九年级数学上册《垂直于弦的直径》学习型教学案分析
《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计1.知识目标：通过微课讲解学习，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及推论，并会用它解决有关的计算问题；掌握辅助线的作法——作弦心距。
2.能力目标：通过微课讲解学习，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；3.情感目标：通过微课讲解,学生自主学习活动，培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。
教学重点：垂径定理的应用教学难点：垂径定理的题设与结论的区分教学关键：理解圆的轴对称性教学过程：（一）创设情景问题：（课件）同学们，你们对赵州桥了解吗？赵州桥是我国古代劳动人民的智慧结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？【设计意图】：激发学生的学习兴趣，同时对学生进行爱国主义教育，并揭示主题。
（二）自主学习1、圆的轴对称性圆是图形，所在的直线都是它的对称轴，圆有条对称轴。
2、垂径定理：定理：垂直于弦的直径弦，并且弦所对的条弧．符号语言：∵ .∴ .推论：平分弦（）的直径弦，并且弦所对的条弧．符号语言：∵ .∴ .【设计意图】：通过微课讲解教学，培养学生自主学习能力，调动学生学习兴趣，培养学生动眼、动脑、分析、逻辑思维和归纳概括能力。
（三）运用新知【设计意图】强调垂径定理中的两个条件，垂直于弦和直径缺一不可。
变式练习11、如图，ＡＢ是○０的直径，ＣＤ为弦，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｅ，则下列结论中不成立的是（）例2：（轻松闯关）已知⊙O的半径是5cm，圆心O到弦AB的距离是3cm，弦AB= cm【设计意图】：通过学生自主学习、小组合作完成例题的探究，学生通过归纳总结方法，提高分析和归纳的能力，体会合作学习的快乐。
变式练习2：1．如图，在半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm，那么圆心O到弦AB的距离是 cm.例3：（扎实基础）一条排水管的截面如图所示。
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。
人教版九年级数学上册教案：24.1.2垂直于弦的直径
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直于弦的直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规在纸上作出垂直于给定弦的直径。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆心的弦，它不仅平分弦，还垂直于弦。这一性质在解决与圆有关的问题时尤为重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过一个图形示例，展示如何利用垂直于弦的直径性质来求解圆中未知长度或角度。
总的来说，今天的课堂教学有收获也有不足。我将认真反思这些反馈，调整教学策略，以便在接下来的教学中更好地满足学生的需求，帮助他们更有效地学习和掌握数学知识。
人教版九年级数学上册教案：24．1．2垂直于弦的直径
一、教学内容
人教版九年级数学上册教案：24．1．2垂直于弦的直径
1.理解圆的弦和圆的直径的概念；
2.掌握垂直于弦的直径的性质；
3.学会运用垂径定理解决相关问题；
4.能够运用垂径定理进行证明和计算。
教学内：
1.圆的弦和直径的定义；
2.垂直于弦的直径的性质及证明；
-通过实际例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用垂径定理解决相关问题。
举例解释：
-重点讲解直径是如何由弦引申出来的，并强调直径必经过圆心，垂直于弦的特性；
-通过图形示例，让学生直观感受垂径定理的应用，如直径将弦平分，并且垂直于弦的直径将圆分为两个等腰三角形；
人教版数学九年级初三上册 垂直于弦的直径 名师教学教案 教学设计反思
教师姓名杜巧云单位名称周至县二曲初级中学填写时间2020.08.06 学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称垂直于弦的直径难点名称圆是轴对称图形难点分析从知识角度分析为什么难垂径定理推导的基础是圆的轴对称性,而证明圆是轴对称图形,要将证明圆的对称转化为证明点的对称,在证明中又要添加两条半径构造等腰三角形,利用三线合一证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上。
才能证明圆是关于直径所在直线的轴对称图形。
转化、构造、严密推理、符号表达,知识本身就比较复杂。
从学生角度分析为什么难学生能知道圆是轴对称图形,但要将观察猜测所得到的结论进行推理验证,有一定的难度。
当直径与弦垂直时,将圆沿直径对折弦的两个端点会重合,从而得出重合的线段和劣弧,学生由于认知水平,无法准确想像。
学生从圆的轴对称性,抽象出图形、符号、语言形成垂径定理、应用垂径定理,从特殊到一般的思维方法,创新应用的解题方法都有待于教师的引导。
难点敎學方法1.通过几何画板的动点功能以及动画设置,化繁难为简易,化枯燥为趣味,直观演示圆是轴对称,并进行规范的证明,理解并掌握垂径定理。
2.设置两道层次递进的习题,经历垂径定理的应用过程,深刻理解方程思想,建立解题模型。
敎學环节敎學过程导入1.把圆沿着任意一条直径所在的直线对折,重复几次,你有什么发现？2.圆是轴对称图形,如何来证明圆是轴对称图形呢？知识讲解（难点突破）1.明确目的:要证明圆是轴对称图形,就是要证明圆上任意点关于直径所在直线的对称点也在圆上。
