2011—2020年新课标全国卷1理科数学分类汇编三角函数、解三角形(解析在下面)
2011-2020高考新课标1卷理科三角函数、解三角形
一、选择题
【2020，9】．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）
A ．
53 B ．23 C ．13 D ．5
9
【2020，7】.设函数()cos()6
f x x π
ω=+
在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）
A.109
π
B.76π
C.43π
D.32π
【2019，11】关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(
,)2
π
π单调递增
③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③ 【2019，5】函数2
sin ()cos x x
f x x x
+=
+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A. B.
C. D.
解答： ∵()()()
2
sin ()cos x x f x x x ---=
-+-=2
sin cos x x
x x
+-
+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A ，
又2
2
sin 422
2
()02
cos
22f π
π
π
π
ππ
π+
+==
>??
+ ???
，排除C ，
()
2
2
sin ()01cos f πππ
ππ
ππ+=
=
>++，排除B ，故选D.
【2018，16】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________． 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
【2016，12】已知函数)2
,0)(sin()(π
?ω?ω≤
>+=x x f ，4
π
-
=x 为)(x f 的零点，4
π
=
x 为
)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36
5,18(π
π单调，则ω的最大值为（ ）
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
【2015，8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．13(,),44k k k ππ-
+∈Z B ．13
(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13
(2,2),44
k k k -+∈Z
【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）
A ．32-
B ．32
C ．12-
D ．12
【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则
y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）
【2014，8】设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则（ ） A ．32
π
αβ-=
B ．22
π
αβ-=
C ．32
π
αβ+=
D ．22
π
αβ+=
【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x π
ω=+
在（
2
π
，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A ．[
12，5
4
] B ．[12，34] C ．（0，12
] D ．（0，2]
【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ω?ω?ω?=+++><
的最小正周期为π，
且()()f x f x -=，则（ ）
A ．()f x 在0,
2π?
?
??
?
单调递减 B ．()f x 在3,44ππ??
??
?
单调递减 C ．()f x 在0,2π??
??
?
单调递增 D ．()f x 在3,44
ππ??
???
单调递增
二、填空题
【2020，16】.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，
AB AD ⊥，30CAE ∠=?，则cos FCB ∠= .
【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ． 【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，
且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________． 【2011，16】在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题
【2019，17】.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；
（222a b c +=，求sin C .
【2018，17】（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC =?∠，45A =?∠，2AB =，5BD =． ⑴求cos ADB ∠； ⑵若2DC =，求BC ．
【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
2
3sin a A
（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
【2016，17】ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=
c ，ABC ?的面积为
2
3
3，求ABC ?的周长．
【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．
(1)若PB ＝
1
2
，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．
【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．
（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．
3．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题
【2020，9】．已知(0,)
απ
∈，且3cos28cos5
αα
-=，则sinα=（）
A．
5
B．
2
3
C．
1
3
D．
5
解答：由3cos28cos5
αα
-=，得2
3(2cos1)8cos5
αα
--=，
得2
3cos4cos40
αα
--=，化为(3cos2)(cos2)0
αα
+-=，
得
2
cos
3
α=-，那么5
sinα=
【2020，7】.设函数()cos()
6
f x x
π
ω
=+在[,]
ππ
-的图像大致如下图，则()
f x的最小正周期为（）A.
10
9
π
B.
7
6
π
C.
4
3
π
D.
3
2
π
解析：
∵
4
cos()0
96
ππ
ω
-+=，∴
4
2()
962
k k Z
ππ
πωπ
-+=-∈，
∴
93
22
k
ω=-+，根据图像可知
2413
||99
π
πππ
ω
<+=，
2
||
π
π
ω
>，∴18||2
13
ω
<<，
故取0
k=，则
3
2
ω=，∴
224
3
||3
2
T
ππ
π
ω
===
，故选C.
【2019，11】关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(
,)2
π
π单调递增
③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确， 因为
52,(,)632ππππ∈，而52()()63
f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. 【2019，5】函数2
sin ()cos x x
f x x x
+=
+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A. B.
C. D.
解答： ∵()()()
2
sin ()cos x x f x x x ---=
-+-=2
sin cos x x
x x +-
+()f x =-，
∴()f x 为奇函数，排除A ，
又2
2
sin 422
2
()02
cos
22f π
π
π
π
ππ
π+
+==
>??
+ ???
