离散数学,命题逻辑等值演算
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而不是8个
• 王教授的话是对的，写出公式
A（p,q,r)，找出它的成真赋值
作业
习题二 38－39页 题目： 3，4 17，18 19，20
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 • 将命题变元及其否定统称为文字（literal）。 • 简单析取式（基本和）： 仅由有限个文字
构成的析取式，也称为子句（clause）。 • 例个简成文如p的单、字：合合q的既取取简是式式单一。（合个取文基式字本。的积简）单：析仅取由式，有限又个是文一字构
(分配律) (矛盾律) (同一律) (德摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
等值演算的例子
解：⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r)
1→((q∧¬q)∧r)
(排中律)
1→(0∧r)
(矛盾律)
1→0
(零律)
0
(条件联结词的定义)
由此可知，⑵为矛盾式。
⑶ (p→q)∧¬p
(¬p∨q)∧¬p
(蕴涵等值式)
若AB，则BA • ⑶ 传递性，即对任意命题公式A，B和C，
若AB，BC，则AC
两点注意
• “”与“=” “A=B”表示两公式一样， “A B”表示两公式真值一样
• 与↔是两类完全不同的符号 ↔是联结词、运算符，A↔B是一个公式。 不是联结词，
而是两个公式之间的关系符
真值表判断等值
p qr
0 00 0 01 0 10 0 11 1 00 1 01 1 10 1 11
p∨q，p∨ ¬ r均是有两个文字的简单析取 式，即子句。
p∧q∧r，p∧q∧ ¬ q均是有三个文字的简 单合取式。
定理 2.1
(1) 一个简单析取式是重言式， 当且仅当 它同时含有一个命题变元及其否定。
(2) 一个简单合取式是矛盾式， 当且仅当 它同时含有一个命题变元及其否定。
• 例如， p∨q∨¬ p 是重言式 p∧¬ q∧ q是矛盾式
¬p
(吸收律)
由此可知，⑶是可满足式。
练习
1.用等值演算验证等值式 （1） (p∨q)→r (p→r)∧ (q→r) （2） （(p∨q)∧ ¬（p∧q））
¬（p ↔ q）
2.判断公式的类型 （1）（p→q）∧p →q （2） （¬（p→q）∧q）∧r
判断问题
【例2.6】判断王教授是哪里人：
• 例： 并非招手即停 招手且不停车
归谬论的应用
• 归谬论 (A→B)∧(A→¬B) ¬A
• 反证法 如果非p，则q
如果非p，则非q 所以，p
归谬论的例子
• 亚理士多德：物体的下落速度 与物体的重量成正比。
• 伽利略的思想实验： A快B慢，A＋B比A快； A快B慢，A＋B比A慢。
归谬论的例子
等值演算的例子
【例2.2】用等值演算法判断下列 公式的类型。 ⑴ q∨¬ ((¬p∨q)∧p) ⑵ (p∨¬p)→((q∧ ¬q)∧r) ⑶ (p→q)∧¬p
等值演算的例子
解：⑴ q∨¬((¬p∨q)∧p) q∨¬((¬p∧p)∨(q∧p)) q∨¬(0∨(q∧p)) q∨¬(q∧p) q∨(¬q∨¬p) (q∨¬q)∨¬p 1∨¬p 1 由此可知，⑴为重言式。
• 甲说王教授不是苏州人，是上海人 • 乙说王教授不是上海人，是苏州人 • 丙说不是上海人，也不是杭州人 • 王教授说三个人中一个说的全对，一个说对
了一半，另一个全不对。
解：p：王教授是苏州人 q：王教授是上海人 r：王教授是杭州人
解题思路
• pqr
001 010 100
根据实际情况， 只有3个赋值，
p(qr）
1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
(p∧q)r
1 1 1 1 1 1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A¬¬A
• 2.幂等律 A∧A A，A∨A A
• 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A
• 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
十六组重要的等值式
