高中数学数列99道大题带答案(2020年九月整理).doc
数列综合大题
1、在数列中,已知(.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)求数列的前项和.
2、己知数列的前n项和为,,当n≥2时,,,成等差数列. (1)求数列的通项公式;
(2)设,是数列的前n项和,求使得对所有
都成立的最小正整数.
3、已知等比数列中,
求的通项公式;
令求数列{}的前项和
4、数列中,,(是不为零的常数,),且
成等比数列.
(1)求的值;
(2)求的通项公式; (3)若数列的前n项之和为,求证∈。
5、四川省广元市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米?
(2)到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%吗?为什么
(参考数据:1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)
6、设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a 9 =-2,S 8 =2.
(1)求首项a1和公差d的值;
(2)当n为何值时,S n最大?并求出S n的最大值.
7、设数列的前项和为,,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设是数列的前项和,求.
8、设数列{a n}是等差数列,数列{b n}的前n项和S n满足且
(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式:
(Ⅱ)设T n为数列{S n}的前n项和,求T n.
9、已知数列的前项和(为正整数)。
(1)令,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,,求使得成立的最小正整数
,并证明你的结论.
10、已知等差数列满足:
(1)求数列的前20项的和;
(2)若数列满足:,求数列的前项和.
11、数列{}的前n项和为,,.
(1)设,证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前项和;
(3)若,.求不超过的最大整数的值。
12、已知数列的前项和为,若,,
.
(1)求数列的通项公式:
(2)令,.
①当为何正整数值时,;
②若对一切正整数,总有,求的取值范围.
13、已知各项均不相等的等差数列的前三项和为18,是一个与无关
的常数,若恰为等比数列的前三项,
(1)求的通项公式.
(2)记数列,的前三项和为,求证:
14、已知数列为等比数列, 其前项和为, 已知, 且对于任意
的有, , 成等差;求数列的通项公式;
15、已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.
(1)若,,求数列的前项和;
(2)若存在正整数,使得.试比较与的大小,并说明理由.
16、已知等比数列的所有项均为正数,首项=1,且成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列{}的前项和为,若=,求实数的值.
17、设等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求的通项公式;
(3)求数列前项和.
18、已知数列的前项和为,对于任意的恒有
(1)求数列的通项公式
(2)若证明:
19、数列满足.
(1)计算,,,,由此猜想通项公式,并用数学归纳法证明此猜想;
(2)若数列满足,求证:.
20、设是定义在上恒不为零的函数,对任意实数、,都有
,若,(),则数列的前项和
的取值范围是()
A.B.C.D.
21、已知二次函数
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若,记为数列的前项和,且,),点
在函数的图像上,求的表达式.
22、已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差
数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 证明.
23、给定常数,定义函数,数列满足
.
(1)若,求及;
(2)求证:对任意,;
(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.
24、设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 推导的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
25、设等差数列的前项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,且 (为常数),令
,求数列的前项和。
26、已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且,,成等比数列. (Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求+a4+a7+…+a3n-2.
27、等差数列中,
(I)求的通项公式;
(II)设,求数列的前n项和.
28、等差数列的前n项和为.已知,且成等比数列,求
的通项公式.
29、已知数列的前项和
(1)求数列的通项公式; (2)求的最小值。
30、已知已知是等差数列,期中,
求: 1.的通项公式
2.数列从哪一项开始小于0?
3.求
31、设为数列{}的前项和,已知,2,N (Ⅰ)求,,并求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}的前项和。
32、设各项均为正数的数列的前项和为,满足
且构成等比数列.
(1) 证明:;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
33、设数列:,即当
时,记.记.
对于,定义集合是的整数倍,,且.
(1)求集合中元素的个数;
(2)求集合中元素的个数.
34、设是首项为,公差为的等差数列(),是前项和. 记
,,其中为实数.
(1)若,且,,成等比数列,证明:;
(2)若是等差数列,证明.
35、设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
36、已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A n,第n项之后各项,…的最小值记为B n,d n=A n-B n.
(I)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意
n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;
(II)设d为非负整数,证明:d n=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a n}为公差为d 的等差数列;
(III)证明:若a1=2,d n=1(n=1,2,3…),则{a n}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
37、设数列满足,,且对任意,函数
满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
38、给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后
项的最小值记为,.
