圆锥曲线3(教师版)

【详解】
过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 H ， AB PH ，连接 HQ ， PQ 底面 ABC ， PQ AB ， PQ, PH 是平面 PQH 内两条相交直线， 所以 AB 平面 PQH ，所以 AB HQ ， 所以 PHQ 是二面角 S AB C 的平面角， PHQ ，
在 RtPHQ 中， PH sin PQ ，由题 PQ PS sin ，
kON
y1 y2 x1 x2
k m
1 2
，
即 m 2k ．∴直线方程为 y kx 2k k x 2 ．
则直线 MN 过定点 2,0 ．
则 O 到直线 MN 的距离不大于 2．故选 B．
2.（面积问题）已知有相同焦点 F1 、F2 的椭圆
x2 m
y2
1m
1 和双曲线
x2 n
y2
1n
1 (a b) 2
2
PQ
，即
的最大值为
2，
MN 2 (a b) 2
MN
2
2
故选： C.
9.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0) ， F1, F2
为其左、右焦点， P
为椭圆 C
上除长轴端点
外的任一点， F1PF2 的重心为 G ，内心为 I ，且有 IG F1F 2 （其中 为
由于△＞0，﹣1
是方程的根，∴
1＜ 1
0，即﹣1＜λ＜1
时，方程两根异号，满足题意；
综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）
故选：A．
5.（范围问题）已知椭圆
M
:
x2 a2
y2
1 ，圆 C
:
x2
y2
6
a2
在第一象限有公共点
P
，
设圆 C
在点
P
处的切线斜率为
k1
，椭圆
M
在点
P
处的切线斜率为 k2 ，则
实数），则椭圆 C 的离心率 e
1
A．
3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 2
【答案】B
【解析】
在
PF1F2
中，设
P(x0 ,
y0 )
，由三角形重心坐标公式可得重心 G(
x0 3
,
y0 3
)
，由 GI
F1F2
，
故内心
I
的纵坐标为
y0 3
，在焦点 PF1F2
中，
PF1
PF2
2a,
F1F2
2c, SPF1F2
y02 2cx0
y02 b2
1
，消去
y0
得： c2 x02
2a2cx0
a2
a2 c2
0
解得：
x0
aa
c
c
或
x0
a
a c
c
∵ a x0 a
∴
x0
aa
c
c
0,a
∴ 0 a2 ac ac 解得： e 1 2
综上，椭圆离心率
e
的取值范围为
1 2
,1
．
故答案为：
1 2
,1
12.（定值问题）点
故选：A．
8.（最值问题） 过抛物线 y2 2 px p 0 的焦 F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线
PQ 相交于点 M,N，过弦 MN 的中点 P 作抛物线准线的垂线 PQ,垂足为 Q，则 MN 的最大值
为（ )
A．1
1
B．
2
【答案】C
【解析】设 MF a ， NF b ．
C． 2 2
A 为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
上的一个动点，弦
AB, AC
分别过椭圆
的左右焦点 F1, F2 ．当 AC x 轴时，恰好 AF1 2 AF2 .
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设 AF1 1 F2B ， AF2 2 F2C ，试判断 1 2 是否为定值？若是，则求出该定值；
【答案】B
【解析】当直线 MN 的斜率不存在时，设
，
由斜率之积为
1 2
，可得
1 y02
1 2
，即
y02
2 ，∴ MN
的直线方程为 x
2；
当直线的斜率存在时，设直线方程为
y
kx
m
，联立
y
kx m y2 x
，可得
ky 2
y
m
0
．
设 M (x1，y1), N x2, y2 ，则
，
∴ kOM
∵ F1M 2MP
∴
F1M
2 3
x0
c，y0
xM
c，yM
∴
M
2 3
x0
1 3
c,
2 3
y0
，
F2 M
2 3
x0
4 3
c，2 3
y0
∵
PO
F2M
， OP
x0 ,
y0
,∴
2 3
x0
4 3
c
x0
2 3
y02
0
即 x02 y02 2cx0
x02
联立方程得：
x02 a2
1 2
2c
y0
1 2
(
PF1
PF2
2c)
y0 3
，则 a 2c ，
e 1 .选 B. 2
10.（圆锥曲线的性质）如图，离心率为 2 的双曲线 C1 与椭圆 C2
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 有
共同的焦点 F1, F2 ，P, Q 分别是 C1 ，C2 在第一、三象限的交点，若四边形 PF1QF2 是矩形，
若不是，请说明理由.