• 5.分配律 (提取公因式） A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) ( A∨B)∧(A∨C)
• 6.德摩根律 ¬(A∨B) ¬A∧¬B ¬(A∧B) ¬A∨¬B
德摩根律的例子
• “地大物博”的否定： 地不大或物不博
¬(A∧B) ¬A∨¬B • “用人民币或港币支付”的否定：
设（A）是一个含有公式A的命题公式， （B）是用公式B置换了（A）中的公
式A后得到的公式， 如果A B，那么 （A） （B）。
等值演算的例子
【例2.1】 用等值演算验证等值式 p→（q→r）（p∧q）→r
p (q r) p (q r ) p (q r ) (p q) r ( p q) r ( p q) r
Hale Waihona Puke Baidu• 一个岛上有一个风俗，凡是外乡人都要作 为祭品被杀掉。
• 但允许被杀的人在临死前说一句话。 • 如果这句话是真的，则死在真理之神面前。 • 如果这句话是假的，则死在错误之神面前。 • 一个哲学家说了一句话，而免于一死。
等值演算与置换规则
• 由已知的等值式推演出另外的等值 式的过程称为等值演算。
• 置换规则
既不能用人民币支付，也不能用 港币支付
¬(A∨B) ¬A∧¬B
十六组重要的等值式
• 7.吸收律 A∨(A∧B)A，A∧(A∨B)A
• 8.零律 A∨11，A∧00
• 9.同一律 A∨0A，A∧1A
• 10.排中律 A∨¬A 1
• 11.矛盾律 A∧¬A 0
十六组重要的等值式
• 12.蕴涵等值式 A→B ¬A∨B
第二章 命题逻辑 等值演算
• 2.1 等值式 重点
• 2.2 析取范式与合取范式
• 2.3 联结词的完备集 难点
• 2.4 可满足性问题与消解法
2.1 等值式
定义2.1 设A、B是任意两个命题公式，若等价式 A ↔ B为重言式，则称A与B是等值的， 记作：A B
• ⑴ 自反性，即对任意命题公式A， AA • ⑵ 对称性，即对任意命题公式A和B，
• 13.等价等值式 A↔B (A→B)∧(B→A)
• 14.假言易位 A→B ¬B→¬A
• 15.等价否定等值式 A↔B ¬A↔¬B
• 16.归谬论 (A→B)∧(A→¬B) ¬A
蕴涵等值式的例子
• 蕴涵等值式： A→B ¬A∨B
• 否定形式：并非（pq) ¬ (p→q) p ∧ ¬ q
• 王教授的话是对的，写出公式
A（p,q,r)，找出它的成真赋值
作业
习题二 38－39页 题目： 3，4 17，18 19，20
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 • 将命题变元及其否定统称为文字（literal）。 • 简单析取式（基本和）： 仅由有限个文字
构成的析取式，也称为子句（clause）。 • 例个简成文如p的单、字：合合q的既取取简是式式单一。（合个取文基式字本。的积简）单：析仅取由式，有限又个是文一字构
(分配律) (矛盾律) (同一律) (德摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
等值演算的例子
解：⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r)
1→((q∧¬q)∧r)
(排中律)
1→(0∧r)
(矛盾律)
1→0
(零律)
0
(条件联结词的定义)
由此可知，⑵为矛盾式。
⑶ (p→q)∧¬p
(¬p∨q)∧¬p
(蕴涵等值式)
若AB，则BA • ⑶ 传递性，即对任意命题公式A，B和C，
若AB，BC，则AC
两点注意
• “”与“=” “A=B”表示两公式一样， “A B”表示两公式真值一样
• 与↔是两类完全不同的符号 ↔是联结词、运算符，A↔B是一个公式。 不是联结词，
而是两个公式之间的关系符
真值表判断等值
p qr
0 00 0 01 0 10 0 11 1 00 1 01 1 10 1 11
p∨q，p∨ ¬ r均是有两个文字的简单析取 式，即子句。
p∧q∧r，p∧q∧ ¬ q均是有三个文字的简 单合取式。
定理 2.1
(1) 一个简单析取式是重言式， 当且仅当 它同时含有一个命题变元及其否定。
(2) 一个简单合取式是矛盾式， 当且仅当 它同时含有一个命题变元及其否定。
• 例如， p∨q∨¬ p 是重言式 p∧¬ q∧ q是矛盾式
¬p
(吸收律)
由此可知，⑶是可满足式。
