，且满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
6．已知直线 恒过定点A，点A也在直线 上，其中 均为正数，则 的最小值为（）
A． B．
C． D．
12．（多选）下列有关说法正确的是（）
A．当 时， ；B．若 ，则
C．函数 的最小值为2
D．若 ，则 的最小值为3
13．（多选）设正实数 满足 ，则下列说法正确的是( )
A． 的最小值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
14．（多选）设 ， 且 ，那么（）
A． 有最小值 B． 有最大值
解：（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时， 取得最小值 ；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
，
函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时， 的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
【点睛】
利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．
＝[（x+1）+y]•2（ ）﹣1
＝2（2 1
≥3+4 7．
当且仅当x ，y＝4取得最小值7．
故选：C．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
8．B
【解析】
【分析】
分析得到直线经过圆心，所以 ，再化简得 ，再利用基本不等式求最小值得解.
【点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题目.
18．
【解析】
【分析】
【详解】
由 两边同时加上
得 两边同时开方即得： （ 且当且仅当 时取“=”），
从而有 （当且仅当 ,即 时，“=”成立）
故填： .
考点：基本不等式.
【名师点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式 转化为 （a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
基本不等式测试卷
1．若 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 有
A．最大值 B．最小值 C．最大值1D．最小值1
3．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（）
所以 (当且仅当 ，即 时，取等号)
所以 ，即
所以mn的最大值为3.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，涉及了点与直线的位置关系，属于中档题.
16．16
【解析】
【分析】
本题是基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于 的不等式，解出最小值．
【详解】
由 ，可化为 ，
对B, ,当且仅当 时取等号.故B正确.
对C, .取等号时 ,又 故不可能成立.故C错误.
对D,因为 ,故 .故D错误.
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题.
12．BD
【解析】
【分析】
结合基本不等式条件，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，当 时， ，则 ，所以不正确；
对于B中，由 ，可得 ，所以 ，所以是正确的；
20．（1）x=0；（2）4
【解析】
【分析】
(1)由题得 ,再解即得.(2)先化简得 ，再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解.
【详解】
（1）
(2)由条件知
所以
而 .
当且仅当f(x)= ,即f(x)=2,x=0时取得最小值.
所以 ,
所以实数m的最大值为4.
【点睛】
(1)本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.
【详解】
由题得圆的方程可以化为 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以直线经过圆心，
所以 ，
即 ，
所以 ，
当且仅当 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．B
.
， 且 ，
19．（1）当 时， 取得最小值 ；（2） ；（3）6；（4）
【解析】
【分析】
（1）直接利用基本不等式计算可得；
（2）先根据 的范围确定 的符号，再由 结合基本不等式的内容可得到函数的最大值．
（3）利用配凑法变形 ，再利用基本不等式计算可得；
（4）利用 与 相乘，展开利用均值不等式求解即可．
【详解】
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
利用a和b的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出．
【详解】
∵ ，
∴ ．
即 ．
当且仅当 时取等号．
∴ 的最小值为
故选：C
6．D
【解析】
试题分析： 变形为 ，所以过定点 ，代入直线得
，当且仅当 时等号成立，取得最小值8
7．C
由x+y＝（x+1）+y﹣1
＝[（x+1）+y]•1﹣1
，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值2.
的最小值为 .
故选B.
10．B
依题意得当 时， 恒成立，
又因为 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，
所以 ，解得 ，因此，实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.
11．AB
对A, ,当且仅当 时取等号.故A正确.
D. ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，化“1”求最值，考查了转化的思想，属于中档题.
14．AD
【解析】
【分析】
将等式变为 和 ，由基本不等式可分别得到关于 和 的不等式，解不等式求得结果.
【详解】
由 得： （当且仅当 时取等号）
即 且 ，解得：
有最小值 ，知 正确；
由 得： （当且仅当 时取等号）
， 均为正实数，
（当且仅当 等号成立）
即 ，
可解得 ，即
故 的最小值为16．
故答案为：16．
【点睛】
解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式 来构造一个新的不等式．
17．4
【解析】
【分析】
首先由 整理得出 ，进一步求得 ，从而得到结果.
【详解】
由 可得： ，
整理得： （当且仅当 ， 时取等号），
故答案为：4．
A．2B．4C．6D．8
7．已知 ，且 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
8．若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的最小值为（）
A． B． C．5D．7
9．已知 ，则 的最小值为（）.
A．9B． C．5D．
10．若对任意正数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．（多选）下列函数中,最小值为2的是( )
故选： ．
3．C
通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为 ,短直角边为 ,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即 ,即 .当 时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
故选C
4．C
， ，
， ， ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是 .
15．若点A(m，n)在第一象限，且在直线 上，则mn的最大值为_______.
16．设 ， 均为正实数，且 ，则 的最小值为________.
17．已知实数 ， ，且 ，则 的最小值为______．
18．设 ,则 的最大值为________．
19．（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
对于C中，由 ，
当且仅当 ，即 ，即 （不成立），所以不正确；
对于D中，由 ，可得 ，且 ，
可得 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以是正确的.
故选：BD.
13．ABD
A.正实数 满足
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
B.由 且 得 ，
当且仅当 时，等号成立，则 ，故B正确；
C.由 且 得 ，
则 ，故C错误；
即 且 ，解得：
有最小值 ，知 正确.
故选：
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用基本不等式将已知方程化为关于 和 的不等式；易错点是忽略 和 所处的范围，造成求解错误.
