专题一 第二讲 函数的图像与性质
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[解 ]
(1)设 x∈(0,1],则-x∈[-1,0),
1 f(-x)=-2ax+x2. ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 1 ∴f(x)=2ax-x2,x∈(0,1].
1 2 (2)f′(x)=2a+x3=2a+x3.
1 1 ∵a>-1,x∈(0,1],x3≥1,a+x3>0. ∴f′(x)>0.∴f(x)在区间(0,1]上是单调递增的.
[联知识
串点成面]
作函数图像有两种基本方法:一是描点法;二是图像变 换法,其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
[做考题
查漏补缺]
x+1,x∈[-1,0 f(x)= 2 x +1,x∈[0,1]
[理](2011· 汕头模拟)已知 则下列函数的图像错误的是
, )
(
解析:函数
a,a≤b, a⊕b= b,a>b,
则函数 ( )
解析:由 y=2x 的图像知,当 x<0 时,0<2x<1;当 x≥0 时,2x≥1, 结合题目中的定义知 1⊕2
x
1, = x 2 ,
x≥0, x<0.
答案:A
6.(2011· 东北师大二模)函数y=xln(-x)与y=xlnx的图像
x+1,x∈[-1,0, f(x)= 2 x +1,x∈[0,1],
恒大于零,
故|f(x)|的图像与 y=f(x)的图像相同,故 D 项错误.
答案:D
[文](2011· 石家庄质检)已知函数f(x)=2x-2,则函数y= |f(x)|的图像可能是 ( )
[解析] 函数f(x)=2x-2是把函数y=2x的图像向下平移两个
关于
A.直线y=x对称 C.y轴对称 B.x轴对称 D.原点对称
(
)
解析: 若点(m,n)在函数y=xlnx的图像上,则n=mlnm,
所以-n=-mln[-(-m)],可知点(-m,-n)在函数y= xln(-x)的图像上,而点(m,n)与点(-m,-n)关于原点对 称,所以函数y=xlnx与y=xln(-x)的图像关于原点对称, 故选D. 答案: D
知考情 第2讲 函 数 的 图 像 与 性 质
研考题
析考向
Biblioteka Baidu
战考场
高频考点
考情解读
考查方式
考查形式有三种,一种是求函数值的问题, 函数及其 大多是以分段函数为载体;第二种是求简单 表示 函数的定义域,转化为解不等式的问题;第 三种是求具体函数的反函数问题 函数 的图像 考查的题目常有两种类型,一是以抽象函数 给出;二是以几种初等函数为基础结合函数 的性质综合考查.考查形式有:知图选式, 知式选图,知图选图,图像变换等
[做考题
查漏补缺]
[理](2011· 云南模拟)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1 bx-1 和 g(x)= 2 . a x+2b (1)若 f(x)为偶函数,试判断 g(x)的奇偶性; (2)若方程 g(x)=x 有两个不相等的实根,当 a>0 时判断 f(x) 在(-1,1)上的单调性.
x+1,x∈[-1,0 f(x)= 2 x +1,x∈[0,1]
的图像如图所示.
函数 f(x-1)的图像只需将 y=f(x)的图像向右平移一个单 位,故 A 正确; 函数 f(-x)的图像只需将 y=f(x)的图像关于 y 轴对称,故 B 正确; 函数 f(|x|)的图像只需将 y=f(x)的图像 y 轴右侧图像不变,左侧部分图像 与右侧部分关于 y 轴对称,故 C 正确; 由于函数
设函数 f(x)=(x2-2)⊗(x-1), x∈R.若函数 y=f(x) )
-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]
[解析] 令(x2-2)-(x-1)≤1, 得-1≤x≤2,
2 2
2
2
b >0⇔2a>1,
[文](2011· 茂名模拟)设函数 f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇 1 函数,当 x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+x2(a 为实数). (1)当 x∈(0,1]时,求 f(x)的解析式; (2)当 a>-1 时,试判断 f(x)在区间(0,1]上的单调性并证明你 的结论.
6.(2011· 上海高考)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+ ∞)上单调递减的函数为 1 A.y=ln|x| C.y=2|x| B.y=x3 D.y=cosx ( )
1 1 解析:对于 A,∵f(-x)=ln =ln =f(x),定义域为{x|x≠0}, |x| |-x| 故是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故 A 正确;y=x3 是奇 函数;y=2|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增;y=cosx 在(0, +∞)上不是单调函数,故 B、C、D 均错误.
其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实 际问题有意义.
2.求f(g(x))类型的函数值 应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值、图 像、解不等式等问题,必须依据条件准确地找出利用 哪一段求解;特别地对具有周期性的函数求值要用好 其周期性.
单位得到的图像,由2x-2<0得x<1,即在(-∞,1)上,函数
f(x)=2x-2的图像位于x轴下方,根据指数函数图像的特点, 不难看出把x轴下方的部分对称到x轴上方后得到函数y= |f(x)|的图像.故选B. [答案] B
4. (2011· 沈阳六校联合测试)定义运算 y=1⊕2x 的图像只可能是
2 x -2,-1≤x≤2, ∴f(x)= x-1,x<-1或x>2,
∵y=f(x)-c 与 x 轴恰有两个公共点, 即 y=f(x)的图像与直线 x=c 有两个不同的交点.画函数的图像得知实数 c 的取值范围是(- 2,-1]∪(1,2].