练习
1.用等值演算验证等值式 （1） (p∨q)→r (p→r)∧ (q→r) （2） （(p∨q)∧ ¬（p∧q））
¬（p ↔ q）
2.判断公式的类型 （1）（p→q）∧p →q （2） （¬（p→q）∧q）∧r
判断问题
【例2.6】判断王教授是哪里人：
• 例： 并非招手即停 招手且不停车
归谬论的应用
• 归谬论 (A→B)∧(A→¬B) ¬A
• 反证法 如果非p，则q
如果非p，则非q 所以，p
归谬论的例子
• 亚理士多德：物体的下落速度 与物体的重量成正比。
• 伽利略的思想实验： A快B慢，A＋B比A快； A快B慢，A＋B比A慢。
归谬论的例子
等值演算的例子
【例2.2】用等值演算法判断下列 公式的类型。 ⑴ q∨¬ ((¬p∨q)∧p) ⑵ (p∨¬p)→((q∧ ¬q)∧r) ⑶ (p→q)∧¬p
等值演算的例子
解：⑴ q∨¬((¬p∨q)∧p) q∨¬((¬p∧p)∨(q∧p)) q∨¬(0∨(q∧p)) q∨¬(q∧p) q∨(¬q∨¬p) (q∨¬q)∨¬p 1∨¬p 1 由此可知，⑴为重言式。
• 甲说王教授不是苏州人，是上海人 • 乙说王教授不是上海人，是苏州人 • 丙说不是上海人，也不是杭州人 • 王教授说三个人中一个说的全对，一个说对
了一半，另一个全不对。
解：p：王教授是苏州人 q：王教授是上海人 r：王教授是杭州人
解题思路
• pqr
001 010 100
根据实际情况， 只有3个赋值，
p(qr）
1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
(p∧q)r
1 1 1 1 1 1 0 1
十六组重要的等值式（模式）
• 1.双重否定律 A¬¬A
• 2.幂等律 A∧A A，A∨A A
• 3.交换律 A∨B B∨A，A∧B B∧A
• 4.结合律 (A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
十六组重要的等值式
• 5.分配律 (提取公因式） A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) ( A∨B)∧(A∨C)
• 6.德摩根律 ¬(A∨B) ¬A∧¬B ¬(A∧B) ¬A∨¬B
德摩根律的例子
• “地大物博”的否定： 地不大或物不博
¬(A∧B) ¬A∨¬B • “用人民币或港币支付”的否定：
设（A）是一个含有公式A的命题公式， （B）是用公式B置换了（A）中的公
式A后得到的公式， 如果A B，那么 （A） （B）。
等值演算的例子
【例2.1】 用等值演算验证等值式 p→（q→r）（p∧q）→r
p (q r) p (q r ) p (q r ) (p q) r ( p q) r ( p q) r
Hale Waihona Puke Baidu• 一个岛上有一个风俗，凡是外乡人都要作 为祭品被杀掉。
• 但允许被杀的人在临死前说一句话。 • 如果这句话是真的，则死在真理之神面前。 • 如果这句话是假的，则死在错误之神面前。 • 一个哲学家说了一句话，而免于一死。
等值演算与置换规则
• 由已知的等值式推演出另外的等值 式的过程称为等值演算。
• 置换规则
既不能用人民币支付，也不能用 港币支付
¬(A∨B) ¬A∧¬B
十六组重要的等值式
• 7.吸收律 A∨(A∧B)A，A∧(A∨B)A
• 8.零律 A∨11，A∧00
• 9.同一律 A∨0A，A∧1A
• 10.排中律 A∨¬A 1
• 11.矛盾律 A∧¬A 0
十六组重要的等值式
• 12.蕴涵等值式 A→B ¬A∨B
第二章 命题逻辑 等值演算
• 2.1 等值式 重点
• 2.2 析取范式与合取范式
• 2.3 联结词的完备集 难点
• 2.4 可满足性问题与消解法
2.1 等值式
定义2.1 设A、B是任意两个命题公式，若等价式 A ↔ B为重言式，则称A与B是等值的， 记作：A B
• ⑴ 自反性，即对任意命题公式A， AA • ⑵ 对称性，即对任意命题公式A和B，
• 13.等价等值式 A↔B (A→B)∧(B→A)
• 14.假言易位 A→B ¬B→¬A
• 15.等价否定等值式 A↔B ¬A↔¬B
• 16.归谬论 (A→B)∧(A→¬B) ¬A
蕴涵等值式的例子
• 蕴涵等值式： A→B ¬A∨B
• 否定形式：并非（pq) ¬ (p→q) p ∧ ¬ q