高考数学数列的概念专题复习(专题训练)doc

一、数列的概念选择题

1．数列{}n a 满足12a =，111

1

n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-

B ．12-

C ．

13

D ．2

2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）

A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.

B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.

C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??=

+ ???

，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S ++

+=（ ）

A ．135

B ．141

C ．149

D ．155

4．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010?

B ．20191010?

C ．20202020?

D ．20192019?

5．已知数列{}n a ，若()12*

N

n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n

a 为“凸数列”.已知数列{}

n

b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5

B ．5-

C ．0

D ．1-

6．已知数列{}n a 的通项公式为23n

n a n ??= ???

，则数列{}n a 中的最大项为（ ）

A ．

89

B ．

23

C ．

6481

D ．

125

243

7．数列{}n a 满足 112a =，111n n

a a +=-，则2018a 等于( )

A ．

1

2

B ．－1

C ．2

D ．3

8．已知数列{}n a 满足()()*622,6,6

n n p n n a n p n -?--≤=∈?>?N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）

A ．71,4?? ???

B ．101,

7??

???

C ．()1,2

D ．10,27??

???

9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有

()()()f x f y f x y ?=+，若112

a =

，()()

*

n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．

1324

n S ≤< B ．

3

14

n S ≤< C ．102

n S <≤

D ．

1

12

n S ≤< 10．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列

{}n a 为周期数列，周期为T ．

已知数列{}n a 满足()111,1

0,{1

,01n n n n n

a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B

．若m =

，则数列{}n a 是周期为3的数列；

C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；

D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3

D ．3

12．已知数列2

65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

13．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45

B ．46

C ．47

D ．48

14．在数列{}n a 中，2

1

n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列

B ．不是单调数列

C ．是递增数列

D ．是递减数列

15．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32

f x f x f -=-=，数列

{}n a 满足11a =，且

21n n

S a n n

=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）

A ．1

B ．3

C ．-3

D ．0

16．数列11

11

,,,

57911

--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32

n n --+

B ．(1)32

n n -+

C ．1(1)23

n n --+

D ．(1)23

n

n -+

17．已知数列{}n a 满足2112n

n n a a a +=+-，且112

a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015

B ．2016

C ．1512

D ．

3025

2

18．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(

)*

3n n N

≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，

若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

19．在数列{}n a 中，11

(1)1,2(2)n

n n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0

B ．

53

C ．

73

D ．3

20．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072

B ．2073

C ．2074

D ．2075

二、多选题

21．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）

A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021

B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1

C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021

D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0

22．若不等式1

(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

23．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 24．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n

a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）

A ．2-

B ．

2

3 C ．

32

D ．3

25．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ） A ．4619a a a a >

B ．130S >，140S <，则78a a >

C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12S

D ．若2

n S n n a =-+，则0a =

26．已知数列{}n a 满足：1

2a =，当2n ≥时，)

2

12n a =

-，则关于数列

{}n a 的说法正确的是 （ ）

A ．27a =

B ．数列{}n a 为递增数列

C ．2

21n a n n =+-

D ．数列{}n a 为周期数列

27．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <

B ．10a <

C ．当5n =时n S 最小

D ．0n S >时n 的最小值为8

28．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >

D ．数列

{}n

a 也是等差数列

29．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的

是（ ） A ．110S =

B ．10n n S S -=（110n ≤≤）

C ．当110S >时，5n S S ≥

D ．当110S <时，5n S S ≥ 30．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论

正确的是（ ） A ．0d <

B ．70a =

C ．95S S >

D ．170S <

31．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =

C ．95S S >

D ．67n S S S 与均为的最大值

32．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ?<

B ．2

24154

a a +≥

C ．

15

111a a +> D ．1524a a a a ?>?

33．数列{}n a 满足11,121

n

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ??

????

是等差数列

B ．数列1n a ??????

的前n 项和2

n S n =

C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-

D ．数列{}n a 为递减数列

34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (

)*

n N ∈，公差0d ≠，6

90S

=，7a 是3a 与9

a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-

B ．1

20a =-

C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值

D ．当0n

S <时，n 的最小值为22

35．下列命题正确的是（ ）

A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列

C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c

可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】

由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可.

由1111

n n n a a a ++-=

+，可得111n

n n a a a ++=-，

由12a =，可得23a =-，312

a =-

，41

3a =，52a =，

由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以201931

2

a a ==-. 故选：B.

2．A

解析：A 【分析】

运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】

数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，

121n n n n a a a a +++∴≥--，

设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，

∴数列{}n d 是递减数列.

对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，

所以1220182018d d d ++

+=，又1232018d d d d ≥≥≥

≥，

所以1122018201820182018d d d d d ≥++

+≥，

故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，

02019N ?=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++

≤++++=

即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；

结合A ，故B 不正确；

对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；

对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】

本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.

3．D

【分析】

利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】

解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ??=+ ???

