椭圆的简单几何性质教学讲义

椭圆的简单几何性质教学讲义

自主预习·探新知

情景引入

“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？

新知导学

1．椭圆的几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)

x2

b2＋

y2

a2＝1(a>b>0)

图形

性质

焦点__F1(－c,0)，F2(c,0)____F1(0，－c)，F2(0，c)__焦距|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)|F1F2|＝2c(c＝a2－b2)范围__|x|≤a，|y|≤b____|x|≤b，|y|≤a__

对称性关于__x轴、y轴和原点__对称

顶点__(±a,0)，(0，±b)____(0，±a)，(±b,0)__轴长轴长__2a__，短轴长__2b__

离心率e＝__

c

a__(0

如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝c

a，记e＝c

a则0

3．椭圆性质分类

根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之

一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如__长短轴长__、__焦距__、__离心率__；一类是与坐标系有关的性质，如__顶点__、__焦点__. 预习自测

1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( B ) A ．5,3，4

5

B ．10,6，4

5

C ．5,3，3

5

D ．10,6，3

5

[解析] 变形x 29＋y 225＝1，∵焦点在y 轴上，∴a ＝5，b ＝3，∴长轴长10，短轴长6，e ＝4

5.

2．椭圆x 26＋y 2

11＝1的焦距为( A )

A ．25

B ．26

C ．5

D ．217

[解析] 结合椭圆的性质可知， a 2＝11，b 2＝6，故c 2＝a 2－b 2＝11－6＝5，故焦距为25，故选A ．

3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( A ) A ．x 236＋y 2

16＝1

B ．x 216＋y 2

36＝1

C ．x 26＋y 2

4

＝1

D ．y 26＋x 2

4

＝1

[解析] 设椭圆方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，

⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＋

b ＝102

c ＝45a 2

＝b 2

＋c

2

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝6

b ＝4

∴椭圆方程x 236＋y 216

＝1.

4．(2019·北京理，4)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心

率为1

2，则( B )

A ．a 2＝2b 2

B ．3a 2＝4b 2

C ．a ＝2b

D ．3a ＝4b

[解析] 因为椭圆的离心率e ＝c a ＝1

2，所以a 2＝4c 2.

又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2.故选B ．

5．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为__3

2

__.

[解析] ∵焦点在y 轴上，∴0

2－m 2

＝12，∴m ＝32

. 互动探究·攻重难

互动探究解疑

命题方向❶ 椭圆的主要几何量

典例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． [规范解答] 把已知方程化成标准方程x 216＋y 2

9＝1，

于是a ＝4，b ＝3，c ＝

16－9＝7，

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝7

4，

两个焦点坐标分别是(－7，0)、(7，0)，

四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)． 『规律总结』 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a 、b 、c ，写出其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度；

(4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点． ┃┃跟踪练习1__■

求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

[解析] 将方程变形为y 225＋x 2

16＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分

别为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝3

5，焦点坐标F 1(0，－3)、F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－

5)、A 2(0,5)、B 1(－4,0)、B 2(4,0)．

命题方向❷ 由椭圆的几何性质求标准方程