高考数学分类复习数列常见题型和方法

高考数学分类复习数列常见题型和方法
高考数学分类复习数列常见题型和方法

高考数学分类复习数列常见题型和方法

一、基础知识复习

1.等差数列

〔1〕等差数列的判断:定义法或.

〔2〕等差数列的通项:或.

〔3〕等差数列的前和:,.

如a.数列 中,,,前n 项和,则=_,=_;

{}n a *11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈32n a =152n S =-1a n

b.已知数列 的前n 项和,求数列的前项和.{}n a 212n S n n =-{||}n a n n T

〔4〕.等差数列的性质:

〔1〕当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.

〔2〕若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列. 〔3〕当时,则有,特别地,当时,则有.

如a.等差数列中,,则=____;{}n a 12318,3,1n n n n S a a a S --=++==n

b.设{}与{}是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么___________

n a n b n n S n T 3413-+=n n T S n n =n n b a

c.等差数列中,,,问此数列前多少项和最大?并求此最大值.

2.等比数列:

〔1〕等比数列的判断:定义法,其中或

.

如:数列中,=4+1 〔〕且=1,若 ,求证:数列{}是等比数列.

〔2〕等比数列的通项:或.

如设等比数列中,,,前项和=126,求和公比.

{}n a 166n a a +=21128n a a -=n n S n q

〔3〕等比数列的前和:当时,;当时,.

如等比数列中,=2,S99=77,求 q 9963a a a +++

〔4〕等比中项:若成等比数列,那么A 叫做与的等比中项.

如:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数.

〔5〕.等比数列的性质:

〔1〕当时,则有,特别地,当时,则有.

如:各项均为正数的等比数列中,若,则 .

〔2〕 若是等比数列,则、、成等比数列;若成等比数列,则、成等比数列; 若是等比数列,且公比,则数列 ,…也是等比数列.当,且为偶数时,

数列 ,…是常数数列0,它不是等比数列.

如: 在等比数列中,为其前n 项和,若,则的值为______}{n a n S 140,1330101030=+=S S S S 20S

3.数列的通项的求法:

⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.

⑵已知〔即〕求,用作差法:.如:数列满足,求.

〔3〕若求用累加法:

.

如已知数列满足,,则=________ {}n a 11

a =n n a a n n ++=--111(2)n ≥n a

〔4〕已知求,用累乘法:.

〔5〕已知递推关系求,用构造法〔构造等差、等比数列〕. 如:a.已知,求;111,32n n a a a -==+n a

b.已知,求.

111,32n n n a a a -==+n a

C .已知,求;1

111,31n n n a a a a --==+n a D .已知数列满足=1,,求. 1

a =n a

7.数列求和:

〔1〕公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:,,.

如:等比数列的前项和S n=2n-1,则=_____; {}n a n 2232221n a a a a ++++

〔2〕分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.

如求: 1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--

〔3〕倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和〔这也是等差数列前和公式的推导方法〕.

如:求证:; 01235(21)(1)2n n

n n n n C C C n C n +++++=+

〔4〕错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法〔这也是等比数列前和公式的推导方法〕.

如:设为等比数列,,已知,,①求数列的首项和公比;②求数列的通项公式.{}n a 121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++11T =24T ={}n a {}n T

〔5〕裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

111(1)1n n n n =-++; ;1111()()n n k k n n k =-++

1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ;;11(1)!!(1)!n n n n =-++

=<<=.

如:求和: ;

1111447(32)(31)n n +++=??-?+ 二、题型训练

1. 已知数列的前项和为,设是与2的等差中项,数列中,,{}n a n n S n a n S {}n b 11b =

点在直线上.P ()1,n n b b +2y x =+

〔Ⅰ〕求;

〔Ⅱ〕若数列的前项和为,比较与2的大小;

〔Ⅲ〕令,是否存在正整数,使得对一切正整数都成立?若存在,求出的最小值;若不存在,

请说明理由.

1.解 〔Ⅰ〕由题意,得,,.

,,1122,22n n n n S a S a ++=-=-∴()1112n n n n n a S S a a +++=-=-

∴12n n a a +=.数列是以2为公比,首项的等比数列,∴{}n a 12a =

N 〕.点在直线上,

∴12n n b b +=+, 即.数列是以2为公差,首项的等差数列.12n n b b +-=∴{}n b 11b =

N 〕.

〔Ⅱ〕,

∴ 12111n B B B +++22221111123n =++++()111112231n n <++++??- 11111112231n n ??????=+-+-++- ? ? ?-??????1

2n =-2<.