(Ⅰ)设数列为,,,,写出,,的值;
(Ⅱ)设是公比大于的等比数列,且.证明:
是等比数列.
(Ⅲ)设是公差大于的等差数列,且,证明:
是等差数列.
39、已知等差数列的公差=1,前项和为.
(I)若;
(II)若
40、已知数列是等差数列,且,.
⑴求数列的通项公式;
⑵令,求数列的前项和.
41、等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列。
(1)求{}的公比q;(2)求-=3,求
42、已知数列是首项的等比数列,其前项和中,、、成
等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列{}的前项和为;
(3)求满足的最大正整数的值.
43、已知等差数列的前项和为,且,
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
44、已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n是S n与2的等差中项,数列{a n}中,b1=1,点P(b n,b n+1)在直线x-y+2=0上.
(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式a n和b n;
(Ⅱ)设c n=a n?b n,求数列{c n}的前n项和T n
45、在数列中,已知.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列是等差数列;
(Ⅲ)设数列满足,求的前n项和.
46、设数列的前n项和为已知
(Ⅰ)设证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)证明:.
47、等差数列的公差为,且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
48、数列{}的前n项和为,,.
(1)设,证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前项和;
49、已知数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)设,求数列的通项公式。
50、对于给定数列,如果存在实常数使得对于任意
都成立,我们称数列是“数列”.
(Ⅰ)若,,,数列、是否为“数列”?若
是,指出它对应的实常数,若不是,请说明理由;
(Ⅱ)证明:若数列是“数列”,则数列也是“数列”;
(Ⅲ)若数列满足,,为常数.求数列
前项的和.
51、设数列是等差数列,是各项均为正数的等比数列,且
(1)求数列的通项公式;
(2)若为数列的前项和,求.
52、设数列的前项和为,对任意的,都有,且
;数列满足. (Ⅰ)求的值及数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:对一切成立.
53、设为等差数列,是等差数列的前项和,已知,. (1)求数列的通项公式;(2)为数列的前项和,求.
54、定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称
为“三角形”数列.对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个“三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数”,.
(Ⅰ)已知是首项为2,公差为1的等差数列,若是数列的“保三角形函数”,求k的取值范围;
(Ⅱ)已知数列的首项为2010,是数列的前n项和,且满足
,证明是“三角形”数列;
(Ⅲ)根据“保三角形函数”的定义,对函数,,和数列1,,,()提出一个正确的命题,并说明理由.
55、设数列为等差数列,且a 3=5,a5=9;数列的前n项和为S n,且
S n+b n="2."
(1)求数列,的通项公式;
(2)若为数列的前n项和,求.
56、已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并求的值. 57、(1)已知等差数列{a n}的公差d > 0,且是方程x2-14x+45=0的两根,求数列通项公式(2)设,数列{b n}的前n项和为S n,证明
.
58、已知等差数列满足:,的前项和为。(1)求及;
(2)令(其中为常数,且),求证数列为等比数
列。
59、设数列为等差数列,且a 3=5,a5=9;数列的前n项和为S n,且
S n+b n=2.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若为数列的前n项和,求.
60、已知等差数列{a n}的通项公式为,从数列{a n}中依次取出a1,
a2,a4,a8,…,,…,构成一个新的数列{b n},求{b n}的前n项和.
61、已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n.如果,
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求S n的最小值及其相应的n的值;
62、已知数列中,,
(Ⅰ)记,求证:数列为等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和
63、已知等差数列和公比为的等比数列满足:,
,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和为.
64、已知数列中,,n≥2时,求通项公式.
65、在等差数列中,,前项和为,等比数列各项均为正数,
,且,的公比.
(1)求与;(2)求.
66、已知,且方程有两个不同的正根,其中一根是另一根的倍,记等差数列、的前项和分别为,且
()。
(1)若,求的最大值;
(2)若,数列的公差为3,试问在数列与中是否存在相等
的项,若存在,求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)若,数列的公差为3,且,.
试证明:.
67、已知数列{}的前n项和,数列{}满足
=.
(I)求证数列{}是等差数列,并求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)设,数列{}的前n项和为T n,求满足的n
的最大值.
