弹塑性力学习题集_很全有答案

图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
题 2—4 图
2—5* 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的 转角和位移。（E 为弹性模量、J 为惯性矩）
2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。
弹塑性力学习题
第二章 应力理论·应变理论
2—1 试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P = 10KN 的作用下杆 横截面上的正应力 σ 及与横截面夹角α = 30° 的斜截面上的总应力 Pα 、正应力 σα 和剪应力 τα ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。
2—2 试用材料力学公式计算：题 2—2 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa），并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。
σ ij
=

0 − 30MPa
(对称)
110
试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力 Pα ，正应力 σ α 和剪应力τ α 。 2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，
并证明当坐标变换时它们是不变量。
2—12 试写出下列情况的应力边界条件。
2—13 态。
题 2—12 图
设题 2—13 图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端 C 处于零应力状
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外
表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽 略的应力 σ x 、τ zx 之间的关系。
2—15 如题 2—15 图所示三角形截面水坝，材料的比重
为 γ ，水的比 重为 γ 1 ，已求 得其应力解 为： σ x = ax + by, σ y = cx + dy − γy, τ xy = −dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。
2—16* 已知矩形截面高为 h，宽为 b 的梁受弯曲时的正
2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量 E、剪切弹性模
量 G、泊松比 v 之间的关系：
题 2—5 图
题 2—6 图
G= E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2—8 图
2—21*
证明等式：
J3
=
1 3
S ik
S km S mi
。
2—22* 试证在坐标变换时， I1 为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用
张量计算证明。
5 3 8 2—23 已知下列应力状态： σ ij = 3 0 3 MPa ，试求八面体单元的正应力 σ 8 与剪
8 3 11
题 2—27 图
2—28 设一物体的各点发生如下的位移：
u = a0 + a1x + a2 y + a3 z v = b0 + b1x + b2 y + b3 z w = c0 + c1x + c2 y + c3 z 式中 a0 L, a1 L, a2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
题 2—2 图
题 2—3 图
2—3 求题 2—3 图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为 MPa），并说 明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。
2—4 已知平面问题单元体的主应力如题 2—4 图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为 MPa。 试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。
2—9 已知一点的应力张量为：
50 50 80
σ ij
=

0 − 75MPa
(对称)
− 30
试求外法线
n
的方向余弦为： nx
=
1 2
，ny
=
1 2
， nz
=
1 2
的微斜面上的全应力 Pα
，正
应力 σ α 和剪应力τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
50 30 − 80
应力σ z
=
My J
=
12M bh 3
y ，试求当非纯弯时横截面上的剪应力公
式。（利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0
2—17
已知一点处的应力张量为： σ ij
=

6
10
0MPa ，试求该点的最大主应力及
0 0 0
其主方向。
2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以τ yz 和τ zx 表示主应力。 2—19 已知应力分量为 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, τ yz = a, τ zx = b, 计算主应力 σ1 、σ 2 、σ 3 ，
(1) u = (3x 2 + 20) ×10−2 , v = (4 yx) ×10−2 ，在（0，2）点处。
应力τ 8 。 2—24* 一点的主应力为： σ1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力τ 8 。 2—25 试求各主剪应力τ1 、τ 2 、τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)
并求 σ 2 的主方向。 2—20 证明下列等式：
(1)
J2
=
I2
+
1 3
I12 ;
(3)
I2
=
−
1 2
(σ
iiσ
kk
− σ ikσ ik );
(5)
∂J 2 ∂Sij
= Sij ;
(2)
J3
=
I3
+
1 3
I1I 2
+
2 27
I13 ;
(4)
J2
=
1 2
Sij Sij ;
(6)
∂J 2 ∂σ ij
= Sij .