高中数学公式大全(完整版)(20210127120734)
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高中数学常用公式及常用结论
1.包含关系
AI B A AU B B A B C U B C U A
A I C
B
C U A U B R
U
n 2．集合{ a1 ,a2,L , a n} 的子集个数共有 2
n
个；真子集有
2
n
–1 个；非空子集有 2
n
–1 个；非空的真子集有 2
–
2 个 .
3.充要条件
（1）充分条件：若p q ，则p 是q充分条件.
（2）必要条件：若q p ，则p 是q必要条件.
（3）充要条件：若p q ，且q p，则p 是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
4.函数的单调性
(1) 设x1 x2 a,b , x1 x2 那么
f (x ) f (x )
1 2 在上是增函数；
(x x ) f (x ) f (x ) 0 0 f (x) a,b
1 2 1 2
x x
1 2
f (x ) f (x )
1 在上是减函数.
2
(x x ) f (x ) f (x ) 0 0 f (x) a,b
1 2 1 2
x x
1 2
(2) 设函数y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为减函数.
5.如果函数 f (x) 和g( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f (x) g( x) 也是减函数; 如果函数y f (u) 和u g(x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y f [g(x)] 是增函数.
6．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
7.对于函数y f (x) ( x R ), f ( x a) f (b x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是函数
a b
x ;两个函数
2
y f (x a)与y f (b x) 的图象关于直线
8.几个函数方程的周期(约定a>0)
a b
x 对称.
2
（1）f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期T=a ；
1
（2）， f (x a) ( f (x) 0) ，或
f (x) f (x a)
1
f (x)
( f (x) 0),则f (x) 的周期T=2a ；
9.分数指数幂
m
n
1
n m
a （a 0, m, n N ，且n 1）.(2) a
m
n
1
m
n
a
a （a 0, m,n N ，且n 1）.
(1)
10 ．根式的性质
n a a .（2）当n 为奇数时，n a n a；当n为偶数时，n
（1）( ) n n a a
, 0 a |a|
a,a 0
.
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11 ．有理指数幂的运算性质
r s r s r s rs r r r
(1) a a a (a 0,r , s Q) .(2) (a ) a (a 0, r,s Q) .(3) (ab) a b (a 0,b 0,r Q).
12. 指数式与对数式的互化式log b
a N
b a N (a 0,a 1,N 0) .
①.负数和零没有对数，②.1 的对数等于0：log a 1 0，③.底的对数等于1：log a a 1，
M
④.积的对数：log a (MN ) log a M log a N ，商的对数： a log M log N
log ，
a a
N
n
n n
幂的对数：log a M n l og a M ；log m b log a b
a
m
13.对数的换底公式log N
a log
log
m
m
N
a
( a 0,且a1, m 0,且m1, N 0).
n
n
推论log b log b
m a
a
m
(a 0,且a1, m,n 0 ,且m1,n 1, N 0).
15. a
n s , n 1
1
s s ,n 2
n n 1
( 数列{ a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 L a n ).
16. 等差数列的通项公式*
a a1 (n1)d dn a1 d(n N ) ；
n
其前n 项和公式为
n(a a ) n(n 1)
1 n
s na1 d
n
2 2
d 1
2
n (a d)n.
1
2 2
17.等比数列的通项公式
a
n 1 1 n *
a a1q q (n N ) n
q
；
其前n 项的和公式为
n
a (1 q )
1
s 1 q
n
,q 1
或s
n
a a q
1 n
1 q
,q 1
.
na ,q 1
1
na ,q 1
1
18.同角三角函数的基本关系式
2 2
sin cos 1，tan = s in cos
19 正弦、余弦的诱导公式
n
n
sin( )
2
2
( 1) sin ,
n 1
2
( 1) co s ,
(n 为偶数)
(n 为奇数)
20 和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos msin sin ;
tan( )
tan tan
1 m tan tan
.
a sin
b cos = 2 2 sin( )
a b (辅助角所在象限由点(a, b)的象限决定, tan b
a
).