68、已知,数列满足,数列满足
;数列为公比大于的等比数列,且为方程的两个不相等的实根.
(Ⅰ)求数列和数列的通项公式;
(Ⅱ)将数列中的第项,第项,第项,……,第项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前项和.
69、已知数列{}的前n项和,数列{}满足
=.
(I)求证:数列{}是等差数列,并求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求满足的
的最大值.
70、已知数列,,,记,
,(),若对于任意,,,成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ) 求数列的前项和.
71、已知各项均为正数的数列中,是数列的前项和,对任意
,有.函数,数列的首项
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令求证:是等比数
列并求通项公式
(Ⅲ)令,,求数列的前n项和.
72、设等差数列的前n项和为,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,证明:;
73、设数列的前项和为,且…);
①证明:数列是等比数列;
②若数列满足…),求数列的通项公式。
74、设等比数列的前项和为,已知,求和。
75、已知等差数列中,
①求数列的通项公式;
②若数列前项和,求的值。
76、在数列中,
(1)试判断数列是否为等差数列;
(2)设满足,求数列的前n项和;
(3)若,对任意n ≥2的整数恒成立,求实数的取值范围.
77、函数,数列的前n项和,且同时满足:
①不等式≤ 0的解集有且只有一个元素;
②在定义域内存在,使得不等式成立.
(1)求函数的表达式;
(2)求数列的通项公式.
78、设数列的前n项和为,点均在函数y=-x+12的图像
上.
(Ⅰ)写出关于n的函数表达式;
(Ⅱ)求证:数列是等差数列;
(Ⅲ)求数列的前n项的和.
79、已知是一个等差数列,且。
(1)求的通项;(2)求的前项和的最大值。
80、在图中,,(),
(1)求数列的通项;
(2)求数列的前项和;
81、(1)已知数列为等比数列,且,,该数列的各项都为正
数,求;(2)若等比数列的首项,末项,公比,求
项数。
82、设等比数列都在函数
的图象上。
(1)求r的值;
(2)当;
(3)若对一切的正整数n,总有的取值范围。
83、设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且,
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求数列的前项和.
84、在数列中,对于任意,等式:
恒成立,其中常数.
(1)求的值;
(2)求证:数列为等比数列;
(3)如果关于的不等式的解集为,
试求实数的取值范围.
85、已知是等差数列,其前项和为;是等比数列,且
.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前项和.
86、已知等差数列的首项,公差,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项.
(1)求数列、的通项公式;
(2)设数列对任意的,均有成立,求
.
87、已知数列是等差数列,且,,
(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列前n项和.
88、已知数列,其前项和为.
⑴若对任意的,组成公差为的等差数列,且
,,求的值;
⑵若数列是公比为的等比数列,为常数,求证:数列为等比数列的充要条件为.
89、已知各项均为正数的数列的前项和为,且对任意正整数,点
都在直线上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若设求数列前项和.
90、已知数列是等差数列,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令求数列前n项和的公式.
91、已知等比数列中,,求其第4项及前5项和.
92、设数列是等比数列,,公比是的展开式中的
第二项(按x的降幂排列).
(1)用表示通项与前n项和;
(2)若,用表示.
93、已知数列,满足数列的前项和为,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:当时,.
94、已知点是函数且的图像上一点,等比数列的前项的和为;数列的首项为,且前项和满足
.
求数列和的通项公式;
若数列的前项和为,问的最小正整数是多少?
95、已知数列的前n项和为,点在直线上.数列{bn}满足,前9项和为153.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前n和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
96、记数列的前n项和,且,且
成公比不等于1的等比数列。
(1)求c的值;
(2)设,求数列{}的前n项和T n.
97、在数列中,,且.
(1)求,的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;
(3)求数列的前项和.
98、已知是数列的前项和,且对任意,有
,
求的通项公式;
求数列的前项和.
