从12颗小球到天平称球

有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。

第一种情况：天平平衡

可以判断次品球在丙组内。从丙组中取出三个球与乙盘中任三个球交换，看天平是否还平衡？（第二次使用天平）

{

又有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。

第一种情况：天平平衡

可以断定丙组中剩下的那个就是次品。

第二种情况：天平不平衡

可以断定刚从丙组中取出的三个球中有一个是次品。且可以判断出次品球是轻还是重！！（看天平乙盘是下降还是上升：下降，次品球重；上升，次品球轻）

要想从三个球中找出哪个是次品球，且已知次品球是轻是重，就不用我说了吧！}

第二种情况：天平不平衡

可以判断出丙组中全为好球。

不失一般性，假设甲盘重，然后从丙组中取出三个球与乙盘中任三个球交换；并将乙盘中剩下的那只球与甲盘中的任一球交换，看天平是否还平衡？（第二次使用天平）

{

又有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。

第一种情况：天平平衡

可以判断出从乙盘中取出的三只球中有一个为次品，且次品球轻。下面最后一步就不用我说了，与上同。

第二种情况：天平不平衡

此时天平不平衡时亦有两种情况：1、不会改变甲乙两盘的原有轻重格局。2、改变甲乙两盘的原有轻重格局。

{

1、可以判断次品球在甲盘剩下的三只球中，且次品球重。下面最后一步就不用我说了，与上同。

2、可以判断从乙盘中与甲盘中交换的两只球中有一只必为次品，但此时不知道次品球是轻还是重。最后一次使用天平是从两只球挑出次品球，应该不用我说了吧。

}

}

称球问题一般会有以下3种变形

变形一n个球，有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次。

变形二n个球，有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次。

变形三n个球，有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次，并判断是轻还是重。

对于上面3种情况，称量k次，最多可以在多少个球中找出坏球来？

答案：

变形一：

变形二：

变形三：

称法体现在下面的证明中：

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变形一

******************************************************************** 变形一n个球，有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次。

天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息，

假设我们要称k次，根据信息理论：

k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2 k>=ln(n)/ln3

这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如已知是轻还是重的情况下，称3次可以从3^3=27个球中找出不同的球出来。

具体称法：每次在待定的n个球中取[(n+2)/3]个球，放在天平左边；[(n+2)/3]个球放在天平右边。

（注：[x]为高斯函数，表示不大于x的最大整数。）

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变形二

******************************************************************** 变形二n个球，有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次。

注：解法来自BBS水木清华站，作者idle

对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。

首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很简单，在此略去

其次，若m<=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。现在来考虑m=k的情况。即共有N(k)= (3^k-1)/2个小球时的情况。

第一次取[3^(k-1)-1]个球按个数等分两份放在天平两端，则：

如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数；所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知

对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。

如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C.

则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。

第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边；3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。

如果左边 > 右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中有坏球，且比标准球重；

如果左边 = 右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中有坏球，且比标准球轻。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两次共k次解决。

如果左边 < 右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样数目的A球中。

此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2).

用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时

只需拿A球和标准球比较以下就行了。因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。

由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。

由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m)<=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数Nmax(m)=(3^m-1)/2。

有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况----该情况已经被反复拿出来讨论过了。

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变形三

******************************************************************** 变形三n个球，有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次，并判断是轻还是重。

注：解法来自南京大学小百合站，作者grass

我们来分析第一次称的三堆球：

(一)若不平衡，我们得到的信息是：

1．坏球在天边上的两堆里；

2．有一堆的球重，一堆轻。

大家往往会忽视第二条信息，实际上这条信息是非常重要的。

若我们知道一些球的轻重关系，我们可以用比不知道这个关系称的次数更少就得出结论。如：若告诉你坏球轻，那么27个球只要三次就够了。

所以我们要研究一下，若我们知道一些球的轻重关系，n次最多可以称出多少个球。我们用函数h(n)表示。

（二）若平衡，则得到的信息是：

1．坏球在剩下的一堆中；

2．有若干个好球可以给我们利用。

第二条信息又是大家容易忽视的。就如12个球，称第一次若平衡，我们就可以用天平上的球作为标准球。

所以我们还要研究一下，若我们有一个标准球，n次最多可以称出多少个球。我们用函