如图,设⊙O的直径为CD,点A为圆上点C、D以外的任意一点,过点A做CD⊥AB,交⊙O与B,垂足为M.需证明AM＝BM）2.分析:要证AM＝BM,只要证AM,BM构成的两个三角形全等．因此,只要连接OA,OB或AC,BC即可．证明:如图,连接OA,OB,则OA＝OB,在Rt△OAM和Rt△OBM中,∴Rt△OAM≌Rt△OBM,∴AM ＝BM,∴点A 和点B 关于CD 对称, ∵⊙O 关于直径CD 对称,于是,我们可以得到结论圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
人教版九年级数学上册(教案)24.1.2 垂直于弦的直径
24．1.2垂直于弦的直径教学目标1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．2．能运用垂径定理解决几何证明、计算和作图问题，并会解决一些实际问题．教学重点垂径定理及推论．教学难点发现并证明垂径定理．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、自主学习指向目标1．自读教材第81至83页．2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一垂径定理及其推论．活动一：出示教材第81页“探究”，实践操作，问1：我们知道，圆是轴对称图形，那么圆的对称轴有多少条？圆的任何一条直径都是它的对称轴，这种说法正确吗？问2：如何证明圆是轴对称图形？【展示点评】圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴；因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”．问3：如图，当CD⊥直径AB时，你还可以得到什么结论？【展示点评】符号语言：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴__CE__＝__ED__，__AC＝__AD，__CB＝__BD．(2)垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条孤．符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE＝DE.∵AB是直径，CE＝DE，∴__AB⊥CD__，__AC＝AD，__CB＝BD．【小组讨论】为什么要在垂径定理的推论中，加上“(不是直径)”这一限制条件？【反思小结】学习垂径定理要注意：(1)条件中的“弦”可以是直径．(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二垂径定理的应用活动三：出示教材第82页例2.思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出图形，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？【小组讨论】在解决此类问题中，常作辅助线的方法是什么？【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式__R__2＝__d__2＋__(a,2)__2.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标1．垂直于弦的直径圆的轴对称：________垂径定理：________垂径定理的推论：________利用垂径定理解决问题2．一种辅助线和一种数学思想方法．五、达标检测反思目标1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC ＝__10__.2．若圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为23 cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是__1__cm.第1题图第3题图3．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( A ) A．2 B．3 C．4 D．54．在半径为5 cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD的距离是( D )A．7 cm B．1 cm C．7 cm或4 cm D．7 cm或1 cm六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第89页习题24.1第2，8题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。
《垂直于弦的直径》整体教学设计
Ｃ Ｄ上Ａ Ｂ于 Ｅ 。
节课所 学 的知识 ，我们 大家一 起来 共 同 探究、寻求解决这个 问题 的数学 方法 。
二、导 入新课 ．自主探 究 ．
（ 一 ）圆的轴 对称 性
求证 ： Ａ Ｅ ＝ Ｂ Ｅ，弧 Ａ Ｃ ＝弧 ＢＣ，弧
Ａ Ｄ＝ 弧 Ｂ Ｄ。
言 的准确性和简洁性 ） 。 教师强调 ： １ 、圆有无数 条对称轴 ： ２ 、
结论 ）
知 识与 技能 ： （ １ ） 通过 观察 动 画演
示、动手操 作 实验 ，使 学 生理解 圆 的对
称图形 ： （ ２） 经过 圆心的每一条直线 （ 注： 不能 说直径 ） 都 是 它的对称 轴 ； （ ３）圆 的对 称轴 有无 数条 ； （ ４）圆也 是 中心对 称图形。（ 教师要注意 学生归纳结论 时语
是直径 ”的理 由 ）
称性 ； （ ２ ） 掌 握垂 径 定理 及 其推 论 ，理 解其证 明 ，并 会用 它解决 的相 关的证 明 与计算问题 ： （ ３） 掌握辅助线的作法—— 作弦心距。 过程 与 方法 ： （ １） 经 历 探索 垂径 定 理 及其推论 的过程 ，进 一步 培养学 生观 察 、分 析、归 纳概 括 的能 力 ： （ ２） 向学 生渗透 “ 由特殊到一般 ” 的基本 思想方法。 情感 、态度 与价值 观 ： 结合本 课教 学特点 ，在 教学过 程 中培养 学生 的观察 能力、创 新意识和 良好 的运用数 学 的习
（ 教 师 引 导学 生 通 过 ” 实 验— — 观
提 出问题 ： （ １ ）直 径 Ｃ Ｄ是 否垂 直 且平分弦所对的两条 弧？如何 证明？（ ２） 你 能用一 句话总结 这个 结论 吗？ （ ‘ 即推 论 ： 平分弦 的直径 也垂 直于 弦 ，并 且平 分弦所对的两条弧 ） ； （ ３） 如果 弦 Ａ Ｂ是