〔Ⅲ〕 ① ∴231113212222n n n T +-=+++ ②

①-②得,23111111212222222n n n n T +-??=++++- ???1111112142212212n n n -+???- ?-??=+?--

∴21213322n n n n T --=--<.单调递增,.11,2n T T =∴1[,3)2n T ∈

∴要使对一切正整数都成立,只要且为正整数,的最小值为3.n T M

数列高考题型分类汇总

题型一 1.设{a n }是公比为正数的等比数列a 1 =2,a 3 =a 2 +4. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n项和S n . 题型二 2.已知数列{a n }、{b n }、{c n }满足. (1)设c n =3n+6,{a n }是公差为3的等差数列.当b 1 =1时,求b 2 、b 3 的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n ≥b k ; (3)设,.当b 1=1时,求数列{b n }的通项公式. 题型三 3.已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2(m﹣n)2 (1)求a 3,a 5 ; (2)设b n =a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 (n∈N*),证明:{b n }是等差数列; (3)设c n =(a n+1 ﹣a n )q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{c n }的前n项和S n . 题型四 4.已知数列{an}满足,,n∈N×. (1)令b n =a n+1 ﹣a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式. 5.设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n, (Ⅰ)求a 1,a 4 (Ⅱ)证明:{a n+1 ﹣2a n}是等比数列; (Ⅲ)求{a n }的通项公式. 6.在数列{a n }中,a 1 =1,.

(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)令 ,求数列{b n }的前n 项和S n ; (Ⅲ)求数列{a n }的前n 项和T n . 7.已知数列{a n }的首项, ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)证明:数列是等比数列; (Ⅱ)求数列的前n 项和S n . 8.在数列{}n a 中,10a =,且对任意*k N ∈k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等差数列, 其公差为k d 。 (Ⅰ)若k d =2k ,证明21222,,k k k a a a -+成等比数列(*k N ∈); (Ⅱ)若对任意*k N ∈,21222,,k k k a a a -+成等比数列,其公比为k q . 设1q ≠1.证明11k q ????-??是等差数列; 9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ (I )设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II )求数列{}n a 的通项公式。 10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (Ⅰ)证明:当2b =时,{}12n n a n --?是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式

数列高考常见题型分类汇总情况

数列通项与求和 一、数列的通项 方法总结: 对于数列的通项的变形,除了常见的求通项的方法,还有一些是需要找规律的,算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则: ①对于同时出现n a ,n ,n S 的式子,首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解,或者同除一个式子,同加,同减,取倒数等,如果出现分式,将分式化简成整式; ②利用1--=n n n S S a 关系消掉n S (或者n a ),得到关于n a 和n 的等式,然后用传统的求通项方法求出通项; ③根据问题在等式中构造相应的形式,使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列; ④对于出现2n a 或2 n S (或更高次时)应考虑因式分解,最常见的为二次函数十字相乘法,提取公因式法;遇到1+?n n a a 时还会两边同除1+?n n a a . 1. 规律性形式求通项 1-1.数列{a n }满足a n+1=,若a 1=,则a 2016的值是( ) A . B . C . D . 1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦?B ?曼德尔布罗特(Benoit B .Mandelbrot )在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图,则第12行的实心圆点的个数是( ) A .55 B .89 C .144 D .233 1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为(n ≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,,

,…,则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A . B . C . D . 2.出现n a ,n ,n S 的式子 1-4.正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令()2221n n a n n b ++= ,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <. 1-5.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =, 2121233 n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值; (2) 求数列{}n a 的通项公式.

2017年高考试题分类汇编(数列)

2017年高考试题分类汇编(数列) 考点1 等差数列 1.(2017·全国卷Ⅰ理科)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=, 648S =,则{}n a 的公差为 C A .1 B .2 C .4 D .8 2.(2017·全国卷Ⅱ理科)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则 11n k k S ==∑ . 21n n + 3.(2017·浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.(2017·全国卷Ⅲ理科)设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则 4a =____.8- 2.(2017·江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知 374S = ,6634 S =,则8a = . 32 3.(2017·全国卷Ⅱ理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远 望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍, 则塔的顶层共有灯 B A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.(2017·全国卷Ⅲ理科)等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a , 6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A A .24- B .3- C .3 D .8

高考文科必考题型训练11数列大题学

2013年高考文科必考题型训练11数列大题 1.【2012高考浙江文19】(本题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且 S n =22n n +, n ∈N ﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n ∈N ﹡. (1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 2.【2012高考重庆文16】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分)) 已知{}n a 为等差数列,且13248,12,a a a a +=+=(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,若12,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值。 3. (2011年高考福建卷文科17)(本小题满分12分) 已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (I )求数列{a n }的通项公式;(II )若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.