[答案] B
[点评] 本题以新定义的形式考查分析出数图像的应用,解题的关 键是利用新运算“ ”的定义,求函数 y=f(x)的解析式.
答案:A
7.(2010· 安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足
f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)= A.-1 C.-2 B.1 D.2 ( )
解析:由于函数f(x)的周期为5,
所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1), 又f(x)为R上的奇函数, ∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.
(
)
解析:令 x<g(x),即 x2-x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2. 令 x≥g(x),即 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2. 故函数
2 x +x+2x<-1或x>2, f(x)= 2 x -x-2-1≤x≤2.
当 x<-1 或 x>2 时,函数 f(x)>f(-1)=2; 1 当-1≤x≤2 时,函数 f( )≤f(x)≤f(-1), 2 9 即- ≤f(x)≤0. 4 9 故函数 f(x)的值域是[- ,0]∪(2,+∞). 4
答案:D
x2-9 1.(2011· 盐城模拟)函数 f(x)= 的定义域为____________. log2x-1
x2-9≥0, 解析:据已知可得log2x-1≠0, x-1>0 解得 x≥3.
答案:[3,+∞ )
2.(2011· 上海高考)若函数f(x)=2x+1的反函数为f-1(x), 则f-1(-2)=________.
∴2x+y=4x-x2=-(x-2)2+4≤4. 答案:C
[悟方法
触类旁通]
1.求单调区间应注意:(1)勿忘定义域;(2)在多个单调
区间之间不一定能添加符号“∪”和“或”;(3)单
调区 间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. 2.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0,灵活 使用这一结论可以简化运算过程;若函数f(x)是偶函
数,则f(x)=f(|x|),利用这个性质,可以避免一些分
类讨论,有利于灵活利用函数单调性.
对函数的考查灵活多变,但也在追求创新.2011年湖 南卷第8题就体现了这一点,从定义运算的形式给出函数 的解析式.
(2011· 天津高考)对实数 a 和 b,定义运算“⊗”:a⊗b=
a,a-b≤1, b,a-b>1.
答案:A
8.(2011·辽宁模拟 )已知函数f(x)是奇函数,且在(-∞, +∞)上为增函数,若x,y满足等式f(x2-2x)+f(y) =0,则2x+y的最大值是 ( )
A.0
C.4
B.1
D.12
解析:∵f(x)是奇函数,且在R上为增函数, ∴f(x2-2x)=-f(y)=f(-y).
∴x2-2x=-y.
[解 ]
(1)若 f(x)为偶函数,有 f(-x)=f(x)⇒b=0,
-1 则 g(x)= a2x ,定义域为 x≠0,且 g(-x)=-g(x), 所以 g(x)为奇函数.
(2)由 g(x)=x, 整理得 a x +bx+1=0 且 Δ=b -4a b b 即2a>1 或2a<-1. b 又 f(x)的对称轴为 x=-2a, b 所以当-2a<-1 时,f(x)在(-1,1)上为增函数; b 当-2a>1 时,f(x)在(-1,1)上为减函数.
解析:法一:函数 f(x)的值域为 R. y-1 由 y=2x+1,得 x= 2 , x-1 ∴f (x)= 2 .
-1
∴f-1(-2)=
-2-1 3 =- 2 2.
法二:由互为反函数的两函数定义域、值域间的关系, 3 3 令 2x+1=-2,得 x=-2.∴f-1(-2)=-2.
3 答案:-2
3.(2011· 南京模拟)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= f2x lnx 的定义域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1) ( )
[做考题 查漏补缺]
(2011· 大 同 模 拟 ) 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x ∈ R) , f(x) =
gx+x+4,x<gx, gx-x,x≥gx.
则 f(x)的值域是 9 A.[- ,0]∪(1,+∞) 4 9 C.[- ,+∞) 4 B.[0,+∞) 9 D.[- ,0]∪(2,+∞) 4
[联知识
上可以有不同的单调性.
串点成面]
1.单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间 判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法.对于 选择题和填空题,也可用一些命题,如两个增(减)函数的 和函数仍为增(减)函数等. 2.函数的奇偶性反映了函数图像的对称性,是函数的整体 特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性 质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一 种途径.
[悟方法
触类旁通]
对称变换(在-x有意义的前提下) (1)y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称; (2)y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称; (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称;
(4)y=|f(x)|的图像可将y=f(x)的图像在x轴下方的部分 关于x轴翻转180°,其余部分不变; (5)y=f(|x|)的图像:可先作出y=f(x)当x≥0时的图像, 再利用偶函数的图像关于y轴对称,作出y=f(x)(x<0) 的图像.
选择题 和填空题
各种题型
函数 的性质
函数的单调性、奇偶性、周期性是高考函数 题的考查热点.命题重在考查基础知识,常 将几个性质综合进行考查
多为填空题 或选择题
[联知识
串点成面]
1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同
一个函数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一 函数. 2.求一个函数的反函数时,一般应当标出反函数的定义 域,即原函数的值域.
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],所以对g(x),0≤2x≤2且 x>0,x≠1,故x∈(0,1). 答案:D
[悟方法
触类旁通]
1.求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有 意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可. (2)对于复合函数求定义域问题,若已知f(x)的定义域[a,b],