KMP算法的理论推导

改进的模式匹配算法的理论分析

设

T = t0 t1 … t s-1 t s t s+1 t s+2 … t s+j-1 t s+j t s+j+1 … t n-1

P = p0 p1 p2 … p j-1 p m-1．

若在匹配过程中出现了如下情况：

t s t s+1t s+2… t s+j-1= p0p1p2… p j-1，(1)但t s+j ≠ p j．也就是说，在匹配过程出现了：

T t0 t1 … t s-1t s t s+1t s+2… t s+j-1t s+j t s+j+1… t s+m-1 … t n-1

‖ ‖ ‖ … ‖ ⨯

P p0p1p2 … p j-1p j p j-1… p m-1

则本次匹配失败．

由朴素的模式匹配算法，我们需要下一趟匹配，即需要验证下式是否成立：

t s+1t s+2… t s+j-1 t s+j … t s+m?= p0p1 … p j-2p j-1… p m-1(2)如果（2）式成立，则匹配成功，返回s+1；否则需要再下一趟的匹配：t s+2t s+3… t s+j-1t s+j… t s+m+1?= p0p1… p j-3p j-2 …p m-1 (2')以此类推．

下面给出两个互逆的条件

p0p1… p j-2 = p1p2 …p j-1 (3)

p0p1… p j-2 ≠p1p2 …p j-1 (3')显然，这两个条件能且只能满足一个．下面并分情况讨论：【1】如果(3) 式成立，则由(1) (2) (3) 式，可以断定p0 p1 …p j-2 = t s+1 t s+2 … t s+j-1成立，即在（3）式条件下，对(2) 式的验证只需要从p j-

和t s+j 开始逐个往后比较，而不必从p0 和t s+2 开始．

1

【2】如果(3') 式成立，则由(1) (2) (3') 式，可以断定p0 p1 …p j-2 ≠t s+1 t s+2 … t s+j-1成立，即在(3')式条件下，(2)式一定不能成立，应该直接进行下下次验证，即对(2') 进行验证．

对于(2')，也引进两个互逆的条件

p0p1… p j-3 = p2p3 …p j-1 (4)

p0p1… p j-3 ≠p2p3 …p j-1 (4')这两个条件也是只能满足一个，分情况讨论：

【2.1】如果(4) 式成立，则由(1) (2') (4)，可以断定p0 p1 …p j-3 = t s+2 t s+3 … t s+j-1成立，即：对(2') 式的判断从p j-2和t s+j开始逐个往后比较，而不必从p0和t s+2开始．

【2.2】如果(4')式成立，则由(1) (2') (4')，可断定p0 p1 …p j-3 ≠t s+2 t s+2… t s+j-1成立，即(2')一定不成立，应该开始再下一次的判断，即：t s+3 t s+4 … t s+j-1 t s+j … t s+m+2 ?= p0 p1 … p j-4 p j-3 …p m-1没必要再往下做了，下面把刚才的两次匹配过程总结一下，找出规律来：

【1】如果(3) 式成立，则对(2)式的验证可以从p j-1和t s+j开始继续往后进行，而不必从p0和t s+1开始．

【2】如果(3') 成立，则需要进行下下次匹配【见(2')式】：

【3】如果(3') 和(4) 式成立，则对(2') 式的验证可以从p j-2和t s+j开始继续往后进行，而不必从p0和t s+1开始．

【4】如果(3') 和(4') 式成立，则需要进行下下下次匹配：t s+3 t s+4 … t s+j-1 t s+j … t s+m+2 ?= p0 p1 … p j-4 p j-3 …p m-1

由刚才总结的第【3】种情况，我们可以设想存在一个k，使得

p0p1… p j-2 ≠p1p2 …p j-1 (3')

p0p1… p j-3 ≠p2p3 …p j-1 (4')

… … … …

p0p1… p k ≠p j-k-1p j-k …p j-1 (5')

p0p1… p k-1 = p j-k p j-k+1 …p j-1 (6)显然，如果这样的k 存在，则0 <= k < j-1（当k == 0 时，(6)式的左右都为空串）．

再由刚才总结的第【2】和【4】种情况可知：如果(3') (4') …(5') 都成立，哪些判断不用做了呢？这需要发现(2)、(2') 的变化规律．刚才，由(3') 式，则(2) 式不用再判断了；由(4') 式，则(2') 式不用再判断了．换句话说，根据(5') 式，

●当k = j – 2时【(3')式成立】，(2)式不用判断了；

●当k = j – 3时【(4')式成立】，(2')式不用判断了；

●… …

由此可以推出：当k时，下面的(7) 式不用判断了

t s+j-k-1t s+j-k… t s+j-1t s+j… t s+j-k+m-2 ?= p0p1… p k p k+1… p m-1 (7)也就是说，当k 时，也就是(5') 成立时，(7) 式子不用判断了．此时需继续判断如下的(8) 式是否成立

t s+j-k t s+j-k+1… t s+j-1t s+j… t s+j-k+m-1?= p0p1… p k-1p k… p m-1 (8)由(6) 式和(8) 式，再考虑到(1) 式并改写(1) 式

t s t s+1… t s+j-k t s+j-k+1… t s+j-1= p0p1… p j-k p j-k+1 …p j-1(1)可以断定：p0 p1 …p k-1 = t s+j-k t s+j-k+1 … t s+j-1，因此，下次比较从p k和