21 、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin2 2sin cos ．
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⑵ 2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin （
2 1 cos 2
2
cos
，
sin
2 1 cos 2
2
）．
⑶tan2
2 tan
2
1 tan
．
22. 三角函数的周期公式
函数y sin( x )，x∈R 及函数y cos( x )，x∈R(A, ω, 为常数，且A≠0 ，ω＞0)的周期
2
T ；
函数y tan( x ) ，x k , k Z (A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0) 的周期T .
2
23.正弦定理
a b c sin A sin B sin C 2R
.
24.余弦定理
2 2 2 2 cos
a b c bc
A ;
2 2 2 2 cos 2 2 2 2 cos
b c a ca B ;c a b ab C .
25.面积定理
1 1 1
S ab sin C bc sin A ca sin B（2）.
2 2 2
26.三角形内角和定理
在△ABC 中，有 A B C C (A B) C A B
2 2 2
2C 2 2( A B) .
27.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=( λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+ μ)a = λa+ μa; (3) 第二分配律：λ(a+ b )= λa+ λb .
28.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b ·a （交换律）;(2)（a）·b= （a·b ）= a·b = a·（ b ）;(3) （a+b ）·c= a ·c +b ·c.
30 ．向量平行的坐标表示
设a= (x1, y1) ,b = (x2, y2 ) ，且b 0 ，则a P b(b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
31. a 与b 的数量积(或内积)a·b =| a|| b |cos θ．
32.数量积a·b 等于 a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影| b|cos θ的乘积．
33.平面向量的坐标运算
(1) 设a= (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a+b= (x1 x2 , y1 y2 ).
(2) 设a= (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a-b= (x1 x2, y1 y2) .
uu u r uu u r u u u r
(3) 设A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ),则A B OB OA (x2 x1, y2 y1 )
.
(4) 设a= (x, y), R ，则a= ( x, y) .
(5) 设a= (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )，则a·b= (x1x2 y1y2) .
x x y y
1 2 1 2
34.两向量的夹角公式
cos (a= (x1, y1) ,b = (x2 , y2 )).
2 2 2 2
x y x y
1 1
2 2
u u u r u u u r
u u u r35.平面两点间的距离公式d A,B = | AB | AB
AB
2 2
(x x ) (y y ) (A (x1, y1) ，B ( x2 , y2) ).
2 1 2 1
36.向量的平行与垂直
设a= (x1, y1) ,b = (x2, y2 ) ，且b 0 ，则文案大全
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A ||b b = λa x1 y2 x2 y1 0 .
a b(a 0) a·b= 0 x1x2 y1 y2 0 .
37.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是x x x y y y
1 2 3 1 2 3
G( , ) .
3 3
设
O为ABC所在平面上一点，角A, B,C 所对边长分别为a, b, c ，则
uu u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
r
2 2 2
（1）O 为ABC的外心OA OB OC .（2）O为ABC的重心OA OB OC 0
u u u r u u u r u u u r uu u r u u u r u u u r
（3）O 为ABC的垂心OA OB OB OC OC OA
.
.
38. 常用不等式：
（1）a,b R 2 2 2
a b ab (当且仅当a＝b 时取“= ”号)．
（2）a, b R a b
2
ab (当且仅当a＝b 时取“= ”号)．
（3）a b a b a b .
39 已知x, y都是正数，则有（1）若积xy是定值p ，则当x y 时和x y有最小值2 p ；
（2）若和x y是定值s，则当x y 时积xy有最大值1
4
2 s .
40. 含有绝对值的不等式当a> 0 时，有 2 2
x a x a a x a .
2 2
x a x a x a 或x a .
41. 斜率公式
k y y
2 1
x x
2 1
（P1(x1, y1) 、P2 (x2, y2) ）.
42. 直线的五种方程
（1）点斜式y y1 k (x x1) (直线l过点P1( x1 , y1) ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b (b 为直线l 在y轴上的截距).
（3）两点式
y y x x
1 1
y y x x
2 1 2 1
( y1 y2 )( P1(x1, y1) 、P2( x2, y2) ( x1 x2 )). x y
(4) 截距式1( a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)
a b
（5）一般式Ax By C 0 (其中A、B 不同时为0).