4.(2011年高考全国新课标卷文科17)(本小题满分12分) 已知等比数列{}n a 中,3 1,311== q a , (1)n s 为数列{}n a 前n 项的和,证明:2 1n n a s -= (2)设n n a a a b 32313log log log +++= ,求数列{}n b 的通项公式; 5.(2011年高考重庆卷文科16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分) 设{}n a 是公比为正数的等比数列,12a =,324a a =+。 (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设{}n b 是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。 6、(2010陕西文数)16.(本小题满分12分) 已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项; (Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n .

高考数学题型全归纳:数列要点讲解(含答案)

数 列 一、高考要求 1. 理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列 的前n 项. 2. 理解等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运 用这些知识来解决一些实际问题. 3. 了解数学归纳法原理,掌握数学归纳法这一证题方法,掌握“归纳—猜想—证明”这一思 想方法. 二、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位,一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,解答题大多以考查数列内容为主,并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势 (1)数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验,而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 (2)数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力,近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。(3)加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛,且十分灵活,主动发现题目中隐含的相关性质,往往使运算简洁优美.如243546225a a a a a a ++=,可以利用等比数列的性质进行转化:从而有 223355225a a a a ++=,即235()25a a +=. 4.对客观题,应注意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题,就会发现,除了常规方法外,还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下: ①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质,可更加准确、快速地解题,这种思路在解客观题时表现得更为突出,很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5.在数列的学习中加强能力训练 数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说,考题中选择、填空题解法灵活多变,

全国各地高考数学试题数列分类汇编

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1.(2018全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则=5a ( ) A .12- B .10- C .10 D .12 答案:B 解答: 11111132433(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-, ∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.(2018北京理)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ,33436d d ∴+++=,6d ∴=,()36163n a n n ∴=+-=-. 3.(2017全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 【答案】C 【解析】设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,61165 6615482 S a d a d ?=+=+=,联立112724 ,61548 a d a d +=?? +=?解得4d =,故选C. 秒杀解析:因为166346() 3()482 a a S a a +==+=,即3416a a +=,则4534()()24168a a a a +-+=-=, 即5328a a d -==,解得4d =,故选C. 4.(2017全国新课标Ⅱ理)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 【答案】B 5.(2017全国新课标Ⅲ理)等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a ,6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为( ) A .24- B .3- C .3 D .8 【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列,且236,,a a a 成等比数列,设公差为d . 则2 3 26a a a =?,即()()()2 11125a d a d a d +=++ 又∵11a =,代入上式可得220d d += 又∵0d ≠,则2d =- ∴()616565 61622422 S a d ??=+=?+?-=-,故选A. 6.(2017全国新课标Ⅰ理)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{} n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 【答案】C 【解析】设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,61165 6615482 S a d a d ?=+=+=,联立112724 ,61548 a d a d +=?? +=?解得4d =,故选C.

数列高考题型分类汇总

(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n项和S n . 题型二 2.已知数列{a n }、{b n }、{c n }满足. (1)设c n =3n+6,{a n }是公差为3的等差数列.当b 1 =1时,求b 2 、b 3 的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n ≥b k ; (3)设,.当b 1=1时,求数列{b n }的通项公式. 题型三 3.已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2(m﹣n)2 (1)求a 3,a 5 ; (2)设b n =a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 (n∈N*),证明:{b n }是等差数列; (3)设c n =(a n+1 ﹣a n )q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{c n }的前n项和S n . 题型四 4.已知数列{an}满足,,n∈N×. (1)令b n =a n+1 ﹣a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式. 5.设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n, (Ⅰ)求a 1,a 4 (Ⅱ)证明:{a n+1 ﹣2a n}是等比数列; (Ⅲ)求{a n }的通项公式. 6.在数列{a n }中,a 1 =1,. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;

(Ⅱ)令,求数列{b n }的前n 项和S n ; (Ⅲ)求数列{a n }的前n 项和T n . 7.已知数列{a n }的首项, ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)证明:数列是等比数列; (Ⅱ)求数列的前n 项和S n . 8.在数列{}n a 中,10a =,且对任意*k N ∈k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等差数列, 其公差为k d 。 (Ⅰ)若k d =2k ,证明21222,,k k k a a a -+成等比数列(*k N ∈); (Ⅱ)若对任意*k N ∈,21222,,k k k a a a -+成等比数列,其公比为k q . 设1q ≠1.证明11k q ????-??是等差数列; 9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ (I )设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II )求数列{}n a 的通项公式。 10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (Ⅰ)证明:当2b =时,{}12n n a n --?是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式

