高考数学理试题汇编立体几何

2016年高考数学理试题分类汇编

立体几何

一、选择题

1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A.

16 B.13 C.1

2

D.1 【答案】A

2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为

（A ）π32+31

（B ）π32+

31 （C ）π62+31 （D ）π6

2+1

【答案】C

3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆

中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π

3

，则它的表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

【答案】A

4、（2016年全国I 高考）平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，

α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为

（A ）3（B ）2

（C ）3 （D ）13

【答案】A

5、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C

6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的

是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A ）18365+（B ）54185+（C ）90（D ）81 【答案】B

7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，

若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323

π 【答案】B 二、填空题

1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3

2

arctan ，则该正四棱柱的高等于____________

【答案】2

2

2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．

【答案】

3 3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.

【答案】2

4、（2016年全国II 高考）,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.[ （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα?，那么//m β.

（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④

5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的

表面积是cm 2，体积是cm 3.

【答案】7232

6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.

【答案】

12

三、解答题

1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，

PA PD =，AB AD ⊥，

1AB =，2AD =，5AC CD ==.

（1）求证：PD ⊥平面PAB ；

（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM

AP

的值；若不存在，说明理由.

【解】⑴∵面

PAD 面ABCD AD =

面PAD ⊥面ABCD

∵AB ⊥AD ，AB ?面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ?面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB

⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO

∵CD AC ==∴CO ⊥AD

∵PA PD =

∴PO ⊥AD

以O 为原点，如图建系

易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，

则(11

1)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，

011,120

n PD n n PC ??=???

?=-?

????=??，，则PB 与面PCD 夹角θ有

sin cos ,1

n PB n PB n PB

θ?=<>=

=

⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD

设AM AP

λ=，()0,','M y z

由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=?- ∴()1,,BM λλ=--

∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量 ∴0BM n ?=

O x y z P

A

B

C

D

即102

λλ-

++=

∴1=4

λ

∴综上，存在M 点，即当14

AM

AP

=

时，M 点即为所求.

2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上

底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.

（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =12

AC =2

3，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.

【解】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,， 因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ； 又因为MH//B C ，?BC 平面ABC ，

?MH 平面ABC ，

所以MH//平面ABC ； 所以平面GHM//平面ABC ，

由?GH 平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ，B C AB = OB A ⊥∴O 以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴， 建立空间直角坐标系．

BC AB ,32AC 2

1

FB EF ===

= ， E

F B A

C

G

H

E

F

B A

C O

，

O

x

y

z

3)(22=--='FO BO BF O O ，

于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,， 可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ， 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ， 设二面角A -BC -F 为θ，

则777

1cos ==

=

θ． 二面角A -BC -F 的余弦值为

7

7

． 3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2

3π，11A B 长为3

π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

（1）求三棱锥111C O A B -的体积；

（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。 【解析】

试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 确定1113

π

∠A O B =

．计算111

S ?O A B 后即得.

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，根据11//BB AA ，知1C ∠B B 或其补角为直线

1C B 与1AA 所成的角．确定C 3

π

∠OB =

，C 1B =．得出1C 4

π

∠B B =．

试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为3

π，可知1113

π

∠A O B =

．

111111111113sin 24

S ?O A B =

O A ?O B ?∠A O B =， 111111C 13

V 3S h -O A B ?O A B =?=．

（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ， 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角． 由C A 长为

23π，可知2C 3

π

∠AO =， 又1113

π

∠AOB =∠A O B =

，所以C 3

π

∠OB =，

从而C ?OB 为等边三角形，得C 1B =． 因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ． 在1C ?B B 中，因为1C 2

π

∠B B =

，C 1B =，11B B =，所以1C 4

π

∠B B =，

从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为4

π

．

4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=?，

1

2

BC CD AD ==

，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90?. （I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ， 并说明理由；

（II ）若二面角P CD A --的大小为45?，求直线PA 与

平面PCE 所成角的正弦值.

【解】（I ）延长AB ，交直线CD 于点M ， ∵E 为AD 中点， ∴1

=2AE ED AD =，

∵1=2BC CD AD =，

∴ED BC =，

∵//AD BC 即 //ED BC ，

∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ， ∵AB CD M =， ∴M CD ∈， ∴//CM BE ， ∵BE ?面PBE ， ∴//CM 面PBE ，

∵M AB ∈，AB ?面PAB ，

∴M ∈面PAB 故在面PAB 上可找到一点M 使得//CM 面PBE .

（II ）过A 作AF EC ⊥交EC 于点F ，连结PF ，过A 作AG PF ⊥交PF 于点G ， ∵90PAB =∠，PA 与CD 所成角为90， ∴PA AB ⊥，PA CD ⊥， ∵=AB CD M ，

∴PA ABCD ⊥， ∵EC ?面ABCD ， ∴PA EC ⊥，

∵EC AF ⊥且AF AP A =， ∴CE ⊥面PAF ， ∵AG ?面PAF ， ∴AG CE ⊥，

∵AG PF ⊥且AG AF A =， ∴AG ⊥面PFC ，

∴APF ∠为所求PA 与面PCE 所成的角， ∵PA ⊥面ABCD ，=90ADC ∠即AD DC ⊥.

∴PDA ∠为二面角P CD A --所成的平面角, 由题意可得=45PDA ∠，而=90PAD ∠, ∴PA AD =,

∵BC CD

=,四边形BCDE是平行四边形，=90

ADM

∠，∴四边形BCDE是正方形，

∴45

BEC =

∠，

∴=45

AEF BEC =

∠∠，

∵90

AFE=

∠，

∴2

=

2

AF AE，

∴

2

2

4

tan==

AD

AF

APF

AP AP

=

∠

，

∴1

sin=

3

APF

∠.

5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=2

3

HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

【解析】（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI，

∵矩形OBEF,∴EF OB

∥

∵G、I是中点，∴GI是ABD

△的中位线

∴GI BD

∥且1

2

GI BD

=

∵O是正方形ABCD中心

∴1

2

OB BD

=

∴EF GI ∥且EF GI =

∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG FI ∥

∵FI ?面ADF ∴EG ∥面ADF

（Ⅱ）O EF C --正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系O xyz -

z x

A

()00

B ，

，)00

C ，

，()02

E ，，()002

F ，，

设面CEF 的法向量()1n x y z =，，

(

)(

)

(

)(

)

110000220n EF x y z n CF x y z z ??=?==?

?

?=?=+=??

，，，，，

得：01x y z ?=?

=??=?

∴(

)

1201n =，，

∵OC ⊥面OEF ，

∴面OEF 的法向量()

2100n =，，

121212

2cos 3n n n n n n ?<>=

=

=

，

12sin 1n n <>=， （Ⅲ）∵23

AH HF =

∴()

224020555AH AF ?

===????

，，