43. 两条直线的平行和垂直
(1) 若l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2 x b2 ①l1 || l2 k1 k2,b1 b2 ;②l1 l2 k1k2 1 .
(2) 若l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0,且A1、A2、B1、B2 都不为零,
①l ||l
1 2 A B C
1 1 1
A B C
2 2 2
；②l1 l2 A1A2 B1B2 0；
( l1 : A1x B1 y C1 0 ,l2 : A2x B2 y C2 0 , A1 A2 B1B2 0 ).
直线l1 l2 时，直线l1 与l2 的夹角是
.
2
45. 点到直线的距离
d | Ax By C |
0 0
2 2
A B
(点P( x0 , y0) ,直线l ：Ax By C 0 ).
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46. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 2 2 2
(x a) ( y b) r .
（2）圆的一般方程 2 2 0
x y Dx Ey F (
2 2 4
D E F ＞0).
47. 直线与圆的位置关系
直线Ax By C 0 与圆 2 ( )
2 2
(x a) y b r 的位置关系有三种:
d r ;d r 相切0 ;
相离0
d r 0.其中
相交
Aa Bb C
d .
2 B
2
A
48. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2 d
d r1 r 条公切线; d r1 r2 外切3条公切线;
外离 4
2
r1 r d r r 条公切线;d r1 r2 内切1条公切线;
相交 2
2 1 2
0 d r r .
内含无公切线
1 2
49.圆的切线方程
(1) 已知圆 2 2 0
x y Dx Ey F ．(2) 已知圆
2 2 2
x y r ．
①过圆上的P0 (x0, y0 )点的切线方程为 2
x x y y r ;
0 0
50.椭圆
2 2
x y
2 2 1( 0)
a b
a b
的参数方程是
x a
y b
c os
sin
.
51.椭圆
2 2
x y
2 2 1(a b 0)
a b
2 2
a a
焦半径公式PF e(x )，PF2 e( x) .
1 c
c
52 ．椭圆的的内外部
（1）点P( x0, y0) 在椭圆
2 2
x y
2 2 1( 0)
a b
a b
的内部
2 2
x y
0 0
2 2 1
a b
.
（2）点P( x0, y0) 在椭圆
2 2
x y
2 2 1( 0)
a b
a b
的外部
2 2
x y
0 0
2 2 1
a b
.
53.双曲线
2 2
x y
2 2 1(a 0,b 0)
a b
的焦半径公式
2
a
PF1 | e(x ) |
c
，
2
a
PF2 |e( x) |
c
.
54.双曲线的方程与渐近线方程的关系
2 2 2 2
x y x y (1）若双曲线方程为 1 2 2 0
渐近线方程：
2 2
a b a b
2
2
x y x
b
y 0
(2) 若渐近线方程为x
双曲线可设为
a a
b a
b
y x .
a
2
y
.
2
b
2 2
x y
(3) 若双曲线与 1
有公共渐近线，可设为
2 2
a b x
a
2
2
2
y
2
b
（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上）.
2
55. 抛物线y 2px 的焦半径公式抛物线 2 2 ( 0)
y px p 焦半径p
CF x .
0 2
p p
过焦点弦长CD x1 x2 x1 x2 p
2 2
.
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 2
AB (x x ) ( y y ) 或
1 2 1 2
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2 2 2 2
AB (1 k )(x x ) | x x | 1 tan | y y | 1 cot （弦端点 A (x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由方
2 1 1 2 1 2
程y
F(
kx
x, y)
b
2 bx c
消去y 得到ax 0 ，0, 为直线AB 的倾斜角，k为直线的斜率）.
57(1) 加法交换律：a＋b = b ＋a．(2) 加法结合律：(a＋b )＋c= a＋(b ＋c)．(3) 数乘分配律：λ(a＋b )= λa＋λb ．59 共线向量定理
对空间任意两个向量a、b (b ≠0 )，a∥b 存在实数λ使a= λb ．
u u u r uu u r u u u r u u u r u
u u r
P、A、B 三点共线AP || AB AP t AB OP (1 t)OA tOB
.
