高考数学分类复习数列常见题型和方法

高考数学分类复习数列常见题型和方法

一、基础知识复习

1.等差数列 （1）等差数列的判断：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 （2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)

2n n n S na d -=+

。 如a.数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15

2

n S =-，

则1a ＝＿，n ＝＿；

b.已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T . (4).等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于

n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

如a.等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____； b.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

3

41

3-+=

n n T S n n ，那么=n n b a ___________ c.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最

大值。

2.等比数列：

（1）等比数列的判断：定义法1(n n

a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或

11

n n n n a a a a +-=

(2)n ≥。

如:数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .

（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，

1(1)1n n a q S q

-=

-11n a a q

q -=-。

如等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

如:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

(5).等比数列的性质： （1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a = .

如:各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则31323

1l o g l o g l o g a a a +++= 。 (2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n n

a b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

如: 在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______

3.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：

{

11,(1)

,(2)n n n S n a S S n -==

-≥。如:数列{}n a 满足12211125222

n n a a a n +++=+ ，求n a . (3)若

1()

n n a a f n +-=求

n

a 用累加法：

11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

如已知数列

{}

n a 满足

11

a =，n

n a a n n ++=

--111(2)

n ≥，则

n a =________

(4)已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=???? (2)n ≥。

(5)已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

如:a.已知111,32n n a a a -==+，求n a ；

b.已知111,32n n n a a a -==+，求n a . C ．已知1

111,31

n n n a a a a --==

+，求n a ； D ．已知数列满足1a =1

=n a .

7.数列求和：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+ ，222112(1)(21)6

n n n n +++=++ ，

33332

(1)123[]2

n n n +++++= .

如:等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2

232221n

a a a a ++++ ＝_____； （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

如:求证：01235(21)(1)2n

n n n n n C C C n C n +++++=+

； （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

如:设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

111(1)1n n n n =-++； 1111()()n n k k n n k

=-++； 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-+++++ ；

11(1)!!(1)!n n n n =-++；

=<<=. 如:求和：1111447(32)(31)

n n +++=??-?+ ； 二、题型训练

1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,设n a 是n S 与2的等差中项,数列{}n b 中,11b =,

点P ()1,n n b b +在直线2y x =+上. (Ⅰ)求,n n a b ;

(Ⅱ)若数列{}n b 的前n 项和为n B ,比较

12111

n

B B B +++

与2的大小; (Ⅲ)令12

12n n n

b b b T a a a =

+++ ,是否存在正整数M ,使得n T M <对一切正整数n 都成立?若存在,求出M 的最小值;若不存在,请说明理由. 1.解 (Ⅰ)由题意,得22n n a S =+,∴111222a S a =+=+,∴12a =. 1122,22n n n n S a S a ++=-=-,∴()1112n n n n n a S S a a +++=-=-,

∴12n n a a +=.∴数列{}n a 是以2为公比,首项12a =的等比数列,

2(n n a n =∈N *). 点P ()1,n n b b +在直线2y x =+上,

∴12n n b b +=+, 即12n n b b +-=.∴数列{}n b 是以2为公差,首项11b =的等差数列. ∴21n b n =-(n ∈N *).

(Ⅱ)212n n B b b b n =+++= , ∴

12111

n B B B +++

22221111123n =++++ ()

111112231n n <++++??- 1111

1112231n n ??????=+-+-++- ? ? ?-??????

12n =-2<.

(Ⅲ) 12

12n n n b b b T a a a =

+++ 2313521222

2n n -=++++

① ∴23111321

2222

n n n T +-=

+++ ② ①-②得231111

11212222222n n n n T +-??=++++- ??? 1111112142212212

n n n -+??

?- ?

-??=+?

--, ∴2

1213322

n n n

n T --=-

-

<.11,2n T T =单调递增，∴1

[,3)2n T ∈． ∴要使n T M <对一切正整数n 都成立，只要3M ≥且M 为正整数，M 的最小值

为３．