风险厌恶

7.3 风险厌恶的度量(续)
风险厌恶的度量应该是与我们所考虑的风险本身相 联系的。
从他们的定义可以看到，上面引入的绝对和相对风 险厌恶都是相对于小风险而言的，可能不适合面临 大风险时的风险厌恶度量。
在定义风险厌恶度量的同时，我们也得到了对(小) 风险本身的一个度量，即方差。
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(7.1) 也就是说，风险溢价是参与者为了消除风险而愿 意放弃的财富值。
上式定义中的−π ，被称为风险赌博的确定性等
值CE，CE是一个完全确定的收入量，在此收入水
平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的 效用水平。
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7.3 绝对风险厌恶(续)
另外，我们也可以把它定义成参与者因为承担 风险而要求的最小财富值：
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7.3 绝对风险厌恶(续)
很容易验证，对于小风险而言，上面给出的风险
溢价的另一个定义πˆ 与π相同。
式(7.2)给出的风险溢价有一个很直观πˆ 的解释：对 于小风险而言，方差是风险大小的度量。风险溢 价与风险的大小成正比，而比例系数反映了参与 者的风险厌恶程度。
给定某个偏好，若其绝对风险厌恶随财富增加 （减少）而增加（减少），即A′(w) > (<)0，则 我们称之为绝对风险厌恶递增IARA（递减DARA）
如果其相对风险厌恶随财富增加（减少）而增加 （减少），即R′(w) > (<)0，则我们称之为相对 风险厌恶递增IRRA（递减DRRA）
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7.4 风险厌恶的几个例子
下面我们来看看几个关于效用函数及其风险厌恶 度量的例子。
1.线性或风险中性效用函数：u(w)=w A(w)=R(w)=0 风险中性参与者的风险容忍是无穷的。
2.负指数效用函数： u(w)=-e-aw A(w)=a， R(w)=aw 负指数效用函数具有常数绝对风险厌恶(CARA)， 对于一个CARA效用函数，相对风险厌恶随着财 富的增加而增加。
定理7.4: 下面的命题等价(基于上面的假设) 1.A1(w)≥A2(w)， ∀w; 2. u1(u21(z))是凹的; 3. f (·), f (·) 0且f (·) 0使得u1(w) f [u2 (w)] 4.π1≥π2，对所有的w和公平赌博成立。
我们立即可以得到下面的定理： 定理7.1:如果凸的连续偏好由(6.4)式中的期望效 用函数表示，那么相应的效用函数u(·)是凹的。
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7.1 边际效用递减(续)
证明： 我们只考虑如下的消费计划：[c0;c1]=[x;0]。 ∀x>y以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求： u(αx+(1−α) y)>αu(x)+(1−α)u(y) 如果我们用不等式代替严格不等式，显然成立 而当α=0和α=1时也满足
另一个性质是绝对风险厌恶随财富的增加而增加。
也就是说，当参与者的财富越来越多是，对风险
就越来越不能容忍。
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7.4 风险厌恶的几个例子(续)
4.幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) ,, R(w)
w
绝对风险厌恶随财富的增加而递减，相对风险厌
由它们的风险厌恶的度量定义
A(w) 1 , 1 d w/
T(w) 1 d w /
A(w)
风险容忍为线性的。
这是较大的一类效用函数，包括前面例举的所有 类型。作为HARA偏好的特例，有：
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7.4 风险厌恶的几个例子(续)
A(w) 1 , 1 d w/
那么有
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7.2 风险厌恶的定义(续)
U(w+g1) U(w)
pU(w+g1) +(1-p)U(w+g2) U(w+g2)
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0 w+g2 w
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w+g1
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7.2 风险厌恶的定义(续)