60.向量的直角坐标运算
设a＝(a1 ,a2, a3 )，b＝(b1, b2 ,b3) 则
(1) a＋b ＝(a1 b1,a2 b2 ,a3 b3) ；(2) a－b ＝(a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 )；(3) λa＝( a1, a2, a3 )(λ∈R)；(4) a·b ＝a1b1 a2b2 a3b3 ；
u u u r u u u r
u u u r
61.设A (x1, y1, z1) ，B (x2 , y2, z2 ) ，则AB OB OA
=(x2 x1, y2 y1, z2 z1 ).
62 ．空间的线线平行或垂直
r r
设，
a ( x , y , z )
b ( x , y ,z )
1 1 1
2 2 2
r r
，则a b
r r
a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 .
63.夹角公式
a b a b a b
1 1
2 2
3 3
设a＝(a1 ,a2, a3 )，b＝(b1, b2 ,b3) ，则cos 〈a，b 〉=
.
2 2 2 2 2 2
a a a
b b b
1 2 3 1 2 3
r r
r r
| a b | | x x y y z z |
1 2 1 2 1 2
64 ．异面直线所成角cos | c os a, b | r r
=
2 2 2 2 2 2
|a||b|x y z x y z
1 1 1
2 2 2
r r
o o
（其中（0 90 ）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）
65. 直线AB 与平面所成角
u u u r u r
u r
AB m
arc sin u u u r u r( m
| AB ||m|
为平面的法向量).
u r r u r r
u r
m n m n 66.二面角l 的平面角arc cos u r r 或arc cos u r r （m
| m||n| | m ||n |
r
，
n
为平面，的法向量）.
134. 空间两点间的距离公式
u u u r uu u r u u u r 若A ( x1, y1, z1 ) ，B ( x2 , y2 , z2) ，则d A,B = | AB | AB AB
2 2 2 ( x x ) ( y y ) (z z ) .
2 1 2 1 2 1
67.球的半径是R，则
其体积
4
3
V R ,其表面积
2
S 4 R ．
3
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a 的正四面体的内切球的半径为
6
12
a,外接球的半径为
6
4
a .
68 1 1
V Sh S h V Sh S
h. .
3 3
69.分类计数原理（加法原理）N m1 m2 L m n .
70.排列数公式m
A = n(n 1) (n m 1)=
n
n
！
.( n ，m ∈N *，且m n)．注:规定0!1. (n m)
！
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71.组合数公式m
C =
n
m
A
A
n
m
m
=
n(n
1
1) (
2
n m
m
1)
=
n！
(n
∈N
* ，m
N ，且
m
n ).
m！
(n m)！
72.组合数的两个性质(1) m
C =
n
n m
C ;(2)
n
m
C +
n
m
1
C
=
n
m
n
C
C .
1 .注:规定 1
n
n
m 1
m
m
155.组合恒等式（1）
C
C
n
n
m n n
1 m
m m
m
（; 2）
1（; 3）
C
C
C
C
n
n
n
n
n
m
m
1
1
;
（4）
n
r
r
C
n
= n
2 ;
73.排列数与组合数的关系m m
A m！C .
n n
74 ．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有m 1
A 种；②某（特）元不在某位有
n 1
m m 1
A n A （补集思想）
n 1
1 m 1
A n A （着眼位置）
1 n 1
m 1 m 1
A n A A （着眼元素）种.
1 m 1 n 1
（2）紧
贴与插空（即相邻
与不相邻
）
①定位紧
贴
：k(k m n) 个元在固定位的排列有k m k
A k A 种.
n k
②浮动
紧贴
：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有n k 1 k
A
n A
k k
1 种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组
元素分别
有k、h 个（k h 1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排
列数有h k
A h A
h
1 种.
（3）两组
元素各相同的插空
m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n m 1时，无解；当n m 1时，有
n
A
m C n
1
n m
A
n
1
种排法.
（4）两组
相同元素的排列：两组
元素有m 个和n 个，各组
元素分别
相同的排列数为n
C .
m n 75 ．分配问题
（1 ）( 平均分组
有归
属问
题) 将相异的m 、n 个物件等分给m个人，各得n 件，其分配方法数共有
N C n mn n
C
mn n
n
C
mn
n n
( m n)!
