中考求阴影部分面积

中考求阴影部分面积

欧阳学文

【知识概述】

计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。

一、转化法

此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。

分析：连结CD、OC、OD，如图2。易证AB//CD，则的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得，故

。

例2、如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB 是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于_______．

分析：一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积，便可以使原来不规则的图形转化为规则图形。

解：连结OB、OC．

∵BC∥OA，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴影=S扇形OB C．

∵AB是⊙O的切线，∴∠BOA=90°，

∵OB=1，OA=2，∴∠OBC=∠BOA=60°，

∴∠BOC=，∴扇形OBC是圆的．

∴S阴影=S扇形OBC=

二、和差法

有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。

例3. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。

分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，

。三、重叠法

就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。

例4. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。

解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故。

代数法:

析解:设每片叶形面积为x,每个空白部分的面积为y,

由面积关系列出方程组:

得，

所以

四、补形法

将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

例 5. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，

，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。

图2

解：延长BC、AD，交于点E，因为，所以，又，易求得，所以

。

例2.(南充市)如图2，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=，则阴影部分的面积S=____________．析解:将图中阴影部分补上扇形OAB,得由勾股定理可得,解可得,所以

五、拼接法

例6. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。

解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为b，水平方向的长变成了，所以草地的面积为。

六、特殊位置法

例7. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。

分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）。

解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知。又AB切小半圆于点H，故，故

七、代数法

将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。

例8. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。

解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形的面积是，而是以半径为a的圆面积的。故有，。解得

。即阴影部分的面积是。

需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。

八、整体求解法

例9:(广东韶关市)如右图12，，，，相互外离，它们的半径都是，顺次连结四个圆心得到四边形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于_____．（结果保留）

析解:如果想将图中四个扇形的面积分别求出,显然是不可能的,因此应考虑将四个扇形的面积整体求解,因为四边形的内角和为,从而可知所求阴影部分的面积可以组成一个圆的面积, 所以

阴影部分面积练习

1、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积为．

2、如图，正方形ABCD的面积为1，M

是AB的中点，则图中阴影部分的面

（第1题）

积是．

3、如图，扇形OAB ，∠AOB=90，⊙P 与OA 、OB 分别

相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是．

4、如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的

上，若OA=1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积

为 ． 5、如下图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO=65cm ，CO=15cm ，当AC 绕点O 旋转90°时，则刮雨刷AC 扫过的面积为_________cm2．

6、如图，AB 是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦

MN∥AB，且MN 与⊙O2相切于C 点，若⊙O1的半

径为2，则O1B 、BN

⌒ 、NC 与CO1⌒ 所围成的阴影部分的面积是．

7、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（∠AOB）

B 第7题图 O 1

O 2