，排除C ，
()
2
2
sin ()01cos f πππ
ππππ+=
=
>++，排除B ，故选D.
【2018，16】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()
f x 的最小值是________．
解答：∵
()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π
=，∴
2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴
1
cos 2x =
或cos 1x =-. ∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或
53
x π=,
当cos 1,x =-x π= ∴5()3f π=()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=
∴()f x 最小值为 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π
3
)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，
得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23?
?
=+ ???
C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222???
?==+
-=+ ? ??
??
?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224??????=+?????????→=+=+ ? ? ??????
?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233??????
→=+=+ ? ?????y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π
3
+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+
x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π
12
．故选D ；
【2016，12】已知函数)2
,0)(sin()(π
?ω?ω≤>+=x x f ，4
π
-
=x 为)(x f 的零点，4
π
=
x 为
)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36
5,18(π
π单调，则ω的最大值为（ ）
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
【解析】：由题意知：12
π
+π 4
ππ+π+
42
k k ω?ω??-=????=??则21k ω=+，其中k ∈Z ，
()f x 在π5π,1836??
???
单调，
5π,123618122T ππω∴
-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ω?==-，此时π()sin 114f x x ?
?=- ??
?，()f x 在
π3π,1844?? ???递增，在3π5π,4436?? ???递减，不满足()f x 在π5π,1836??
???单调；若π9,4ω?==，此时
π()sin 94f x x ??=+ ???，满足()f x 在π5π,1836??
???
单调递减．故选B ．
【2015，8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．13
(,),44k k k ππ-
+∈Z B ．13
(2,2),44k k k ππ-+∈Z
C ．13
(,),44k k k -+∈Z
D ．13
(2,2),44
k k k -+∈Z
解析：由五点作图知，1
+42
53+42
πω?π
ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，令
22,4
k x k k π
ππππ<+<+∈Z ，解得124k -
＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（1
24
k -，3
24
k +
），k ∈Z ，故选D ． 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）
A ．3-
B ．3
C ．12-
D ．12
解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=，选D ．. 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x
的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，
将
点M到直线OP的距离表示为x的函数()
f x，则y=()
f x在[0,π]上的图像大致为（）
【解析】：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则PM=sin x，OM=cos x,在Rt OMP
?中，
MD=
cos sin
1
x x
OM PM
OP
=cos sin
x x
=
1
sin2
2
x
=，
∴()
f x
1
sin2(0)
2
x xπ
=≤≤，选B.
【2014，8】设(0,)
2
π
α∈，(0,)
2
π
β∈，且
1sin
tan
cos
β
α
β
+
=，则
A.3
2
π
αβ
-=B.2
2
π
αβ
-=C.3
2
π
αβ
+=D.2
2
π
αβ
+=
【解析】∵
sin1sin
tan
cos cos
αβ
α
αβ
+
==，∴sin cos cos cos sin
αβααβ
=+
()
sin cos sin
2
π
αβαα
??
-==-
?
??
，,0
2222
ππππ
αβα
-<-<<-<
∴
2
π
αβα
-=-，即2
2
π
αβ
-=，选B
【2012，9】已知0
ω>，函数()sin()
4
f x x
π
ω
=+在（
2
π
，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．[
1
2
，
5
4
] B．[
1
2
，
3
4
] C．（0，
1
2
] D．（0，2]
【解析】因为0
ω>，
2
x
π
π
<<，所以
2444
x
ππππ
ωωωπ
?+<+
4
f x x
π
ω
=+在
（
2
π
，π）上单调递减，所以
242
3
42
πππ
ω
ππ
ωπ
?
?+≥
??
?
??+≤
??
，解得
15
24
ω
≤≤，故选择A.
【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)
2
f x x x
π
ω?ω?ω?
=+++><的最小正周期为π，且()()
f x f x
-=，则（）
A．()
f x在0,
2
π
??
?
??
单调递减B．()
f x在
3
,
44
ππ
??
?
??
单调递减
C ．()f x 在0,
2π??
??
?
单调递增 D ．()f x 在3,44ππ??
??
?
单调递增 解析：()2sin()4
f x x π
ω?=
++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，
,4
2
4k k k z π
π
π
?π?π∴+
=
+?=
+∈，()2sin(2)2cos22
f x x x π
∴=+=，选A. 【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
解析：由题知tan 2θ=,222222
cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5
θθθθθθθ--===-++，选B. 二、填空题
【2020，16】.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，
AB AD ⊥，30CAE ∠=?，则cos FCB ∠= .