在第一象限
的公共点 P
x0 , y0
，则椭圆
M
在点
P
处的切线方程为
x0 x a2
y0 y
1 ，圆 C
在点
P
处的切
线方程为 x0 x
y0 y
6 a2 ，所以 k1
x0 y0
， k2
x0 a2 y0
，所以 k1 k2
a2 3,5 ，故选
D.
6.（圆锥曲线的方程）设函数 y f (x) 由方程到 x | x | y | y | 1 确定，对于函数 f (x) 给出 4
设双曲线 C1 的实轴长为 2m，焦距为 2c，且 m =2 则 2m＝|PF1|﹣|PF2|＝x-y，③
①2+③2 可得 x2+y2＝2 m2 a2 =4 c2 ④
将m
c 2
代入④中 a2
7 4
c2
,∴椭圆
C2 的离心率
e=
c a
27 7
故选：D．
11.（与向量的综合）
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
0 ，
点 P 是它们的一个交点，则 F1PF2 面积的大小是（ ）
1
A.
B. 2
C.1
D. 2
2
2
【答案】C
【解析】如图所示，
不妨设两曲线的交点 P 位于双曲线的右支上，设 PF1 s ， PF2 t ．
s t 2 m
由双曲线和椭圆的定义可得
，
s t 2 n
解得
s2 st
对任意 x1，x2∈R，x1≠x2，都有
f
x1
f
x2
＜0
恒成立，①正确；
x1 x2
对于②，假设点（a,b）在第一象限，则点(b,a)也在第一象限，
所以
a2
4 b2
4
b2 a2
1
，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；
1
假设点（a,b）在第四象限，则点(b,a)在第二象限，
所以
a42b42
圆锥曲线（3） 李萌
1.（斜率问题）设 M ， N 是抛物线 y2 x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM
与 ON 的斜率之积为 1 ，则（ ） 2
A. | OM | | ON | 4 2
B. O 到直线 MN 的距离不大于 2
C.直线 MN 过抛物线 y2 x 的焦点
D. MN 为直径的圆的面积大于 4
C. (, 1] [0,1) D.[1,0] (1, )
【答案】A
【解析】由 y＝|x|﹣1 可得，x≥0 时，y＝x﹣1；x＜0 时，y＝﹣x﹣1，
∴函数 y＝|x|﹣1 的图象与方程 x2+λy2＝1 的曲线必相交于（±1，0）
所以为了使函数 y＝|x|﹣1 的图象与方程 x2+λy2＝1 的曲线恰好有两个不同的公共点，则
t2 m
2m n
2n
，在
△PF1F2
中，
cos F1PF2
s2
t2 2st
4c2
2m 2n 4 m
2m 2n
1
，
∵ m 1 n 1，∴ m n 2 ，
∴ cos F1PF2
0
，∴ F1PF2
90
．∴ △F1PF2
面积为
1 2
st
1，
故选：C．
3.（定义问题）如图，正三棱锥 S ABC 中，侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ，
b2 a2
1
1
，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；
同理点（a,b）在第二象限，则点(b,a)在第四象限，也不可能.
故该命题是假命题.