那么，
因此(据定义7.1) ，u是凹函数。
意味着u” (·) ≤0，也就是说边际效用是消费的
减函数。边际效用递减意味着当消费水平上升时， 一单位额外消费得到的效用递减。
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7.2 风险厌恶的定义
上一节我们讨论了期望效用函数u(·)的凹性的一 个重要含义是边际效用递减，这一节我们将继续 探讨期望效用函数的另一个重要含义，也就是当 偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意 味着风险厌恶。
第
7 风险厌恶
章
概述
作为偏好的一个基本性质，我们要求它是凸的， 偏好的凸性对参与者的最优消费/组合选择有重 要的影响。这一章我们将进行一些具体研究。
本章从上一章的效用函数出发，了解凸性的经济 意义，引出风险厌恶的概念及其度量。最后考虑 不同偏好所反应的风险厌恶之间的比较。
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T(w) 1 d w /
A(w)
1.风险中性效用函数：d=∞;
2.平方数效用函数：γ=-1且d=1/a; 3.负指效用函数：γ→ ∞且d=1/a; 4.幂指数效用函数：d=0,γ>0且γ≠1;
5.对数效用函数：d=0且γ→1。
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7.4 风险厌恶的几个例子(续)
本章内容框架
7.1 边际效用递减 7.2 风险厌恶的定义 7.3 风险厌恶的度量 7.4 风险厌恶的几个例子 7.5 风险厌恶的比较 7.6 一阶风险厌恶 7.7 本章小结
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7.1 边际效用递减
定义7.1:对于函数u(·)，如果∀x, y 和 α∈[0,1]，有 u(αx+(1−α) y)≥αu(x)+(1−α)u(y) （⇔ uE(x) ≥ Eu(x) ） 则我们称u(·)为凹的。
凹函数⇒风险厌恶
因为u是凹函数，由Jensen不等式，我们有
因此，(据定义7.3)易得参与者是风险厌Fra Baidu bibliotek的。
定理7.3 证明了当偏好可以由期望效用表示时， 凸性（凹函数）意味着风险厌恶。
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7.3 风险厌恶的度量
给出了风险厌恶的一般定义以后，我们很自然的 考虑到如何量化，也就是说我们能否有一个风险 厌恶的度量，可以让我们比较不同参与者或者同 一参与者在不同情况下的风险厌恶程度？
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7.3 相对风险厌恶
Arrow-Pratt 风险厌恶度量是对于给定绝对大小 的风险而定义的。它并不考虑风险对于参与者的 总财富的相对大小。我们也可以考虑如下以总财 富作为基数的赌博和风险溢价：
这里，赌博的盈亏为 w ，是与总财富成比例的。 相应的风险溢价也如此。对于小规模的赌博，我 们有
我们应该很清楚，一切风险的度量都应该与风险 本身有关，对于不同的风险都应该有不同的风险 厌恶度量。
本章节主要是对小风险的情形进行度量，包括绝 对风险度量和相对风险度量。
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风险测量指标
风险贴水
方差 举例：
A
景气 3/18
不景气 期望 1/10 2/14
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7.5 风险厌恶的比较
前面定义的风险厌恶度量反映了参与者对 风险的态度，并且由他们的偏好决定。
这一节我们将考虑如何使用这样的度量来 帮助我们比较不同参与者对风险的态度。
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7.5 风险厌恶的比较(续)
记u1(w)和u2(w)为两个递增的、二阶可微的效 用函数，A1(w)和A2(w)是它们的绝对风险厌恶 系数。
等价 1.6/10
B
4/20 0/0
2/10 1/10
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7.3 绝对风险厌恶(续)
风险厌恶的参与者偏好于确定性支付而不是不确 定性支付。这种偏好的强度可以用风险溢价来衡 量，其定义如下：
定义7.4: 一个参与者参与一个公平赌博所要求的 风险溢价π，定义为
0 ≥ 1 {[u(z ) u(z)] [u(z) u(z )]}
2
如果u是二阶可微的，我2 们可以在上面的不等式
中取极限δ→0，从而得到u” ≤0。
