高二数学(人教A版)选修2-2课件：1-6微积分基本定理
人教版数学高二选修2-2讲义1.6微积分基本定理
1.6微积分基本定理1．了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点) 2．掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1微积分基本定理阅读教材P51～P53“例1”以上内容，完成下列问题．1．内容：如果f(x)是区间[a，b]上的__________函数，并且F′(x)＝f(x)，那么b f(x)d x＝__________.⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做____________．2．表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成__________，即b f(x)dx＝⎠⎛a______________＝______________.【答案】 1.连续F(b)－F(a)牛顿-莱布尼茨公式2．F(x)|b a F(x)|b a F(b)－F(a)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()【答案】(1)√(2)√(3)√2．若a＝1(x－2)d x，则被积函数的原函数为()⎠⎛A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝12x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x【答案】 C3．⎠⎜⎛π2cos x d x＝________.【解析】⎠⎜⎛π2cos x d x＝sin x⎪⎪⎪⎪π2＝sinπ2－sin 0＝1.【答案】 1教材整理2 定积分与曲边梯形面积的关系阅读教材P53“例2”以下部分～P54的内容，完成下列问题．设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图1-6-1①，则⎠⎛ab f(x)d x＝__________.(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图1-6-1②，则⎠⎛ab f(x)d x＝________.①②③图1-6-1(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图1-6-1③，则⎠⎛ab f(x)d x＝______________.特别地，若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝______.【答案】(1)S上(2)－S下(3)S上－S下1．如图1-6-2，阴影部分的面积为________．图1-6-2【解析】根据定积分的几何意义知S阴影＝－⎠⎜⎛π232πcos x d x＝－sin x⎪⎪⎪⎪32ππ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin32π－sinπ2＝2.【答案】 22．如图1-6-3，定积分⎠⎛ab f(x)d x的值用阴影面积S1，S2，S3表示为⎠⎛ab f(x)d x＝________.图1-6-3【解析】根据定积分的几何意义知⎠⎛ab f(x)d x＝S1－S2＋S3.【答案】S1－S2＋S3[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分⎠⎛xA．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1(2)求下列定积分．①⎠⎛12(x2＋2x＋3)d x；②⎠⎛π2sin2x2d x.【自主解答】(1)⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)⎪⎪⎪1＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1＝e.【答案】 C(2)①⎠⎛12(x2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2， ∴⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. 【导学号：62952051】【解析】 (1)⎠⎛1(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． 【自主解答】(1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x +⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x.【解】设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，－3≤x<－32，6，－32≤x≤32，4x，32<x≤3.所以⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝⎠⎜⎛-3－32(－4x)d x＋⎠⎜⎛－3232 6 d x＋⎠⎜⎛3234x d x＝－2x2⎪⎪⎪－32-3＋6x⎪⎪⎪⎪32－32＋2x2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝⎛⎭⎪⎫9－94＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究⎠⎛【提示】令y＝⎠⎛1(x2＋cx＋c)2d x，则y＝⎠⎛1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫15x5＋c2x4＋c2＋2c3x3＋c2x2＋c2x⎪⎪⎪1＝15＋76c ＋73c 2＝73⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋142－73×116＋15.∵73>0，∴当c ＝－14时，⎠⎛01(x 2＋cx ＋c )2d x 最小．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． 【自主解答】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k 2＋b ＝1. ②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4， ①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2，∴a 3＋b2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2．⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2sin x d x ＋⎠⎜⎛-π2π2cos x d x ＝(－cos x )| π2－π2＋sin x⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2.【答案】 C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.【导学号：62952052】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
【数学】1.6《微积分基本定理(第2课时)》课件(人教A版选修2-2) (2)
π
πБайду номын сангаас
(cosx－e )dx＝ cosxdx－ exdx (3)－π －π －π
1 ＝sinx|－π－e |－ π＝ π－1. e
0 x0
0
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
变式训练 1 计算下列定积分： ∫105x4dx； (1) 2 3 ( x＋ 1 )26xdx. (2)1 x
解：(1)∵(x5)′＝5x4， ∫105x4dx＝x5|10＝105－25＝99968. ∴ 2 2 3 3 1 2 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋1＋2)6xdx (2)1 1 x x ＝1(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|3 1 ＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
0 0
【解】
2
(1)1(x2＋2x＋3)dx
2 2
2
＝1x2dx＋12xdx＋13dx x 2 25 22 2 ＝ |1＋x |1＋3x|1＝ . 3 3
π
3
(2)0 (sinx－cosx)dx＝0 sinxdx－ 0 cosxdx
π π ＝(－cosx)|0 －sinx|0 ＝2. 0 0 x
0 b
3.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上， x 轴下 在 方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 a
b
S上 f(x)dx＝_____
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则a f(x)dx＝______． －S下
b
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时， b S上－S下 如图③，则 f(x)dx＝____________．
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.6 微积分基本定理 Word版含解析.pdf
������(x)dx=S 上-S 下.
③
若 S 上=S 下,则
������ ������
������(x)dx=0.
-6-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 2】 如图,f(x)在区间[a,b]上的值一部分大于 0,另一部分
小于 0,且各部分的面积分别为 A1,A2,A3,A4,则
计算:
化简被积函数→转化为基本函数的定积分→求定积分
-9-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)
2 1
(x2+2x+3)dx=
2 1
������2dx+
2 1
2xdx+
2 1
3dx
=
������3 3
|12
+
������2|12
+
3������|12
=
25 3.
