高中数学排列组合及概率统计习题

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高中数学排列组合及概率统计习题

高中数学必修排列组合和概率练习题

一、选择题(每小题5分,共60分)

⑴ 已知集合A={1,3,5,7,9,】1}, B={1,7,】7}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同

一直角坐标 系中所确定的不同点的个数是C

(A) 32

(B) 33

(C) 34

解 分别以{1,3,5,7,9,11}和{1,7,11}的元素为'和y 坐标,不同点的个数为以?厅

分别以{1,3,5,7,941)和(1,7,11)的元素为),和x 坐标,不同点的个数为P ;?P ; 不同点的个数总数是4'?4'+E :?R'=36,其中重复的数据有(1,7),(7,1),所以只有34个

(2)从】,2, 3,

9这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作直数,则可以得到不同的对

数值的个数为

(A) 64

(B) 56

(C) 53

(D) 51

① 从】,2, 3, 9这九个数学中任取两个的数分别作底数和直数的“对数式”个数为2P ;; ② 1不能为底数,以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去;

③ 1为直数时,对数为0,以】为直数的“对数式”个数有8个,应减去7个;

警拦。鬼=2 1。&2 = 1心蓦 1。&3 = 1。&9 iog 23 = log 49

所示求不同的对数值的个数为2C, 8 - 7 - 4 = 53(个)

四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一起,则不同 的排法数有

(A) 3600

(B) 3200

(C) 3080

①三名女生中有两名站在一起的站法种数是P ;;

②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是段,其中的三名女生排在一起的 站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列,排列数为P ;,站 在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是P ;P ; o 符合题设的排列数为:

/>2(A>6-/>1^5) = 6x(6x5x4x3x2-2x5x4x3x2) = 24x5x4x3x2 = 2880(#)

我的做法用插空法,先将4个男生全排再用插空=2880 (4)

由(妊+扼严展开所得x 多项式中,系数为有理项的共有

(A) 50 项

(B) 17 项 (C)】6 项

(D) 15 项

解(屈+扼),00=(4)(屈)M 扁Mx )g (*)「+.? M'SSy 00

_

_

100-r r

3(】()0-r) 2r

300-r

可见通项式为:%(屈严 >-'(咨)「=

= %6一^+*岫"=%6 W 00-'

旦当^,6,12,18,...,96时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个,故系数为有理项的共有17

个.

(5) 设有甲、乙两把不相同的锁,甲锁配有2把钥匙,乙锁配有2把钥匙,这4把钥匙与不能开这两

把锁的2把钥匙混在一起,从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是

(A) 4/15

(B) 2/5

(C) 1/3

(D) 2/3

解从6把钥匙中任取2把的组合数为P :,若从中任取的2把钥匙能打开2把锁,则取出的必是甲锁

(D) 36

(D) 2880

. 资料. ...

的2把钥匙之一和乙锁的2把钥匙之一。假设分二次取钥匙,第一次取到甲锁的钥匙,第二次取到 乙锁的钥匙,取法的种数为巴?巴;当然,第一次取到乙锁的钥匙,第二次取到甲锁的钥匙,取法 的种数也为P ;?P ;。这二种取法都能打开2把锁。故从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是: 2RS 4

(6) 在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 (A) 5/6

(B) 4/5

(C) 2/3

(D) 1/2

解①所有两位数的个数为90个;

②能被2或3整除的二位数的个数60个:能被2整除的二位数的个数是有90X A =45(个),能被3 整除的二位数的个数为有24个(从3,6,9中选2的排列P ;个,1,2、1,5、1,8、2,4、2,7、4,5、4,857、7,8 九组中各选2的排列有9/V 个),能被3整除的二位数中有9个(12、18、24、4254、72、48、84、78)也 能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是45-9 + ^ +9号=60个;

所有的两位数中,能被2或3整除二位数所占比例是因此,在所有的两位数中,任取一个 2

数,则这个数能被2或3整除的概率是了

(7) 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是 (A) 1/8

(B) 3/8 (C) 7/8

I 1 多

解 恰好出现一次正面的概率为P (1 )=C ;(-),(l--)3-,=-

Z Z <5 1 i 3 恰好出现二次正面的概率为P (1 )=C ;(p2(i —

Z Z o 恰好出现三次正面的概率为P (1 )=C ;(:)3(1-扩3=:

2

Z

o

3 3 17 至少出现一次正面的概率是P=o + o + o = o

O O O O

(8) 在四次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A

在一次试验中发生的概率中的取值范围是

(A) [0.4,1) (B) (0,0.4] (C) 设事件A 在一次试验中发生的概率为A-,由题设得 C :(x)i(D"y C ;(x)2(l-x)4-2 4X -4X 2

<6X 3

5X 2

-2X >0 对于 5b-2x=0,有 X]=0,

= 0.4

对于5尸 一2工20,有Xj <0, x 2 >0.4 根据概率的性质,x 的取值范围为[0.4,1]

(9) 若(2X +75)心 *0 +岫 + 矣乂2 +-- + a 100x 100 ,则(。0+。2+。4+…+。100):(。|+。3+…+6)2的值为

(10) 从集合A {A -|1

(A) 19/68

(B) 13/35

(C) 4/13

(D) 9/34

(D5/8

(0,0.6) (D [0.6,1)

(A) 1

(B)?1 (C) 0 (D) 2

(15)求值:%%+... + =

(11) 从集合A {』

1

取到的数含3或6时,其余二数为12、15、24、27、45、57,能被3整除的数的个数为6P ;.2P ;;

取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7,取法种数有P ;种;

工个5 土以 6P-2P ; + 耳 12x2x3 + 6 13x6 13 因此,所求概率为: 二蛆一 =-、(v =厂

,飞=衣 P ; 7x6x5 7x6x5

35

某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元70元的单片软件和盒装磁盘,

根据需要至少买3片软件,至少买2盒磁盘,则不同的选购方式共有

(C) 7 种 D) 8 种

(A) 5 种

(B) 6 种

(12)

设选购A ?片软件,y 盒磁盘,贝

ij :

[500-60x ?°

——>2(% >3)

500%,解得: ——N3()N 2)

6>A >3 2

软件和磁盘数重的选购方式分别为(3,2)、(3,3) (3,4) (4,2) (4,3) (5,2) (6,2),共7种。 已知AyvO,旦x+y = l,而(x+y)9按x 的降幕排列的展开式中,T 2

1 4 4 (A) (q, -) (B) +co) (C) (l,+oo) (D) (一8,-二]

J J J

二、埴空题(每小题4分,共16分)

(13) 已知A 、B 是互相独立事件,C 与A 、B 分别是互斥事件,已知P(A)=0.2, P(B)=0.6 ,

P(C)=0.14 , 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率P (A+B+C) 解 A 、B 同时发生的概率 P(AeB)=P(A)x P(B)=0.2x0.6=0.12

A 发生而

B 没有发生的概率 P(A.B)=P(A) x P(B)=0.2 x0.4=0.08 A 没有发生而 B 发生的概率 P(A.B)=P(A) x P(B)=0.8 x0.6=0.48

C 发生的概率P(C)=0.14 A 、B 、C 至少有一个发生的概率

P (A+B+C )=P(A ?巨)+P(A ?B)+P(A ?B)+P(C)=O. 12+0.08+0.48+0.14=0.82

(14) (lxl+二-2)3展开式中的常数项是-20,

Ixl ---

解仲岫-2)'

+(-2)%估-2)+3(吉)(时-2)+12(|x| +吉)+6 1"吉x(-2)]

3/ 1 —X 十 i 7 (IF

一 8+3|x| 一 6田2+令 一 §+12|x|+背一 12

解c io - 一把o + . . . + 籍

=c10 - -c9 +lc s --C7 +lc6--C5 +lc6 -ic7+-C^ c9 +—c10 —io 2 10 3 10 4 io 5 io 6 i°

7 〔° g io 9—10 ]0 1° ] | 10

_厂10 1 厂9 . 1 Z-M S 1 厂?. 1 厂6 1 z-?6 . 1 z-i7 1 厂8 .

