课标三高考数学试题目分类解析立体几何

P

B

A 2007——2009新课标三年高考数学试题分类解析

立体几何

一、选择题

1．（2007·广东文6）若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

A ．若α∥β，l α?，n β? ，则l ∥n

B ．若α⊥β，l α?，则l β⊥

C ．若l n ⊥，m n ⊥，则l ∥m

D ．若l ⊥β，l ∥β，则αβ⊥

解析：逐一判除,易得答案(D). 2．（2007·山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A ．①② B

．①③ C ．①④ D

．②④ 答案：D 【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D 。 2．（2007·海、宁理文8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中

标出 的尺寸（单位：cm ），可得这

个几

何体的体积是（ ）

Ａ．

3

4000cm 3

Ｂ．3

8000cm 3

Ｃ．3

2000cm

Ｄ．34000cm 答案：：B 解析

：

如

图

，

180********.33

V =???=

3．（2007·海、宁理12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，

A

1

A 正视图

俯视图

①正方形

②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

h 1

h(h 2)P

D

C

B

A

E

A

O

S

C

B

且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ） Ａ．3:1:1

Ｂ．3:2:2

Ｃ．3:2:2

Ｄ．3:2:3

答案：：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，

则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ， 于是22122(

),22

h a a a =

-= 2

22326

(),232

h a a a h =-?==

12::3:2:2.h h h ∴=

4．（2007·海、宁文11）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个

半径为r 的球面上， 球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，

2AC r =，

则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π 答案：：D 【分析】：如图，2,90,2,AB r ACB BC r ?=∠==

31111

22,

3323ABC V SO S r r r r ?∴=??=????=三棱锥 333

441,::4.333

V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥

5.（2008·山东卷）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几

何体的表面积是

(A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π

解析：考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为

22411221312.S ππππ=?+??+??=

答案：D

6.（2008·广东卷）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

解析：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 答案：A

7.（2008·

，在该几何体的正视图中，这条棱

的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A

．

B

．C ．4

D

．解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图

设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得

=

=1n ?=

a =

b =，所以2

2

(1)(1)6a b -+-=

228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴

4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号。

答案：C

8.（2008·海南、宁夏文科卷）已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．

成立的是（ ） A. AB ∥m

B. AC ⊥m

C. AB ∥β

D.

AC ⊥β

解析：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然AC l ⊥，但ＡＣ不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直； 答案：D

9. (广东文6理5)给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是

Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④

E

F D

I

A H G B

C

E F D

A

B

C

侧视 图1

图2

B

E

A ．

B

E

B ．

B

E

C ．

B

E

D ．

答案：D

解析：①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D

10.（宁夏海南文理11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积 （单位：c 2

m ）为

（A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+242 解析：选A.

11. (宁夏海南文9理8) 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱

线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2

EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥ （B ）//EF ABCD 平面

（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值

解析：A 正确，易证11;AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而B 显然正确，

//,//EF BD EF ABCD ∴平面易证；C 正确，可用等积法求得；D 错误。选

D.

12.(山东文理4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+ D. 23

43

π+

解析：:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面

边长为2，高为3，所以体积为()

2

1

23

233?

?=

所以该几何体的体积为23

2π+.

答案:C

2

2

侧(左)视图

2

2 2

正(主)视图

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.

13.(辽宁文5)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬0

60纬线长和赤道长的比值为（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25

解析：设地球半径为R,则北纬0

60纬线圆的半径为Rcos60°＝1

2

R

而圆周长之比等于半径之比,故北纬0

60纬线长和赤道长的比值为0.5.

答案：C

14.(辽宁理11)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC 体积之比为

（A）1：1 （B）1：2 （C）2：1 （D）3：2

答案：C

解析：连接FC、AD、BE，设正六边形

的中心为O，连接AC与OB相交点H，

则GH∥PO，故GH⊥平面ABCDEF，

∴平面GAC⊥平面ABCDEF

又DC⊥AC，BH⊥AC，

∴DC⊥平面GAC，BH⊥平面GAC，

且DC=2BH，故三棱锥D-GAC与

三棱锥P-GAC体积之比为2：1。

15．(福建文5)如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正

方形，且体积为

1

2

。则该几何体的俯视图可以是

解析：解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是

1

2

，知其是立方体的一半，可知选C.

解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是

2

1

424

S

ππ

π??

=?=

?

??

，高为1，则体积是

4

π

；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是

11

111

22

V=???=，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是

A

P

B

C

D

G

O

F

E

H

O

D

H

211144

V π

π=??=.故选C.

16. (浙江文4)设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥

答案：C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．

解析：对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．

17. (浙江理5)在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面

11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是( )

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

答案：C 解析：取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面

11BB C C 所成角即为ADE ∠，设AB a =，则3AE =，2

a

DE =，即有0tan 3,60ADE ADE ∠=∴∠=

二、填空题

1.（2008·海南、宁夏理科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

8

，底面周长为3，则这个球的体积为 ．

解析：令球的半径为R ，六棱柱的底面边长为a ，高为h ，显然有2

2

()2

h a R +=，且

21

3962483

63a V a h h a ??==??=??

???

??==??

1R ?=34433V R ππ?== 答案：

3

4π

2.（2008·海南、宁夏文科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六33，那么这个球的体积为 _________

解析：∵正六边形周长为３，得边长为

1

2

，故其主对角线为１，从而球的直径()

2

22312R =

+=

∴1R = ∴球的体积43

V =

π

答案：

43

π 3. (天津文理12) 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则

=a _______

【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。 解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a 的等腰三角形，所以有

33332

2=?=?a a

4. (江苏12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题．．．

的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）. 解析：考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题．．．的序号是(1)(2) 5.(浙江文12)若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，

则此几何体的体积是 3

cm ． 答案：18

解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339??=， 上面的长方体体积为3319??=，因此其几何体的体积为18

6.(浙江理17)如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除

外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D

作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．

答案：

1

,1

2

??

?

??

解析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，1

t=，随着F点到C点时，因,,

CB AB CB DK CB

⊥⊥∴⊥平面ADB，即有CB BD

⊥，对于2,1,3

CD BC BD

==∴=，又1,2

AD AB

==，因此有AD BD

⊥，则有

1

2

t=，因此t 的取值范围是

1

,1

2

??

?

??

7．(辽宁理15)设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m），

则该几何体的体积为_________m3。

答案：4 解析：设几何体的直观图如右，

则3

11

4324

32

V m

=????=。

8．(辽宁文16)设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为3

m

解析：这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,

体积等于1

6

×2×4×3＝4

答案：4

三、解答题：

1.（2007·广东理19）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。

（Ⅰ）求V(x)的表达式；

（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余

弦值；

（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，96

ABC

S

?

=，

2

3

B

A

O D

C

P

2

1

1