数值分析老师布置题目及“参考答案”(1到8章)

第二章

3．给出的数值表

X0.40.50.60.70.8

lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

若采用线性插值法计算即，

则

若采用二次插值法计算时，

7.设且求证：

解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为

插值余项为

8．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为

设步长为h，即

若截断误差不超过，则

9．若，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

12.证明

证明：

得证。

14．若有个不同实根，

证明：

证明：有个不同实根

且

令

则

而

令

则

得证。

16．求及。

解：

若

则

17．证明两点三次埃尔米特插值余项是

解：

若，且插值多项式满足条件

插值余项为

由插值条件可知

且

可写成

其中是关于的待定函数，

现把看成上的一个固定点，作函数

根据余项性质，有

由罗尔定理可知，存在和，使

即在上有四个互异零点。

根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，

依此类推，在内至少有一个零点。

记为使

又

其中依赖于

19．求一个次数不高于4次的多项式，使它满足.解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设

其中，A为待定常数

22．求在上分段线性插值函数，并估计误差。

解：

在区间上，

函数在小区间上分段线性插值函数为

误差为

23．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。

一阶差商二阶差

商

三阶差

商

四阶差

商

五阶差

商

0 0.11.00000

0.99500-0.05000

在区间上，

令

函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为

误差为

又

24．给定数据表如下：

X j0.250.300.390.450.53

Y j0.50000.54770.62450.67080.7280

试求三次样条插值，并满足条件：

解：

由此得矩阵形式的方程组为

2 1 M0

2 M1

2 M2

2 M3

1 2 M4

求解此方程组得

三次样条表达式为

将代入得

课外：

解：有题意，插值条件为

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1.00000 0.99500 0.980070.95534 0.921060.87758

0.82534

为使用牛顿插值公式，先构造查分表

0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.98007

0.95534

0.92106

0.87758

0.82534

-0.14930

-0.24730

-0.34280

-0.43480

-0.52240

-0.49650

-0.49000

-0.4775

-0.4600

-0.43800

0.02167

0.04167

0.05833

0.0733

0.05000

0.04165

0.03742

-0.01670

-0.00846

第三章

4.假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？解：

在闭区间上连续

存在，使

取

则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。

由切比雪夫定理知

P为的零次最佳一致逼近多项式。

6.求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：

于是得的最佳一次逼近多项式为

即

误差限为

7.求在上的最佳一次逼近多项式。

解：

于是得的最佳一次逼近多项式为

9.求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。

解：

令，则

且

令，则

若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足

当

时，多项式与零偏差最小，故

进而的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为10.令，求。

解：

11.令，试证是在上带权的正交多项式。

证明：

若，则

令，则，且，故

又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且

是在上带权的正交多项式。

13..并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

解：法一：

法二：

，则

17.设空间,分别在上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.

解：法一：

由拉格朗日乘子法

可解得，