更高更妙的物理：专题17 静电场：原理与方法

专题17 静电场：原理与方法在这个专题里，我们探讨有关静电场的一些重要原理以及场强、电势和电荷分布等问题的处理方法。

相对于观察者静止的电荷所产生的电场被我们称为静电场，静电场最重要的外观表现一是对进入电场的任何带电体都产生力的作用；一是当带电体在电场中移动时，电场力做功，说明静电场具有能量。

电荷守恒定律、库仑定律、高斯定理、场叠加原理、唯一性原理都是反映静电场这两大表现所具性质的基本规律。

在摩擦起电、接触起电、感应起电或其他方法使物体带电的过程中，正、负电荷总是同时出现且量值一定相等，当两种等量异种电荷相遇发生中和时，物体不再带电，即一种电荷消失时必然有相等量值的异种电荷同时消失。

实验证明：对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变—原来为零的始终为零，原来为某一量Q 的，则始终为Q ，此即电荷守恒定律，是物理学中的基本定律之一。

在静电场中，它与电场具有能量并遵从能量守恒是相承相容的。

许多静力学问题都须依据这一原理来解决。

【例1】一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q 。

如果球在第一次与板接触后带电量为q ，求球可获得的最大电量。

【分析与解】球在第一次与板接触后获得的电量为q ，说明有量值为q 的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为()Q q -，即球与板这一系统中的总电量是按qQ q-的比例分配到球上与板上的。

那么，当多次操作直至最终板上电量又一次为Q 但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上的电量达到最大，若设为max q ，则应有max q q Q Q q=-，故可求得球可获得的最大电量max qQq Q q =-。

点电荷间的库仑定律，是静电学的基本定律，库仑定律给出点电荷间相互作用力与距离平方成反比，它的内涵是很丰富的，它导致静电场是“有源场”—即我们熟悉的电场线总是从正电荷（源头）出发、到负电荷（尾间）终止的结果；它导致静电平衡的导体电荷分布在外表面而内部场强为零；它可以导出下面将做介绍的揭示静电场场强分布规律的高斯定理。

库仑力与万有引力均为平方反比力，点电荷电场与质点引力场的许多性质，具有可类比性。

在专题11中我们整理过的关于引力场的各种结论，往往通过平移对称操作，对电场同样适用，常用模型与方法也往往是相通的。

如引力场中曾被牛顿证明过的一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，即球壳内引力场处处为零。

这个结论平移到一个均匀带电球壳，则球壳内电场强度处处为零；又如，对于一个质量均匀半径为R 的实心球，在距球心r （R <）处质点只受到半径为r 的球内质量的万有引力，“引力场强”43G g r ρπ=，而r 以外的球壳（即R 为外径r 为内径的球壳）则对质点无引力的作用。

这个结论平移到一个均匀带电、半径为R 的实心球，在距球心r （R <）处的场强只由半径为r 的球内电荷贡献：03E r σε=，而与r 以外的球壳所带电荷无关，等等。

【例2】把两个相同的电量为q 的点电荷固定在相距为l 的地方，在二者中间放上第三个质量为m 电量亦为q 的点电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动，证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期T 。

【分析与解】如图所示，O 为等量同种正电荷连线的中点，该点场强为零，则第三个电荷置于该点处于平衡，受扰动后，设其有一位移x ，此时电荷受A 、B 两处点电荷的库仑力方向如图示，以位移方向为正，合力为22222221141122()()(1)(1)22A B kq F F F kq l l x x l x x l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦∑，注意到小幅振动xl ，2xl 是小量，则有 22222341144436(1)(1)4411kq kq x x kq F x x x l l l l l l l ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=--+=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-⎣⎦∑，可见第三个点电荷所受合力为线性变化力且方向总与位移相反，故为简谐运动，周期T =场强、电势和电荷分布等问题由于数学计算的困难，能够用初等数学精确求解的只在一些具有很强对称性的情况下。

例如点电荷及一对等量同种或异种点电荷形成的电场的场强与电势分布；均匀带电球体内、外各点的场强与电势分布；孤立带电导体球的电荷分布，等等。

【例3】均匀带电球壳半径为R ，带正电，电量为Q ，若在球面上划出很小一块，它所带电量为q （q Q ）。

试求球壳的其余部分对它的作用力。

【分析与解】这个问题中，待求力是带电球壳的内力，且对称分布，宜用微元法求解。

如图所示，A 是球面上划出的很小一块面积元，因带电量q ，故可视作一点电荷，其在A 内、外两侧引起的场强大小相等设为q E 、方向相反。

现设球壳其余部分在A 处的场强为A E ，则A 内侧面作为球壳内部，场强应为零，故有0A q E E -=。

①而A 外侧，由均匀球壳场强公式，可得2A q QE E k R +=⋅。

② 由以上两式可得22A QE k R=⋅，则点电荷q 在A 处所受球壳其余部分对它的力为22QqF k R=⋅。

【例4】一个半径为a 的孤立的带电金属丝环，其中心电势为0U 。

将此环靠近半径为b 的接地的球，只有环中心O 位于球面上，如图所示。

试求球上感应电荷的电量。

【分析与解】将带电金属丝环分成许多相同的小面元，每个电荷元所带电量为1q 、2q ⋅⋅⋅⋅⋅⋅n q ，它们在环中心O 处形成的电势0U 为0iiq U k a =∑，则金属丝带电量为0aU q k=。