C C
2 .
n 2n n
m
(n! )
（2）(平均分组
无归
属问
题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
N
n
C
mn
n
C
mn
n
n
C
mn
m!
n n
... C2 C ( m n)!
2 .
n n n
m
m!(n! )
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2 +L +n m) 个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n，
1
n ，?，n m 件，且n1，n2 ，?，n m这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有2 N C n p
1
C n p
2
p! m!
n
...C m!
m .
m
n n
1
n !n !... n!
1 2 m
76. 二项式定理n C a C a b C a b C a b C b
0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n
(a b) ;
n n n n n
二项
展开式的通项
公式r n r r
T r 1 C a b (r0，1，2 ，n) .
n
k k n k
77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P (k ) C P (1 P) .
n n
78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（1）P i 0(i 1,2,L ) ;（2）P1 P2 L 1.
79. 数学期望 E x1P1 x2P2 L x n P n L
80.. 数学期望的性质（1）E(a b) aE () b.（2）若～B (n, p) ,则E np .
81. 方差
2 2 2
D x
E p x E p L x E p L标准差= D .
1 1
2 2 n n
82. 方差的性质(1) 2
D a b a D ；(2 ）若～B(n, p) ，则D np (1 p) . 文案大全
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83.. f (x) 在(a,b) 的导数 f ( x) y d y df y f (x x) f (x)
lim lim
dx dx x 0 x 0
x x
.
84.. 函数y f ( x) 在点x0 处的导数的几何意义
函数y f (x) 在点x0 处的导数是曲线y f (x) 在P(x0, f (x0 )) 处的切线的斜率 f (x0 )，相应的切线方程是y y0 f (x0 )(x x0 ).
85.. 几种常见函数的导数
(1) C 0 （C 为常数）.(2) ' n 1
(x ) nx (n Q) .(3) (sin x) cos x .
n
(4) (cos x) sin x (5)
1
(ln x) ；
x
1
x
(log a ) (6)
x l n a
x e x
x ) x ln
(e ) ; (a a
a .
86.. 导数的运算法则
（1）' ' '
(u v) u v .（2 ）
' ' '
(uv) u v uv .（3）
' '
u u v uv
'
( ) (v 0)
2
v v
.
87.. 复合函数的求导法则
设函数u (x) 在点x 处有导数' ' ( )
u x ，函数y f (u) 在点x 处的对应点U 处有导数
x
' ' ( )
y f u ，则复合函u
数y f ( ( x)) 在点x 处有导数，且' ' '
y y u ，或写作
x u x f x f u x . ' ( ( )) '( ) ' ( ) x
89. 复数的相等 a bi c di a c,b d .（a, b, c, d R ）
90. 复数z a bi 的模（或绝对值）| z|= |a bi | = 2 2
a b .
91. 复数的四则运算法(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i (2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(3) (a bi)( c di) (ac bd) (bc ad )i ;(4)
ac bd bc ad
(a bi) (c di) i(c di 0)
2 2 2 2
c d c d
.
的角度0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
2 的弧度0 6 4
3 2 3 3
4
5
6
3
2 2
1 sin 0 2
2
2
3
2
3
1 2
2
2
1
2 0 1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
1
0 2
2
2
3
2
1 0 1
tan 0
3
3
1
3
无 3 1
3
3
0 无0
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15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
y x y cosx y tan x
sin
数
性
质
图象
定义域R R,
x x k k
2值域1,11,1R
当x2k k时，
2
当x2k k时，
最值y max1；当x2k y max1；当x2k
既无最大值也无最小值
2
k时，y min1．k时，y min1．
22
周期性
奇偶性奇函数偶函数奇函数
在2k,2k
22
在2k,2k k上是
单调性k上是增函数；在
增函数；在2k,2k
在k,k
22 3
2k,2k
22
k上是减函数．
k上是增函数．k上是减函数．
对称性对称中心k,0k
对称轴x k k
2
对称中心k,0k
2
对称轴x k k
k
对称中心,0
2
无对称轴
k
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