2013年北约自主招生试题及答案解析版

2013“北约”自主招生试题

2013-03-16

(时间90分钟,满分120分)

一、选择题(每题8分,共48分)

1.1( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

【解】由1x 可知22x =,同理由1x 可知3(1)2x -=; 所以方程23(2)[(1)2]0x x ---=的次数最小,其次数为5,故选C.

2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.

A. 720

B. 20

C. 518400

D. 14400 【解】红色车选3列有3620C =种方法,再从这三列中选三行有3620C =种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有326⨯=种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有326⨯=种方法,因此方法数有(20206)614400⨯⨯⨯=种.故选D. 3.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( ) A. 10- B. 12- C. 14- D. 16-

【解】由225x y =+与225y x =+两式作差得2()x y x y +=-≠,代入两式中分别化出 2210x x +-=、2210y y +-=,所以,x y 是方程2210t t +-=的两个不等实根,于是

2,1x y x y +=-=-,也所以

322322

2()[()3]2()(2)7216x x y y x y x y x y x y -+=++--=-⨯-=-.故选

D. 4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )

A. 201230192⨯

B. 201330192⨯

C. 201230182⨯

D. 无法确定 【解】由11a =,142n n S a +=+(1n ≥)……①可知,

当1n =时,2142S a =+,所以25a =;

当2n ≥时,有142(2)n n S a n -=+≥……②,由①-②式得,

1144(2)n n n a a a n +-=-≥,即1122()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,且2123a a -=

所以11232n n n a a -+-=⨯(*n N ∈),同除以2n 得,113222n n n n a a +--=,且1

12a =;

所以

13122

n n

a n +=+,故令2012n =时,得2012

201323019a =⨯,故选A. 5.在ABC ∆中,D 为BC 中点,DM 平分ADB ∠交AB 于点M ,DN 平分ADC ∠交AC 于N ,

则BM CN +与MN 的关系为( ) A.BM CN MN +> B.MN CN MN +< C.BM CN MN +=

D.无法确定

【解】如图,在DA 取DE DB =,连接,,ME NE MN

则显然可证,ME MB EN NC ==,

且有ME NE MN +≥,即BM CN MN +≥,

上述不等式当且仅当180MED DEN ∠+∠=

, 也即180B C ∠+∠= ,

这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选A.

6.模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则

BC AC AB

A B C

++++的模长为( )

A. 12

- B. 1 C. 2 D. 无法确定 【解】由题知1AA BB CC ===,所以

2

BC AC AB BC AC AB BC AC AB

A B C A B C A B C ++++++=⨯++++++,

也即2

BC AC AB BC AC AB BC AC AB

A B C A B C A B C

++++++=⨯++++++

313BA C A AB CB AC BC

AB AC BA BC C A CB

++++++=

=++++++,故选B.

二、解答题(每题18分,共72分)

7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论. 【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.

若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3

M

A

C

D

B M

A

C

D

B E

的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意. 8.已知12320130a a a a ++++= ,且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==- 证明:12320130a a a a ===== .

【证明】:观察可知12320130a a a a ++++= ,

即21322013201212013(2)(2)(2)(2)0a a a a a a a a -+-++-+-= ……① 又122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==- ,不妨设12|2|a a t -=,

则①可写为(2013)0(02013,)kt k t k k N --=≤≤∈,即(22013)0k t -=, 又显然220130k -≠,则有0t =,于是有

122320122013201312,2,,2,2a a a a a a a a ==== ,所以2013112a a =,即10a =.

也所以12320130a a a a ===== ,即证.

9.对于任意θ,求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值. 【解】632cos cos66cos415cos2θθθθ--- 3

1c o s 232(

)c o s 66c o s 4

15c o s 2

2

θθθθ+=--- 32

34(1c o s 23c o s 2

3c o s 2)(3c o s 24c o s 2)6c o s 4

15c o

2θθθθθθθ=+++---- 2412c o s 26c o s 446(1c o s 4)6c o s 410

θθθθ=+-=++-=即求

. 10.有一个m n ⨯的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重

新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.

〖原题叙述〗:已知有m n ⋅个实数,排列成m n ⨯阶数阵,记作{}ij m n a ⨯,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的1,2,3,,i m = ,当12j j <时,都有12ij ij a a <.现将{}ij m n a ⨯的每一

列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m n ⨯阶数阵,记作{}ij

m n a ⨯',即对任意的1,2,3,,i n = ,当12i i <时,都有12i j

i j a a ''<.试判断{}ij

m n a ⨯'中每一行的n 个数的大小关系,并说明理由.