设接地的球上感应电量为Q ，由于接地，故整个球为一电势为零的等势体，那么环上电荷及球上感应电荷在球心1O 处产生的电势之和应为零，即0kQ kQ b b ==+，得Q =。

现在，我们从库仑定律与场的叠加原理导出静电学的另一条基本规律—高斯定理。

我们知道，用电场线描述电场时，电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有条电场线垂直穿过，则eE SΦ=，e Φ称为电通量，并以正、负表示电场线从该面穿出或穿入。

先考察点电荷q 的电场，如图所示，S 为以点电荷q 为中心包围点电荷的球面，S '为包围点电荷q 的任意封闭曲面，若球面半径为r ，则球面上各处的场强大小均为204q E rπε=，式中1222018.8510/4C N m kεπ-=≈⨯⋅，称为真空中的介电常数。

显然，从该球面穿出的电通量220044e q qES r rππεεΦ==⋅=。

根据电场线的性质—在电场中没有电荷处的电场线是连续的、不相交的，可以肯定包围点电荷q 的任意封闭曲面S '上的电通量也是0e qεΦ=。

若如图所示，电荷q 在闭合曲面S ''之外，由电场线性质可知穿入曲面的电场线条数与穿出该曲面的电场线条数相等，那么整个封闭曲面的总电通量为零。

根据电场叠加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为i iq ∑，则0iieqεΦ=∑，在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的01ε，这就是真空中静电场的高斯定理。

当电荷分布具有某些特殊对称性时，往往可应用高斯定理简便地计算场强。

【例5】半径为r 的圆板，在与其中心O 距离为d 处置一点电荷q ，试求板上的电通量。

【分析与解】如图所示，以点电荷q为球心，以R =一球面，显然，通过圆板的电通量与以圆板周界为周界的球冠面的电通量是相同的，球面上电通量0e qεΦ=，则球冠面上电通量202()(1)42e eR R d q dR Rππε-'Φ=Φ=-，那么圆板上的电通量即为0(12e q ε'Φ=。

【例6】在相距d 的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为λ+及λ-。

求在对称平面上与导线所在平面相距为x 的一点P 的电场强度。

【分析与解】我们先利用高斯定理求出与细长导线距离为r 处的电场强度。

如图所示，细长导线均匀带电，由对称性知各点场强方向均沿法向，电场线分布辐向均匀。

现取一以细导线为几何轴、底面半径为r 、高0l ∆→的圆柱面，由高斯定理得该面上的电通量0e lλε⋅∆Φ=，则距轴心r 的圆柱面上的电场强度0022e l E S r l rλλεπεπΦ⋅∆===⋅∆。

本题中，P 点场强是两线电荷在该点电场的叠加，如图所示，两线电荷在P 点引起的场强大小相同：12E E ==，方向如图所示；合场强122022(4)P dE E d x λεπ===+。

我们面对的各种具体问题，往往情况复杂、对称破缺。

解决这类复杂问题的一条重要途径，便是依据静电场问题的唯一性原：理进行等效变换，设法将复杂问题化解为符合对称性要求的基本问题，以便利用已知规律最终得解。

等效处理的办法大致可分为两类：A 、对不具有对称性的带电体，用若干具有对称性的带电体做等效替代；或是对具有弱对称性的带电体，用具有更强对称性的带电体进行等效替代。

这种方法我们称之为“等效对称替代法”。

B 、对实际导体面或电介质面上的不均匀分布的电荷，用虚设的点电荷或均匀带电球进行等效替代，从而将一给定的静电场变换成另一易于计算的等效静电场。

这种方法我们称之为“等效电像变换法”先示例“等效对称替代法”。

【例7】如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较A '点与A ''点电场强度的大小。

【分析与解】球冠面上正电荷在A '点产生的电场以1E 示，球层面上正电荷在A ''点产生的电场以2E 示，由对称性容易确定1E 方向向右，2E 方向向左，如图所示。

乍一看，却似乎无法比较两部分不规则带电体产生的电场强度的大小，须设法作等效替代，创造出可运用已知规律的条件。

如图所示，设想以另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球，附在球层上构成球缺，显然，球缺在A ''点产生的电场强度3E 大于2E ；球缺和球冠构成一完整球，由于均匀带电球面内电场强度处处为零，那么，1E 与3E 必然大小相等方向相反，于是，我们可确定球冠面电荷在A '点产生的电场强度1E 大于球层面电荷在A ''点产生的电场强度2E 。

【例8】如图所示，正四面体ABCD 各面为导体，但又彼此绝缘。

已知带电后四个面的静电势分别为1ϕ、2ϕ、3ϕ和4ϕ，求四面体中心O 点的电势0ϕ。

【分析与解】若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定。

现正四面体ABCD 各面静电势均不同，其中心点的电势0ϕ难以直接确定，我们来进行等效替代：另有同样的三个四个面的静电势分别为1ϕ、2ϕ、3ϕ和4ϕ的正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为1234ϕϕϕϕ+++，中心点O 共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心O 点电势为012344ϕϕϕϕϕ=+++，于是求得和123404ϕϕϕϕϕ+++=。