1 z-i9 z-ilO . 1 z-xlO

=^10""2^10 1亍1|。_彳1|。’_$ Jo + a Jo _彳Jo 十^■ Jo _ jo 十口Jo

1 pio 1

=TT C-=H

_ 〃,+1 c"+i

重要:5席=6C* " 〃一"

厂m _ 1 厂吹+1

m + 1 〃一m

(16)5人担任5种不同的工作,现需调整,调整后至少有2人与原来工作不同,则共有多少种不同的调整方法? _________________

解法一设该5人分别为ABCDE,调整前的工作分别是abcde,当他们的排列为BACDE时,工作也分别是abcde,^有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况,他们的全排

列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去1即为不同的调整方法.故不同的调整方法种数为:

段-1=119 (种)

解法二设该5人分别为ABCDE,调整前的工作分别是。阮次。

①求恰有2人调整工作的种数:C;=10 (种)

②求恰有3人调整工作的种数:

从5人中选3人的组合数为C;=10,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

ABC: ABC,ACB, BAC, BCA,CAB.CBA,有2种调整方式.

ABD: ABD,ADB, BAD, BDA,DAB,DBA,有2种调整方式

ABE: ABE,AEB, BAE, BEA,EAB.EBA,有2种调整方式

BCD: BCD,BDC, CBD, CDB,DBC,DCB,有2种调整方式

BCE: BCE,BEC, CEB, CBE,EBC,ECB.有2种调整方式

CDE: CDE,CED, DCE, DEC,ECD,EDC,有2种调整方式

CDA: CDA,CAD, ACD. ADC,DCA DAC,有2种调整方式

DEA: DEA,DAE, EDA, EAD,ADE,AED,有2种调整方式

DEB: DEB,DBE, EDB, EBD,BDE,BED,有2种调整方式

DEC: DEC,DCE, CED, CDE,DCE,DEC,有2种调整力?式

恰有3人调整工作的种数:2xl0=20(种)[P;(寿-*=20)]

③求恰有4人调换工作的种数:

从5人中选4人的组合数为C;=5,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

恰有4人调换工作的种数:9 x5=45(种)[P ;(寿- £+§=45)]

故后至少有2人与原来工作不同工作的调整方法的种数是:10+20+45+44=119 (种)

三、解答题

BCDEA : BCDEA, BCDAE, BCADE, BCAED, BCEAD, BCEDA Bxxxx-

BDEAC : BDEAC,

BDECA, BDACE, BDAEC. BDCAE. BDCEA

BEACD : BEACD, BEADC, BECAD. BECDA. BEDAC, BEDCA

BACDE : BACDE,

BACED, BADCE, BADEC, BAECD, BAEDC

C 换任A 的工作的排列:

CDEAB : CDEAB, CDEBA, CD ABE, CDAEB, CDBAE, CDBEA CEABD : CEABD,

CEADB. CEBAD, CEBDA, CEDAB, CEDBA 1 X X X X

CABDE : CABDE, CABED, CADBE, CADEB, CAEBD, CAEDB CBDEA : CBDEA,

CBDAE, CBADE, CBAED, CBEAD, CBEDA

,

D 换任A 的工作的排列:

DEABC : DE ABC, DEACB, DEB AC, DEBCA, DECAB, DECBA 、

Dxxxx<

DABCE : DABCE, DABEC,

DACBE, DACEB, DAEBC, DAECB DBCEA : DBCEA, DBCAE. DBAEC. DBACE, DBEAC, DBECA

DCEAB : ?

DCEAB, DCEBA, DC ABE,

DCAEB, DCBAE, DCBEA E 换任A 的工作的排列:

r EABCD : E ABCD, EABDC, EACBD, EACDB, EADBC. EADCB Exxxx*

EBCDA : EBCDA, EBCAD.