解析：3AB =1AC =，AB AC ⊥，∴2BC =， 同理6DB =
3AE DA ==30CAE ∠=?，1AC =.
∴2222cos EC AE AC AE AC EAC =+-???∠
3
312311=+-=.在BCF ?中，2BC =，1FC EC ==，6FB DB ==
∴2221461
cos 22214
FC BC FB FCB FC BC +-+-∠===-????.
【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .
解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ?中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得
o o
sin 30sin 75
BC BE
=，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ?中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理
知
o o
sin 30sin 75BF BC
=
，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.
【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，
且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .
【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由
及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，
∴2
2
2
b c a bc +-=，故2221
cos 22
b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1
sin 32
ABC S bc A ?=
≤， 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________. 解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin cos 55x x ??
-
???
，令cos α＝5，sin α＝5-， 则f (x )＝5sin(α＋x )，当x ＝2k π＋π
2
－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，
即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α??- ???＝πcos 2α??
- ???＝sin α＝2555
-=-
. 【2011，16】在ABC 中，60,3B AC ==，则2AB BC +的最大值为 ． 解析：0
120120A C C A +=?=-,0
(0,120)A ∈,
22sin sin sin BC AC
BC A A B
==?= 022sin 2sin(120)3cos sin sin sin AB AC
AB C A A A C B
==?==-=+； 2AB BC ∴+=
3cos 5sin 28sin()27sin()A A A A ??+=+=+，故最大值是27
三、解答题
【2019，17】.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （3）求A ；
（42b c +=，求sin C .
解答：（1）由()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=
结合正弦定理得2
2
2
b c a bc +-=∴2221cos =22
b c a A b c +-=??又(0,)A π∈，∴=3A π.
（22b c +=sin 2sin A B C +=,
()sin 2sin A A C C ++=sin()2sin 3
C C π
++=,
1cos 2C C -=
sin()6C π-=又203C π<<∴662
C πππ
-<-<
又sin()06
C π
-
>∴06
2
C π
π
<-
<
∴cos 62
C π?
?
-
= ?
?
?
∴sin sin()66C C π
π=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ????-+- ? ?????4
+=.
【2018，17】（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC =?∠，45A =?∠，2AB =，5BD =．
⑴求cos ADB ∠； ⑵若DC =，求BC ．
解答：
（1）在ABD ?中，由正弦定理得：
52sin 45sin ADB =∠,∴2
sin ADB ∠=, ∵90ADB ∠<,∴223cos 1sin 5
ADB ADB ∠=-∠=. （
2
）
2
ADB BDC π
∠+∠=
,∴
cos cos()sin 2BDC ADB ADB
π
∠=-∠=∠，∴cos cos()sin 2
BDC ADB ADB
π
∠=-∠=∠,
∴
222
cos 2DC BD BC BDC BD DC
+-∠=
??,
∴
2252522
=??.∴5BC =. 【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
2
3sin a A
（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A =．且1sin 2S bc A =，∴21sin 3sin 2
a bc A A =，
∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3
B C =．
（2）由（1）得2sin sin 3B C =
，1
cos cos 6
B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
， 又∵()0πA ∈，，∴60A =?，3
sin A ，1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =?，sin sin a c C A =?，∴2
2
sin sin 8sin a bc B C A
=?= ②
由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+
【2016，17】ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．
（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=
c ，ABC ?的面积为
2
3
3，求ABC ?的周长． 【解析】⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=，
由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ?+?=
()2cos sin sin C A B C ?+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，
∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =
，∵()0πC ∈，，∴π3
C =
⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-?，221722a b ab =+-?
，
()2
37a b ab +-=
1sin 2S ab C =?，
∴6ab =，∴()2
187a b +-=，5a b +=
∴ABC △周长为5a b c ++=
【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
(1)若PB ＝
1
2
，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.
在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝117
32cos 30424
+-?=，故P A ＝2.
(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA sin sin(30)
α
α=
?-，
α＝4sin α，所以tan α，即tan ∠PBA
【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．
（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，
得A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，
因为cos sin 0a C C b c +--=，
所以0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(=--+C R B R C A R C A R ， 即0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A ，（1）
由三角形内角和定理，得C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，
代入（1）式得0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin =---+C C A C A C A C A ， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即2
1
)6
sin(=
-π