15．3
【解析】
【分析】
由点 的位置得出 ，再用基本不等式求mn的最大值.
【详解】
因为点A(m，n)在第一象限，且在直线 上，所以 .
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
20．已知函数 ．
求方程 的实根；
若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数m的最大值．
参考答案
1．C
因为 ，所以 ，
又由基本不等式可得： ，所以 ，
又 ，所以 ，
因此 .
故选：C.
2．D
解：
当且仅当 即 时取等号，
A．如果 ,那么 B．如果 ,那么
C．对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时等Biblioteka Baidu成立
D．对任意正实数 和 ，有 ,当且仅当 时等号成立
4．实数 、 ， ，且满足 ，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
5．已知a， ，且满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
6．已知直线 恒过定点A，点A也在直线 上，其中 均为正数，则 的最小值为（）
A． B．
C． D．
12．（多选）下列有关说法正确的是（）
A．当 时， ；B．若 ，则
C．函数 的最小值为2
D．若 ，则 的最小值为3
13．（多选）设正实数 满足 ，则下列说法正确的是( )
A． 的最小值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
14．（多选）设 ， 且 ，那么（）
A． 有最小值 B． 有最大值
解：（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时， 取得最小值 ；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
，
函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时， 的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
【点睛】
利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．
＝[（x+1）+y]•2（ ）﹣1
＝2（2 1
≥3+4 7．
当且仅当x ，y＝4取得最小值7．
故选：C．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
8．B
【解析】
【分析】
分析得到直线经过圆心，所以 ，再化简得 ，再利用基本不等式求最小值得解.
【点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题目.
18．
【解析】
【分析】
【详解】
由 两边同时加上
得 两边同时开方即得： （ 且当且仅当 时取“=”），
从而有 （当且仅当 ,即 时，“=”成立）
故填： .
考点：基本不等式.
【名师点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式 转化为 （a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
基本不等式测试卷
1．若 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 有
A．最大值 B．最小值 C．最大值1D．最小值1
3．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（）
所以 (当且仅当 ，即 时，取等号)
所以 ，即
所以mn的最大值为3.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，涉及了点与直线的位置关系，属于中档题.
16．16
【解析】
【分析】
本题是基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于 的不等式，解出最小值．
【详解】
由 ，可化为 ，
对B, ,当且仅当 时取等号.故B正确.
对C, .取等号时 ,又 故不可能成立.故C错误.
对D,因为 ,故 .故D错误.
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题.
12．BD
【解析】
【分析】
结合基本不等式条件，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，当 时， ，则 ，所以不正确；
对于B中，由 ，可得 ，所以 ，所以是正确的；
20．（1）x=0；（2）4
【解析】
【分析】
(1)由题得 ,再解即得.(2)先化简得 ，再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解.
【详解】
（1）
(2)由条件知
所以
而 .
当且仅当f(x)= ,即f(x)=2,x=0时取得最小值.
所以 ,
所以实数m的最大值为4.
【点睛】
(1)本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.
【详解】
由题得圆的方程可以化为 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以直线经过圆心，
所以 ，
即 ，
所以 ，
当且仅当 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．B
.
， 且 ，
19．（1）当 时， 取得最小值 ；（2） ；（3）6；（4）
【解析】
【分析】
（1）直接利用基本不等式计算可得；
（2）先根据 的范围确定 的符号，再由 结合基本不等式的内容可得到函数的最大值．
（3）利用配凑法变形 ，再利用基本不等式计算可得；
（4）利用 与 相乘，展开利用均值不等式求解即可．
【详解】
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
利用a和b的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出．
【详解】
∵ ，
∴ ．
即 ．
当且仅当 时取等号．
∴ 的最小值为
故选：C
6．D
【解析】
试题分析： 变形为 ，所以过定点 ，代入直线得
，当且仅当 时等号成立，取得最小值8
7．C
由x+y＝（x+1）+y﹣1
＝[（x+1）+y]•1﹣1
，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值2.
的最小值为 .
故选B.
10．B
依题意得当 时， 恒成立，
又因为 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，
所以 ，解得 ，因此，实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.
11．AB
对A, ,当且仅当 时取等号.故A正确.
D. ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，化“1”求最值，考查了转化的思想，属于中档题.
14．AD
【解析】
【分析】
将等式变为 和 ，由基本不等式可分别得到关于 和 的不等式，解不等式求得结果.
【详解】
由 得： （当且仅当 时取等号）
即 且 ，解得：
有最小值 ，知 正确；
由 得： （当且仅当 时取等号）
， 均为正实数，
（当且仅当 等号成立）
即 ，
可解得 ，即
故 的最小值为16．
故答案为：16．
【点睛】
解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式 来构造一个新的不等式．
17．4
【解析】
【分析】
首先由 整理得出 ，进一步求得 ，从而得到结果.
【详解】
由 可得： ，
整理得： （当且仅当 ， 时取等号），
故答案为：4．
A．2B．4C．6D．8
7．已知 ，且 ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
8．若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的最小值为（）
A． B． C．5D．7
9．已知 ，则 的最小值为（）.
A．9B． C．5D．
10．若对任意正数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．（多选）下列函数中,最小值为2的是( )
故选： ．
3．C
通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为 ,短直角边为 ,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即 ,即 .当 时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,
故选C
4．C
， ，
， ， ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是 .