高考数列经典题型全面解析

高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 {}n a 满足211=a ,n n a a n n ++ =+211 ,求n a 。 解:由条件知:1 1 1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11- =- 211= a ,n n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列 {}n a 满足321=a ,n n a n n a 1 1+= +,求n a 。 解:由条件知1 1+= +n n a a n n ,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 1 1=?又321=a , n a n 32 = ∴ 例:已知31 =a ,n n a n n a 2 31 31+-= + )1(≥n ,求n a 。 1 2 3132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=

高考数列常考题型归纳总结

高考数列常考题型归纳总结 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 解:由条件知:1 1 1)1(1121+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11-=- 211=a Θ,n n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 1 1+=+,求n a 。 解:由条件知1 1+=+n n a a n n ,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1 433221-??????????=n a a n 11=? 又321=a Θ,n a n 32 =∴

例:已知31=a ,n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ,求n a 。 解:12 31 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437526 33134 8531n n n n n --= ????= ---L 。 变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{a n },满足a 1=1, 1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的通项1 ___ n a ?=? ? 12n n =≥ 解:由已知,得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32,用此式减去已知式,得 当2≥n 时,n n n na a a =-+1,即n n a n a )1(1+=+,又112==a a , n a a a a a a a a a n n =???====∴-13423121,,4,3,1, 1,将以上n 个式子相乘,得2 ! n a n =)2(≥n 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中p q t -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 解:设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且 233 11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列,则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a . 变式:(2006,重庆,文,14) 在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =_______________

2017高考试题分类汇编-数列

数列 1(2017山东文)(本小题满分12分) 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ){}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ?? ???? 的前n 项和n T . 2(2017新课标Ⅰ文数)(12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列。 3((2017新课标Ⅲ文数)12分) 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ?? ??+?? 的前n 项和. 4(2017浙江)(本题满分15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(). 证明:当时, (Ⅰ)0<x n +1<x n ; (Ⅱ)2x n +1? x n ≤; (Ⅲ) ≤x n ≤. . n N *∈n N *∈1 2 n n x x +1 12n -212n -1 12()2 n n n n x x x x n *++-≤ ∈N

5(2017北京理)(本小题13分) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???, 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数. (Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,n c M n >;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列. 6(2017新课标Ⅱ文)(12分) 已知等差数列{}n a 的前 n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T , 11221,1,2a b a b =-=+=. (1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S . 7(2017天津文)(本小题满分13分) 已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0, 2334111412,2,11b b b a a S b +==-=. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列2{}n n a b 的前n 项和* ()n ∈N . 8(2017山东理)(本小题满分12分) 已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3-x 2=2 (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式; (Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1, 1),P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1,求由该折线与直线y =0,x =x i (x {x n })所围成的区域的面积n T .

高考数列常考题型归纳总结汇总

高考数列常考题型归纳总结 类型1 a n +1=a n +f (n 解法:把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ,利用累加法(逐差相加法求解。例:已知数列{a n }满足a 1=解:由条件知:a n +1-a n = 12 ,a n +1=a n +1 = 1 1n +n 2 ,求a n 。 - 1n +1 n +n 2 n (n +1 = 1n 分别令n =1, 2, 3, ??????, (n -1 ,代入上式得(n -1 个等式累加之,即 (a 2-a 1 +(a 3-a 2 +(a 4-a 3 +??????+(a n -a n -1 =(1-

12 +( 12-13 +(1n 13-14 +??????+( 1n -1 -1n 所以a n -a 1=1- a 1= 12 12+1- 1n =32-1n ,∴a n = 类型2 a n +1=f (n a n 解法:把原递推公式转化为 23 a n +1a n =f (n ,利用累乘法(逐商相乘法求解。 n n +1 例:已知数列{a n }满足a 1=解:由条件知之,即a 2a 1

?a 3a 2 ?a 4a 323 ,a n +1=a n ,求a n 。 a n +1a n = n n +1 ,分别令n =1, 2, 3, ??????, (n -1 ,代入上式得(n -1 个等式累乘???????? a n a n -123n = 12 ? 23 ? 34 ???????? n -1n ? a n a 1

= 1n 又 a 1= ,∴a n = 例:已知a 1=3,a n +1=解:a n = 3(n -1 -13(n -1 +2 3n -43n -1 3n -13n +2 a n (n ≥1 ,求a n 。 ? 3(n -2 -13(n -2 +2 7? 4 ????? 3?2-13?2+2 6 ? 3-13+2 a 1 =?

2018年高考试题分类汇编----数列

2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a ++ +. 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式.

