高考理科数学第一轮复习试题-课时提升作业(七十五) 选修4-5 1

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课时提升作业(七十五)

绝对值不等式

(45分钟100分)

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.已知≤2的解集与{x}的解集相同,则( )

A.a=3,b=-

B.a=-3,b=

C.a=3,b=

D.a+b=

【解析】选B.由≤2解得≤x≤,因为≤2的解集与{x≤0}的解集相同,所以x=或x=为方程x 2+ax+b=0的解,则分别代入该方程,得

?

2.不等式>a的解集为M,且2?M,则a的取值范围为( )

A. B.

C. D.

【解析】选B.由已知2?M,可得2∈M,

R

于是有||≤a,

即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.

3.关于x的不等式+

( )

A.0

B.a>1

C.0

D.a≥1

【解析】选B因为+≥|(x-4)-(x-5)|=1,所以(+)min=1, 所以当a≤1时,+1.

【加固训练】已知不等式->a.分别求出下列情形中a的取值范围.

(1)不等式有解.

(2)不等式的解集为R.

(3)不等式的解集为?.

【解析】方法一:-表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1),B(3)距离的差即-=-.

由绝对值的几何意义知,PA-PB的最大值为=4,最小值为-=-4,

即-4≤-≤4.

(1)若不等式有解,则a只要比-的最大值小即可,故a<4.

(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则a只要比-的最小值小即可,即a<-4.

(3)若不等式的解集为?,则a只要不小于-的最大值即可,即a≥4.

方法二:由-≤=4,

-≤=4,

可得-4≤-≤4.

(1)若不等式有解,则a<4.

(2)若不等式的解集为R,则a<-4.

(3)若不等式的解集为?,则a≥4.

二、填空题(每小题6分,共18分)

4.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是 .

【解析】原不等式等价于

解得x<且x≠0,即x∈(-∞,0)∪.

答案:(-∞,0)∪

5.(2013·陕西高考)设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 .

【解题提示】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解.

【解析】函数f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为:

[|a-b|,+∞).因此,?x∈R,f(x)≥|a-b|>2.

所以,不等式|x-a|+|x-b|>2的解集为R.

答案:R

6.若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|

则有y=可得y min=1,

又因为原不等式有实数解,

所以a的取值范围是(1,+∞).

方法二:|x-4|+|x-3|的几何意义是x在数轴上对应点P到3,4对应的点A,B的距离之和|PA|+|PB|,

通过讨论x>4,3

所以a的取值范围是(1,+∞).

方法三:因为|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,所以y=|x-4|+|x-3|的最小值为1, 又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是(1,+∞).

答案:(1,+∞)

三、解答题(每小题16分,共64分)

7.设函数f(x)=+,x∈R.

(1)求关于x的不等式f(x)≤5的解集.

(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.

【解析】(1)或或

不等式的解集为x∈,

(2)若g(x)=的定义域为R.

则f(x)+m=0恒不成立,即f(x)+m=0在R上无解,

又f(x)=+≥=2.

f(x)的最小值为2,所以m>-2.

8.已知函数f(x)=+.

(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集.

(2)若f(x)≤的解集包含[1,2],求a的取值范围.

【解析】(1)当a=-3时,f(x)=

当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;

当2

当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.

(2)f(x)≤?-≥.

当x∈[1,2]时,-≥

?4-x-(2-x)≥?-2-a≤x≤2-a.

由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[-3,0].

9.已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.

(1)若a=1,求不等式的解集.

(2)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范围.

【解析】(1)当a=1时,不等式即为2|x-3|+|x-4|<2,

若x≥4,则3x-10<2,x<4,所以舍去;

若3

若x≤3,则10-3x<2,所以

综上,不等式的解集为.

(2)设f(x)=2|x-3|+|x-4|,则

f(x)=所以f(x)≥1,

所以2a>1,a>,即a的取值范围为.

10.(2015·咸阳模拟)设函数f(x)=|2x-a|+2a.

(1)若不等式f(x)≤6的解集为,求实数a的值.

(2)在(1)的条件下,若不等式f(x)≤(k2-1)x-5的解集非空,求实数k的取值范围.

【解析】(1)因为|2x-a|+2a≤6,

所以|2x-a|≤6-2a,

所以2a-6≤2x-a≤6-2a,

所以a-3≤x≤3-.

又因为不等式f(x)≤6的解集为,

所以解得a=-2.

(2)由(1)得f(x)=|2x+2|-4,

所以|2x+2|-4≤(k2-1)x-5,

化简整理得|2x+2|+1≤(k2-1)x.

令y=g(x)=|2x+2|+1=

y=g(x)的图像如图所示.

要使不等式f(x)≤(k 2-1)x-5的解集非空,需k2-1>2或k2-1≤-1,解得k>或k<-或k=0.

所以实数k的取值范围是k>或k<-或k=0.

【加固训练】1.已知函数f(x)=|x+1|-|x|+a.

(1)若a=0,求不等式f(x)≥0的解集.

(2)若方程f(x)=x有三个不同的解,求a的取值范围.

【解析】(1)a=0时,

f(x)=|x+1|-|x|=,

所以当x<-1时,f(x)=-1<0不合题意;

当-1≤x<0时,f(x)=2x+1≥0,解得-≤x<0;

当x≥0时,f(x)=1>0符合题意.

综上,f(x)≥0的解集为.

(2)设u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图像和y=x的图像如图,易知y=u(x)的图像向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y=x的图像始终有3个交点,从而-1

2.(2015·渭南模拟)已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.

(1)若函数f(x)的值不大于1,求x的取值范围.

(2)若不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.

【解析】(1)由题意得f(x)≤1,

即|x-3|-2≤1,得|x-3|≤3,

因为|x-3|≤3?-3≤x-3≤3?0≤x≤6,

所以x的取值范围是[0,6].

(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,

因为对于任意实数x,由绝对值的三角不等式得

f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,

于是有m+1≤-2,得m≤-3,

即m的取值范围是(-∞,-3].

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