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的精炼性和风格的简洁性。板书将包括本节课的主要知识点，如垂径定理的推理过程、圆的性质和垂径定理的应用。在教学过程中的作用是辅助学生理解和记忆知识点，提供清晰的视觉辅助工具。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将注重以下几点：
3.学生分享：邀请一名学生在课堂上分享自己在前置知识中所了解到的垂径定理，以此引发学生对垂径定理的兴趣和思考。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我计划按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.垂径定理的推理过程：通过几何画板软件，动态展示垂径定理的推理过程，让学生直观地感受和理解垂径定理的得出。
1.课堂练习：设计一些相关的课堂练习题目，让学生在课堂上进行练习，及时巩固所学知识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，选取一些实际问题，让学生运用垂径定理进行解决，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
3.个人研究项目：布置一个个人研究项目，让学生选择一个与垂径定理相关的问题进行深入研究，培养学生的独立思考和问题解决能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我计划采取以下方式引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.学生自我评价：让学生对自己在课堂上的学习表现进行自我评价，反思自己在学习中的优点和不足。
2.同伴评价：组织学生进行同伴评价，让学生互相评价对方的学习表现和解答过程，提供反馈和建议。
3.教师评价：教师对学生的学习表现和解答进行评价，给予肯定和鼓励，并提出改进的建议。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题；
九年级数学《垂直于弦的直径》教案
九年级数学《垂直于弦的直径》教案教学目标【知识与技能】：(1)使学生理解圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性；(2)掌握垂直于弦的直径的性质；(3)初步应用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
【过程与方法】：让学生经历“实验―观察―猜想―验证―归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察、分析、归纳问题和解决问题的能力。
【情感态度】：1、经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维；2、通过圆的对称性，渗透对学生的美育教育，并激发学生对数学的热爱；3、通过对定理的推导，培养学生团结合作和敢于猜想勇于探索的科研精神；4、通过对赵州桥历史的了解，感受数学在生活中的运用。
【教学重点】：垂直于弦的直径的性质及其应用。
【教学难点】：1、垂径定理的证明，因为叠合法证题对于学生比较陌生；2、垂径定理的题设与结论的区分，由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏。
【教学关键】：是圆的轴对称性的理解。
教学过程（一）、创设情境，聚焦课题1、复习回顾（1）、圆、弦、弧的有关概念（2）、什么是轴对称图形？（3）、我们学过哪些轴对称图形？2、问题情境导入，由求解赵州桥主桥拱的半径引入课题【教学说明】复习旧知为新课做准备；赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.（二）主导进程，主体发现：1.圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理探究问题2 请同学们完成下列问题：如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.（三）.整合探究，新知生成3、垂径定理及其推论问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问（2）已知直径CD，弦AB且AM=BM（点M在AB上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）提示：分M点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：AB是直径或AB是除直径外的弦来讨论.结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.4、垂径定理三角形关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
九年级数学上册(人教版)24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
五、案例亮点
1.情景创设贴近生活：在导入新课时，我利用了学生熟悉的篮球作为例子，引导学生关注圆的直径，这样的情景创设不仅激发了学生的兴趣，还让他们感受到数学与生活的紧密联系。
九年级数学上册（人教版）24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学上册第二十四章第一节的一部分，即“垂直于弦的直径”。在学习了垂径定理及其推论的基础上，本节内容进一步引导学生探索圆中垂直于弦的直径的性质。通过这一节课的学习，学生需要掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这些性质解决一些与圆相关的问题。
2.利用几何画板等工具，动态展示垂直于弦的直径的性质，帮助学生直观理解，提高他们的空间想象能力。