(2)
0 -π
(cos
3.F(b)-F(a)可记成 F(x)|������������ , 即
������ ������
������(x)dx=F(x)|������������
= ������(b)-F(a).
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题型一
题型二
题型三
目标导航 题型四
知识梳理
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典例透析
利用微积分基本定理计算定积分
【例1】 计算下列定积分:
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知识梳理
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题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 计算下列定积分:
2014年人教A版选修2-2课件 1.6 微积分基本定理
1 1 1 1 1 1 1 2 3 lim[ (1 ) (1 ) (1 )(2 ) 1] . n 4 n 2 n 2 n n 4
问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) (2) x dx ; 1 x dx . 1
例2. 计算下列定积分: 2 2 sin xdx , sin xdx , 0 0 sin xdx. 解: ∵ (cosx)sinx,
y
sin xdx 0
2
0 sin xdx ( cos x)| 0 1 (cos)(cos0) O 1 2;
本章内容
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 变化率与导数 导数的计算 导数在研究函数中的应用 生活中的优化问题举例 定积分的概念 微积分基本定理 定积分的简单应用 第一章 小结
1.6
微积分基本定理
习 题
1. 微积分基本定理是怎样的?
2. 怎样用微积分基本定理求定积分?
问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) (2) x dx ; 1 x dx . 1
b a f ( x)dx F (b) F (a).
为了方便, 常把 F(b)F(a) 记成 F ( x)|b a, 即
b b f ( x ) dx F ( x ) | a a F (b) F (a ).
微积分基本定理的几何意义: y yF(x) 函数 yF(x) 如图, Q B 取小区间 [xi1, xi], D h △ si (1) F ( xi 1 ) CD i , hi PC x P C A △x 得 hiF(xi1)△x. (2) F(xi)F(xi1) AB △si. 必然 hi si 的误差很小, 即
高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理
求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430， 整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分 基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识 微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同 时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航 对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结 合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.
人教A版高中数学选修2-2课件微积分基本定理
灿若寒星整理制作
复习回顾 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的性质 导数的几何意义
利用定积分的定义计算
1 x3dx 0
2 1dx
1x
难,繁 不能求出
简单计算方法?
一个作变速直线运动的物体运动规律是s=s(t).由导数的 概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s(t).设这个物体在 时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用s(t),v(t)表示s吗?
Si hi tan DPC t s'ti1 t
s s(ti)
△si
s(ti-1)
s=s(t)
D hi
P
△t C
O
ti-1
ti
t
n
n
n
n
S Si hi v ti1t s'ti1t
i 1
i 1
i 1
i 1
s
B
dt
b
a
s'
t
dt
S
b
a
vt dt
b
a
s' t
dt
sb
sa
微积分基本定理
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F(x)=f(x),那
么
b
a
f
xdx
F b
F a
又叫牛顿－莱布尼兹公式
记
Fb Fa
F
b a
b
a
f
xdx
那么
b
a
f
xdx
F b
F a
作业
课本第55页习题1.6A组题1,2
最新-高中数学《微积分基本定理》课件3 新人教A版选修2-2 精品
0 1 x2
1
例５ 计算 e x ln xdx. e2 1
1
4
作业：Ｐ６２Ｂ组１（２）（３）（４） ２（４）
2
sinxdx
=
__1_____
0
例2：求证 sin2xdx = -
例３:计算
2
f ( x)dx,其中
0
f
(
x)
2x,
5,
0 x 1 1 x 2
解
2
f ( x )dx
0
1
2xdx
0
2
5dx
1
x2
1 0
5x 2 1
6
Y=5
1
2
1
例4：计算1） 2
x dx 2）1 e2xdx
F(x) |ba
F(b)
F (a)
例 1．计算
sinxdx 0
解 （1）∵ (co s x)' sin x
0
sin
xdx
(co
s
x)
|0
cos
( cos 0) 11 2
思考: (a) sinxdx的几何意义是什么? 0
(b) 2 sinxdx = _0______ 0
(c)
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
定积分公式
1) (cx )' 2) x n'
c nx n 1
b
cdx
a
cx |ba
b x ndx
1
a
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ，她能很快找到问题的原因，并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
微积分基本定理课件(共31张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用
()
A.f(x)=x-2
B.f(x)=x-2+C
C.f(x)= 1 x2-2x+C
2
D.f(x)=x2-2x
【解析】选C.原函数不止一个,可相差一个常数C.
3.(教材二次开发:例题改编)若a>0,
a
0
x3dx
=16,则a=________.
【解析】 a x3dx x4
0
4
a 0
a4 4
16,a
【跟踪训练】
1 0 cos x－ex )dx； －
2
9
4
x (1＋ x )dx.
【解析】(1)－0(cos x-ex)dx
=
0 cos
－
xdx-
0 exdx=
－
sin x|0－ex |0
= 1 -1.
e
2
9
4
x (1＋ x )dx
9 4
1
(x 2＋x)dx
(
2 3
x
3
2＋
1
2
x2
)
|94
1
1(cos x－1)dx
0
1 x3 3
0 1
(sin
x
x
)
1 0
1 (1)3 (sin11) (sin0 0) sin1 2 .
3
3
答案: sin1 2
3
2. 1 e|x|dx =________. 1
【解析】 1 e|x|dx 1
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)微积分基本定理中,被积函数f(x)是原函数的导数. ( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常取原函数的常数