数列全部题型归纳(高考必备)

数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =,211n n a a -=+(,n N * ∈2≤n ≤8),则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列,并且23 1n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中,10a =,11 2n n a a +=-,*N n ∈.

求证:11n a ?? ??-?? 是等差数列;并求数列 {}n a 的通项公式; 5.已知数列{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,如果2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式 (二)含有n S 的递推处理方法 1)知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式.

2.)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,2 (2) 8n n a S +=则,数列n a 3)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,111 ,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则,数列n a 4)12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a (三) 累加与累乘 (1)如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a

(2)已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(1 1≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式 (3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式. (4)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,211 ,2n n S n a a ==则,数列n a (四)一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12n n a a a -==+(2)n ≥,数列n a

最新高考递推数列题型

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 解:由条件知:1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11-=- 211=a ,n n a n 1231121-=-+=∴ 变式:(2004,全国I ,个理22.本小题满分14分) 已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. (I )求a 3, a 5; (II )求{ a n }的通项公式. 解: k k k a a )1(122-+=-,k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+,即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a , 2235)1(3-+=-a a …… …… k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加,得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入,得

2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列(综合题含解析)

2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列(综合题) 一、解答题 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n} 满足:,求证:数列{a n}为“M-数列”; (2)已知数列{b n}满足: ,其中S n为数列{b n}的前n项和. ①求数列{b n}的通项公式; ②设m为正整数,若存在“M-数列”{c n} ,对任意正整数k,当k≤m时,都有 成立,求m的最大值. 2.(2019?上海)已知等差数列的公差,数列满足,集合 . (1)若,求集合; (2)若,求使得集合恰好有两个元素; (3)若集合恰好有三个元素:,是不超过7的正整数,求的所有可能的值. 3.(2019?浙江)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3= 4.a4=S3,数列{b n}满足: 对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n、S n+2+b n成等比数列 (1)求数列{a n},{b n}的通项公式 (2)记C n= ,n∈N*,证明:C1+C2+…+C n<2 ,n∈N* 4.(2019?天津)设是等差数列,是等比数列,公比大于0,已知,, . (Ⅰ)求和的通项公式; (Ⅱ)设数列满足求.

5.(2019?天津)设是等差数列,是等比数列.已知 . (Ⅰ)求和的通项公式; (Ⅱ)设数列满足其中. (i)求数列的通项公式; (ii)求. 6.(2019?卷Ⅱ)已知是各项均为正数的等比数列,,。 (1)求的通项公式; (2)设,求数列{ }的前n项和。 7.(2019?北京)设{a n}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (I)求{a n}的通项公式; (Ⅱ)记{a n}的前n项和为S n,求S n的最小值. 8.(2019?卷Ⅱ)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,,. (1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n–b n}是等差数列; (2)求{a n}和{b n}的通项公式. 9.(2019?北京)已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项…第i m项(i1

高考数学三轮复习数列题型归纳方法

2019-2019高考数学三轮复习数列题型归纳 方法 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。查字典大学网整理了 数列题型归纳方法,帮助广大高中学生学习数学知识! 有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数

学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 2019-2019高考数学三轮复习数列题型归纳方法就介绍完了,更多信息请关注查字典大学网高考频道! “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂,“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书,最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何

2018--2020年高考数学试题分类汇编数列附答案详解

2018---2020年高考数学试题分类汇编数列 一、选择题. 1、(2018年高考全国卷1理科4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .﹣12 B .﹣10 C .10 D .12 答案:B 解析:∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和,3S 3=S 2+S 4,a 1=2, ∴ =a 1+a 1+d +4a 1+ d , 把a 1=2,代入得d=﹣3 ∴a 5=2+4×(﹣3)=﹣10. 故选:B . 2、(2019年高考全国I 卷理科9)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 答案:A 解析:有等差数列的性质可知54,0641514=+==+=d a a d a S ,解得2,31=-=d a 所以52,42 -=-=n a n n S n n ,故选A 。 3、(2019年高考全国III 卷理科5文科6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3= A . 16 B . 8 C .4 D . 2 答案:C 解析:由题意有154=S ,即151) 1(414=--= q q a S 由题意有a 5=3a 3+4a 1,即12 14143a q a q a +=,故 (q 2 -4)(q 2 +1)=0 因为各项均为正数,所以q>0,所以q=2 将q=2代入151) 1(414=--= q q a S .得a 1=1、所以43=a 故选C 4、(2019年高考全国III 卷文理科9)执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于 A.4 122- B.5122- C.6 1 22- D.7 1 22- 答案:C 解析:等比数列前n 项和

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