3.运用合作交流的学习方式，让学生在小组讨论中分享自己的观点，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使他们体验到数学的乐趣，增强对数学学科的学习动力。
2.通过对圆的性质的探究，培养学生热爱科学、追求真理的精神风貌。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实物模型、图片等资源，展示与圆相关的实际情景，激发学生的兴趣。例如，可以展示一个篮球，引导学生观察篮球上的直径，并提出问题：“你们知道篮球上的直径有什么特殊的性质吗？”
2.设计一个有趣的数学问题，引发学生的思考，自然地引入本节课的主题。例如，可以提出问题：“在一个圆中，如果有一条弦和一条直径，它们之间有什么特殊的关系呢？”
2.设计合作活动，促进学生之间的互动和交流。例如，可以组织学生进行圆的模型制作，要求学生合作完成，并在制作过程中引导他们思考和探索垂直于弦的直径的性质。
九年级数学《垂直于弦的直径》教案
九年级数学《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质和定理。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学重难点1.教学重点：垂直于弦的直径的性质和定理。
2.教学难点：垂直于弦的直径定理的应用。
三、教学过程1.导入新课通过一个生活中的实例，如圆桌上的餐具摆放，引导学生思考：在圆中，哪些线段是垂直于弦的？2.探究新知（1）引导学生观察圆中的弦和直径，提问：在圆中，哪些线段可能垂直于弦？（2）学生小组讨论，分享各自的想法。
（3）教师引导学生通过作图，验证垂直于弦的直径的性质。
3.知识讲解（1）讲解垂直于弦的直径的定义和性质，如：直径垂直于弦，则直径平分弦；直径垂直于弦，则弦的中点在圆心等。
（2）讲解垂直于弦的直径定理的证明过程，让学生理解定理的推导。
（3）举例说明垂直于弦的直径定理的应用。
4.练习巩固（1）让学生完成教材上的练习题，巩固垂直于弦的直径的性质和定理。
（2）教师选取一些典型题目，进行讲解和分析，帮助学生掌握解题技巧。
5.拓展提高（1）引导学生思考：垂直于弦的直径定理在解决实际问题中有哪些应用？（2）学生分享自己的学习心得，教师给予评价和指导。
四、课后作业1.完成教材上的课后习题。
2.收集生活中的实例，运用垂直于弦的直径的性质和定理解决实际问题。
五、教学反思1.在课堂导入环节，可以增加更多有趣的实例，激发学生的学习兴趣。
2.在探究环节，可以适当增加学生的动手操作，让学生在实践中发现和掌握知识。
3.在讲解环节，注意语言简练，避免冗长的讲解，让学生更容易理解和接受。
4.在练习环节，可以增加更多变式题目，提高学生的应变能力。
5.在课后作业环节，可以引导学生进行自我评价，让学生了解自己的学习效果。
通过不断反思和改进，相信本节课的教学效果会越来越好。
重难点补充：教学重点：1.垂直于弦的直径性质的讲解和图示。
2.垂直于弦的直径定理的证明和应用。
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九年级数学上册《垂直于弦的直径》学
案分析
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【教学目标】
．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称
性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证
明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——作弦心距。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、
逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生
探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究
的良好品质；
②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并
从数学学习活动中获得成功的体验。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的语言表述。
【教学方法】探究发现法和直观演示法
【教学资源与工具设计】1.每位学生准备几张圆形纸片
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和作图工具；
2.教师准备一张圆形纸片和自制的多媒体；
3．上课环境为多媒体大屏幕环境。
【教学设计】
一、《垂直于弦的直径》教学设计教学活动设计：
二、教学过程设计：
（一）创设情境
引入新课
《垂直于弦的直径》教学设计1．利用多媒体演示赵州
桥图片
同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如
图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）
而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今
已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是
当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的
创造智慧。
⌒
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨
度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的
距离，也叫弓形高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB
所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