对于③，由图形知，对于任意 x∈R，有 f（x）＞ 1 x， 2
即 2f（x）+x＞0 恒成立，③正确；
对于④，不妨令
t
1 2
，则
tf（x1）+（1﹣t）f（x2）﹣f[tx1+（1﹣t）x2]＞0 为
则椭圆 C2 的离心率为（ ）
3
A．
4
B． 3 2
4
C．
7
D． 2 7 7
【答案】D
【解析】设|PF1|＝x，|PF2|＝y，∵点 P 为椭圆 C2
:
x2 a2
y2 b2
1 上的点，
∴|PF1|+|PF2|＝2a=x+y；①
又四边形 PF1QF2 为矩形，∴ PF1 2 PF2 2 F1F2 2 即 x2+y2＝（2c）2=4 c2 ，② c
k1 k2
的取值范围为
（）
A. (1, 6)
B. (1,5)
C. (3, 6)
D. (3, 5)
【答案】D
【解析】因为椭圆 M
:
x2 a2
y2
1 和圆 C
:
x2
y2
6 a2
在第一象限有公共点
P
，所以
a2 6 a2
6
a2
1
，解得 3
a2
5
.设椭圆
M
:
x2 a2
y2
1 和圆 C
:
x2
y2
6
a2
D． 3 3
由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得 2 PQ a b ，
由勾股定理得， | MN |2 a2 b2 配方得， | MN |2 (a b)2 2ab ，
又 ab( a
2
b)2
， (a
b)2
2ab (a
b)2
2( a
2
b )2
，得到
MN
2 (a b) ， 2
PQ
当 x≥0 且 y≥0 时，方程为 x2 y2＝1； 4
当 x＜0 且 y＜0 时，方程为 x2 y2＝1，不成立； 4
当 x≥0 且 y＜0 时，方程为 x2 y2＝1； 4
当 x＜0 且 y≥0 时，方程为 x2 y2＝1； 4
作出函数 f（x）的图象如图所示，
对于①，f（x）是定义域 R 上的单调减函数，则
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1（ a b 0 ）的左、右焦点为 F1 、 F2 ， P 是
椭圆上异于顶点的一点， M 在 PF1 上，且满足 F1M 2MP ， PO F2M ， O 为坐标原点.
则椭圆离心率 e 的取值范围________.
【答案】
1 2
,1
【解析】设 P x0, y0 ， M xM , yM ,
y＝x﹣1 代入方程 x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0
当λ＝﹣1 时，x＝1 满足题意，
由于△＞0，1
是方程的根，∴
1＜ 1
0，即﹣1＜λ＜1
时，方程两根异号，满足题意；
y＝﹣x﹣1 代入方程 x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2+2λx+λ﹣1＝0
当λ＝﹣1 时，x＝﹣1 满足题意，
下列命题：
①对任意 x1, x2 R,
x1
x2 ，都有
f
x1 f x2
x1 x2
0 恒成立：
② a,b R, a ¹ b ，使得 b f (a) 且 a f (b) 同时成立；
③对于任意 x R, 2 f (x) x 0 恒成立；
④对任意， x1, x2 R, x1 x2 , t (0,1) ，
都有 tf x1 (1 t) f x2 f tx1 (1 t)x2 0 恒成立.其中正确的命题共有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
分四类情况进行讨论，画出相对应的函数图象，由函数图象判断所给命题的真假性．
【详解】
由方程 x x y y 1知， 4
动点 P 在侧面 SAB 内， PQ 底面 ABC ，垂足为 Q ， PQ PS sin ，则动点 P 的轨迹
为（ ）
A．线段 【答案】D 【解析】
B．圆
C．一段圆弧
D．一段抛物线
【分析】
过点 P 作 AB 的垂线 PH ，根据二面角的关系得出 PS PH ，即点 P 到点 S 的距离等于点 P 到 AB 的距离，可得其轨迹为抛物线的一部分.
A. y2 8x
B. y2 8x
C. y2 4x
D. y2 4x
【答案】A
【解析】设 P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0）， MN 4
则 MP x 2，y ，NP x 2，y 由 MN MP MN NP 0 ，
则 4 x 22 y2 4 x 2 0 ，化简整理得 y2＝﹣8x．
f (x1) f (x2 ) ＞f（ x1 x2 ），不是恒成立，所以④错误．
2
2
综上知，正确的命题序号是①③．
故选：B．
7.（轨迹问题）.已知两点 M(－2，0)，N(2，0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足
| MN | | MP | MN NP 0 ,则动点 P(x，y)的轨迹方程为( )
所以 PS PH ，即点 P 到点 S 的距离等于点 P 到 AB 的距离，
所以动点 P 的轨迹为抛物线的一部分. 故选：D
4．（参数的范围问题）若函数 y | x | 1的图像与曲线 C : x2 y2 1 恰好有两个不同的公
共点，则实数 的取值范围是（ ）
A. [1,1)
B. (1, 0)