EBACD, EBADC, EBDCA, EBDAC ECD AB : ECDAB, ECDBA, ECADB, ECABD, ECBDA, ECBAD

EDABC

: EDABC, EDACB, EDBAC, EDBCA, EDCAB, EDCBA

④求恰有5人调换工作的种数: B 换任A 的工作的排列:

H 种调整方式

11种调整方式

11种调整方式

11种调整方式

恰有5人调换工作的种数共有34=44(种)踞*§-§ = 44]

ABCD<

BCDES ABCD : BCDA :

CD AB : DABC :

BCDE : CDEB :

DEBC : EBCD :

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCBl BCDA, CDAB, DABC, BCAD, CDBA. DACB, BACD, BADC, BDCA, BDAC CADB, CABD, CBDA, CBAD DBAC, DBCA, DCAB. DCBA

有9种调整方式

CDEA<

CDEA : DE

AC : EACD : DEAB 《

EABC 《

DE AB : EABD : ABDE : BDEA : EABC : ABCE : BCEA : CEAB : BCDE, BCED,

BDEC, BDCE, BECD, BEDC

CDEB. CDBE,

CBDE, CBED, CEDB, DCBE, CEBD 厂有9种调整方式 DEBC, DECB,

DBCE, DBEC, DCEB EBCD,

EBDC,

ECBD, ECDB, EDBC, EDCB

CDEA, CDAE,

CADE, CAED, CEAD, CEDA

DEAC, DECA, DACE.

DAEC, DCAE, DCEA EDCA ,有9种调整方

式 EACD, EADC, ECAD. ECD A, ED AC, ACDE, ACED, ADCE, ADEC, AECD, AEDC ,

DEAB, DEB A, DABE, DAEB, DBAE, DBEA

EABD,

EADB, EBAD, EBDA, EDAB, EDBA ,有9种调整方式 ABDE, ABED, ADBE, ADEB, AEBD, AEDB BDEA, BDAE, BADE, BAED, BEAD, BEDA

EABC, EACB, EBAC, EBCA, ECAB, ECBA

ABCE,

ABEC, ACBE, ACEB, AEBC,

AECB

? 有9种调整方式

BCEA, BCAE, BAEC, BACE, BE AC, BECA CEAB,

CEB A, CABE, CAEB, CBAE, CBEA ?

“I I

—矿 [ 矿

S

=c :(x )亍(-方寸尸=(-*ye#"3",尸=o,i,z3,…,〃

由已知得:(*V ,G )c :, (|)2C;成等差数列

2xlc'=l + |c…2, /z = l + ^pl2, n 2-972 + 8 = 0,解得<

(I )7>(-*)3%宇=—;、^^ 二 — 7盘 (ID 由7;H =(

一;)'C :x 宇知:当生二= U^ = 0,即r = 4时,7;为常数项

7; =(-l )4C"=—X ^-Z2S^=2^. 5 2; 8 16 4! 8

(III )令工=1,则展开式的各项(也即各项系数)为:

(一*)。C?,(一事 C ;,(一 *)2 C :,(—?)3 C ;,(一 (一!)知,(一步 C :,(一步亡,(一*)七; 各项系数和为:

(一尉 c? +( -b'c' +( -|)2c ;+( 一 |)3c/+(—* 七:+( - *七;+( 一 +(-l )7c ;+(-:)七;

=r° -Ir^-C 2 -lr 3+—C 4

C 3+—C 2 一c 」〔.C° % 2 8 4 8 8 a 16 8 32 g 64 8 128 g 256 8

=1 _ 4+7 _ 7+2 - 2+-L 一 ±+ ^-=^~

8 4 16 16 256 256

(18)设有编号为】,2, 3, 4, 5的五个球和编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子,现将这五个球放入5

个盒子内

(I )只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?

(II ) 没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?

(III ) 每个盒子内投放一球,并旦至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?

解(I )从5个盒子中任选4个来放球(其中的任1个盒放2个球),有P ;种选法;从5个球中任选2 个

球(不分先后)的选法有C ;,故盒子的P ;种选法中的每一种都有C ;种放球的方法。因此投 放方法种数为:

5 x /[

(?泌=F

、5X 4X 3x2 = 1200(种)

(ID 5个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求:

P ;—1 = 119 (种)

(III ) 1,2,3,45五个球分别放在1,2,3,45五个盒子中,则球的球的编号与盒子编号全部相同;

1,2,3,4,5五个球分别放在2,134,5五个盒子中,则有2个球的编号与盒子编号不相同。所以 球号与盒号相同度情况分类如下:

1111

(17)

在二项式(折-士)”的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列 求展开式的第四项; 求展开式的常数项; 求展开式中各项的系数和, (ID

(III ) 二项式(折-

〃[=8 “2 =1(舍

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