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（二）《垂直于弦的直径》教学设计动手实践，发现新
知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，
有方
法的同学请举手。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个
半圆
_______
②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆
心的每
一条_________。
3.板书圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意
一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。
（三）创设情境，探索垂径定理
.画一画
《垂直于弦的直径》教学设计在圆中作图：任意作一条
弦AB；作直径cD，使cD⊥AB，垂足为E。说明cD是垂于弦
的直径。（板书课题：垂直于弦的直径）
2.问题
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
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3.实验
观察
猜想
让学生折叠圆形纸片得出结论，分小组讨论，找出图中
相等的量。
教师在学生充分观察对折后的图片的几何性质后，将学
生分析得到的几何等量关系在黑板上板书，为数学符号语言
翻译定理奠定基础。
4.归纳定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧。
垂径定理的几何语言叙述:
5.议一议《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计如果把定理中的cD⊥AB
换为AE=BE时，那么cD⊥AB吗？《垂直于弦的直径》教学
设计吗？分小组讨论，得出结论，让学生证明后，试着用语
言叙述，用多媒体展示出。
平分弦（
）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
把右图展示给学生，弦AB和cD互相平分，但cD⊥AB
吗？
填出上面的空（非直径）
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推论的符号语言：
∵cD为直径，AE=BE（AB非直径）
∴cD⊥AB
《垂直于弦的直径》教学设计
6.定理的巩固
找一找
在下列哪个图中有《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计《垂直于弦的直径》教学
设计《垂直于弦的直径》教学设计《垂直于弦的直径》教学
设计《垂直于弦的直径》教学设计
（四）例题示范，变式练习
《垂直于弦的直径》教学设计【例1】如图，在⊙o中，
若弦AB的长为8cm，圆心o到AB的距离为3cm，求⊙o的半
径。
分析：因为已知“圆心o到AB的距离为3cm”，
所以要作辅助线oE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结
oA。
解：（略）引导学生归纳：此类问题可以归结为直角三
角形求解。“过圆心作弦的垂线段”，构成三边为“半径半弦
弦心距”（略释弦心距的含义）的直角三角形的“七字口诀”，
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然后结合勾股定理得出三边的数量关系：《垂直于弦的直径》
教学设计
【例2】．
《垂直于弦的直径》教学设计
（五）应用迁移
巩固提高
《垂直于弦的直径》教学设计1.如图是一条排水管的截
面。已知排水管的半径10cm，
水面宽AB=12cm。求水的最大深度.
2.以上是垂径定理在计算中的基本应用方法，那么在证
明题中又能怎样应用定理呢？
展示练习2：如图，已知在两同心圆⊙o中，大圆弦AB
交小圆于c，D，则Ac与BD间可能存在什么关系?
《垂直于弦的直径》教学设计《垂直于弦的直径》教学
设计《垂直于弦的直径》教学设计
例2图
变式1
变式2
这是一道开放性题目，结论并不难猜，有例1做基础，
也很好证明。
变式1，如图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结
论Ac＝BD还成立吗?
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变式2，如图，连结oA，oB，设Ao＝Bo，求证Ac＝BD
变式3，连结oc，oD，设oc＝oD，求证Ac＝BD
《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计
变式3
变式4
变式题组的给出，则利用几何画板的功能，展示出图形
之间的内在关系，增强学生的识图能力，揭示解决问题的关
键--过圆心向弦做垂线。变式题组由A、B层学生抢答，精
彩者上个人英雄榜，调动学生的积极性。
变式4，当弦AB移到与小圆只有一个交点时，Ac与Bc
相等吗?
《垂直于弦的直径》教学设计2.你能找到原来镜子的圆
心吗?
（六）总结反思
拓展升华
.本节学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其
推论。
注意：（1）定理的几种基本图形。
（2）计算中三个量的关系《垂直于弦的直径》教学设
计。
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《垂直于弦的直径》教学设计证明中常用的辅助线——
作弦心距。
2.本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。
思考
如图，⊙o的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个
动点，
那么oP长的取值范围是
。
（七）作业
87页第一题，88页第8，9，10题
（八）板书设计
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