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7.1 边际效用递减(续)
现在我们来考察6.4式的期望效用函数为凹性的经 济含义，u(·)表示的是消费的直接效用，它的一 阶导数u′(·)表示的是消费的边际效用。不满足性 要求u′(·)>0，即边际效用始终为正。偏好的凸性
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7.4 风险厌恶的几个例子(续)
3.平方效用函数：u(w) w 1 w2
2
A(w) a , R(w) aw
1 aw
1 aw
对于该效用函数而言，边际效用为u′(w)=1-aw。
当w>1/a时它就成了负值了，为了保证不满足
性，要限制w不能超过1/a。
E[u(w+ +πˆ )]=u(w) 对于相同的风险而言，πˆ 和π不一定相同。但
是我们将看到，对于小风险而言，他们是一样 的。
一般来说，风险溢价依赖于风险本身，也就是 赌博 的性质。当然，它也依赖于参与者的 风险厌恶程度。
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7.3 绝对风险厌恶(续)
考虑小风险：
恶为常数。具有常数相对风险厌恶(CRRA)的偏
好。其风险容忍对财富是线性的。
5.对数效用函数： u(w)=logw 对数效用函数可以看成是当γ→1时幂指数效用的 极限。因此也属于CRRA类。
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7.4 风险厌恶的几个例子(续)
6.双曲线绝对风险厌恶(HARA)效用函数：直接
这节重点讨论风险厌恶的定义以及它与效用函数 的关系。
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7.2 风险厌恶的定义(续)
定义7.2: 记 为一个不确定的支付。如果 E[ ]=0，则称 为一个公平赌博。
定义7.3: 如果满足 则称效用函数u(·)的参与者是(严格)风险厌恶的
风险厌恶的定义十分清楚。在期望值相同 （⇔E(w+ )=E(w)）的不确定性支付和确定性 支付之间，一个风险厌恶的参与者总是选择后者。
Eg：
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7.2 风险厌恶的定义(续)
定理7.3: 当且仅当u是(严格)凹函数是，参与者是(严 格)风险厌恶的。 证明:
风险厌恶⇒凹函数
∀w1,w2(w1>w2)以及p∈(0,1)，构造如下的伯努利赌
博
，概率为{p,1−p}，且
很明显E[ ]=0。定义 w1= w+g1 ,w2=w+g2 风险厌恶意味着（由定义7.3）
除去客观因素var[ ]，仅留下反映个体主观因素
的部分，我们得到了风险厌恶的度量，记为A(w)，
它的定义如下：
A(w) u(w) u(w)
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7.3 绝对风险厌恶(续)
因为 A(w)是与每单位绝对风险的风险溢价相联 系的，因此也被称为绝对风险厌恶。绝对风险厌 恶不仅依赖于效用函数，它也依赖于财富水平w。 因此我们在风险厌恶的定义中明确地标出其对财 富水平的依赖。通常把绝对风险厌恶的倒数称作 风险容忍系数：
u(αx+(1−α) y)≥αu(x)+(1−α)u(y) 再考虑x和y的关系。 综合以上α，以及x，y的取值情况。可知满足定 义7.1的条件，易得：u是凹的
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7.1 边际效用递减(续)
定理7.2:如果凹函数u(·)还是二阶可微的，那 么u” ≤0 证明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是 凹的意味着u(z) ≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：
定义7.5:当随机变量 的取值范围很小时，称 为风险小的赌博。
一个随机变量的取值范围定义为它的最大值和最 小值之差。对于小风险，通过泰勒展开(7.1)式两 边，我们有等式：
E[u(w g~)] u(w) 1 u(w)E[g~2 ] (g~2 ) u(w) u(w)π(π1)
因此小风险的风险2 溢价为
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7.3相对风险厌恶(续)
这样就可以得到参与者的相对风险厌恶，记作 R(w)，定义为
因此，如果参与者面临的风险是与他的财富成比 例的，相应的风险溢价作为其财富的一部分，是 与他的相对风险厌恶以及风险相对于财富的大小 成比例的。
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