99、已知正项数列在抛物线上;数列中,点在过点(0,1),以为斜率的直线上。
(1)求数列的通项公式;
(2)若成立,若存在,求出k值;若不存在,请说明理由;
(3)对任意正整数,不等式恒成立,求正数的取值范围。
试卷答案
1.(Ⅰ),=2n。(Ⅱ)。
2.(1)(2)10
3.(1)(2)
4.(1) (2) (3)先求出的关系式,然后利用函数知识证明即可
5.(1)到2017年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. (2)到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
6.(1)(2)时,有最大值为5
7.(Ⅰ) (Ⅱ)
.
8.(Ⅰ),.(Ⅱ)
9.(1)(2)最小正整数
10.(1)200(2)
11.(1)根据题意,得到递推关系,进而得到证明。(2)
(3)不超过的最大整数为.
12.(1)(2),即取不小于的正整数.
13.(1)(2)根据利用累加法来得到证明。
14.
15.(1)(2)当时,;当时,;
当时,.
16.(1)=(2)
17.(1) (2) (3)
18.(1)(2)关键是得到
19.(1)1,,, a n= (n∈N*).(2)运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。
20.C
21.(1)时, 解集是;时,解集是;时,解集是(2)
22.(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
23.见解析
24.(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
25.(Ⅰ)(Ⅱ)
26.(Ⅰ)(Ⅱ)
27.(I)(II)
28.或
29.(1)(2)-7
30.(1)(2)10
(3)-19
31.(Ⅰ)(Ⅱ)
32.(1)见解析 (2) (3) 见解析
33.(1)2 (2)1008
34.见解析
35.(Ⅰ) 4(Ⅱ) (Ⅲ)见解析
36.(I) ,. (II)见解析 (III)见解析
37.(Ⅰ) (Ⅱ)
38.充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明一个数列是等差数列或等比数列,常用定义法.
39.(I) (II)
40.(1)2n(2)
41.(1)(2)
42.(1)(2)
(3)最大正整数的值为.
43.(1)(2)250
44.(1)a n=2n b n=2n-1(2)T n=(2n-3)2n+1+6
45.(1)(2)根据等差数列的定义,证明相邻两项的差为定值来得到证明。
(3)
46.(Ⅰ)要证明是等比数列,依据等比数列定义需证明非零常数且
数列是以2为首项,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
=
47.(1)(2)
48.(1)根据题意,由于,那么可知递推关系式,进而得到证明。(2)
49.(1)(2))
50.(1)(2)若数列是“数列”,则存在实常数,使得
对于任意都成立,结合定义得到。
(3)
51.(1)(2)
52.(1);;(2)利用数列求和及放缩法证明不等式成立
53.(1)n-3(2)
54.(Ⅰ),(Ⅱ)先求出数列的通项公式,然后根据“三角
形”数列的定义证明即可,(3)函数,是数列1,1+d,1+2d的“保三角形函数”,必须满足三个条件:①1,1+d,1+2d是三角形数列,所以,即.②数列中的各项必须在定义域内,即.③是三角形数列.由于,
是单调递减函数,所以,解得.55.(1),.(2)
。
56.(1)根据等比数列的定义,因为,进而得到证明。(2)
,
(3)1
57.(1) (2)
58.(1);。(2)根据
等比数列的定义来证明相邻两项的比值为定值,从第二项起来证明即可。59.(1)(2)
60.,=
61.(1) (2) n=5或4
62.(1)根据题意,由于,因此可知,结合定义来得到证明。(2)
63.(1),.(2)
64.
65.(1)(2)
66.(1)(2)在数列与中不存在相等的项。(3)运用数序归纳法来证明与自然数相关的命题得到结论。
67.(1)(2) 的最大值为4.
68.(1),(2)
69.(I) (Ⅱ)
70.(Ⅰ) (Ⅱ)
71.(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ).
72.(1)(2)裂项法求和得到是解题的关键。
73.(1)根据前n项和与其通项公式的关系来推理得到是解题的关键。(2)
74.或,或
75.(1)3-2n(2)
76.(1)根据递推关系得到,从而结合定义来证明、(2)
(3)λ的取值范围是(-∞,].
77.(1)a=4,即(2)
78.(1)(2)根据等差数列的定义,只要证明其通项公式为一次函数的形式即可。
(3)
79.(1);(2)时,取最大值4.
80.(1)(2)
81.(1)(2)
82.(1)(2)(3)
83.(Ⅰ)(Ⅱ)。