，*n N ∈， 所以当1n =时，得11a =， 当2n ≥时，11

1111

[()]22n n n n n n n S a S S a S S --??=+=-+ ?-?? 所以11

1

n n n n S S S S ---=

-，

所以2

=n S n ，

因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =====

==,

[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==

== ,

[]363740[][]6S S S ==

==.

所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155??????，

故选：D 【点睛】

此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.

4．B

解析：B 【分析】

由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】

由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()

20201201912019123 (2019201910102)

a a +-=++++==?.

故选：B. 【点睛】

本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.

5．B

解析：B 【分析】

根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】

()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===

∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ?+==+++=-，

故选：B. 【点睛】

本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.

6．A

解析：A 【分析】

由12233n

n n n a a +-??

-=? ???

，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得

到n ＝2时，a n 最大. 【详解】

解：112222(1)3333n n n

n n n a a n n ++-??????-=+-=? ? ? ???????

，

当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；

当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 4>a 5>…>a n ，

所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239

a a ??==?= ???. 故选：A . 【点睛】

此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.

7．B

解析：B 【分析】

先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】

n=1时，234511

121,1(1)2,1,121,22

a a a a =-=-=--==-

==-=- 所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ?+===-.

【点睛】

本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

8．D

解析：D 【分析】

根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】

因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；

又()()*622,6,6

n n p n n a n p n -?--≤=∈?>?N ， 所以只需6

7201p p a a ->??>??

>??-

本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.

9．D

解析：D 【分析】

根据题意得出111

2

n n n a a a a +==

，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】

取1x =，(

)y n n N

*

=∈，由题意可得()()()111

112

n n n a

f n f f n a a a +=+=?==

， 11

2n n a a +∴

=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12

为公比的等比数列， 11112211212n n n S ??

- ???

∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即

1

12

n S ≤<. 故选：D.

本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

10．C

解析：C 【解析】

试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =

<≤时，由34a =得54

m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .

B:

234111,11,1,m a a a =>∴==

==> 所以3T =，正

确．

C ：命题较难证明，先考察命题

D ．

D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．

【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．

11．C

解析：C 【分析】

根据题设条件，得到数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中

1234560a a a a a a +++++=，再由2020336644a a a ?+==，即可求解.

【详解】

由题意，数列{}n a 中，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-， 可得

3214325436547653,3,6,3,3,

a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，

可得数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=， 所以20203366443a a a ?+===-. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周

期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12．A

解析：A 【分析】

首先将n a 化简为()2

34n a n =--，即可得到答案。 【详解】

因为()

()2

2

69434n a n n n =-+-=--

当3n =时，n a 取得最小值。 故选：A

13．C

解析：C 【分析】

利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】

当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C

14．D

解析：D 【分析】

由21

111

n n a n n +=

=+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】

在数列{}n a 中，21

111

n n a n n +=

=+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D

15．C

解析：C 【分析】

判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】

依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3

()()2

f x f x -=，

所以()333332222f x f x f x f

x ?????

??

?+=---=--=-+ ? ? ?

???????

?? ()()()32f x f x f x ??

=---=--= ???

，所以()f x 是周期为3的周期函数.

由

21n n S a n n

=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，

当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，

①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），

所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，

652163a a =+=.

所以

56()()f a f a +=

()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=?++?=+=--=-

故选：C 【点睛】

如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .

16．D

解析：D 【分析】

根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】

因为数列11

11

,,,

, (57911)

--可写成 ()()()()234

2322311111,1,1,12,..24.333

-?

-?-?+?+?+?+-?， 所以其通项公式为(1)(1)23213

n

n

n a n n -=-=

++?. 故选：D.

17．C

解析：C 【分析】

通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】

依题意，

11 2

a=，

2

11

1

22

a=，

3

111

222

a=+=，

?

从而数列{}n a是以2为周期的周期数列，

于是所求值为

20161

(1)1512

22

?+=，

故选：C

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.

18．A

解析：A

【分析】

根据条件得出数列{}n b的周期即可.

【详解】

由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……

则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，

故选：A

19．B

解析：B

【分析】

由数列的递推关系式以及11

a=求出

2

a，进而得出

3

a．

【详解】

1

1

a =，2

1

1

23

a

a

∴=+=，

3

2

15

2

3

a

a

-

=+=

故选：B

20．C

解析：C

【分析】

由于数列2222

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45

?共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971

--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()

20201971=49

-个数，从而求得结果.【详解】

∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数，

因为331217282025132197=<<=，所以从数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉

12个立方数，

又66320254<<，所以在从数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列2

2

2

21,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有

20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】

本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要

弄明白在数列2

2

2

2

1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.

二、多选题 21．ABD 【分析】

对于A ，由题意得bn

＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3

解析：ABD 【分析】

对于A ，由题意得b n ＝

4

πa n 2

，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】

由题意得b n ＝

4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π

a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·

a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；

数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n

－1

2

＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋

(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；

由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·

a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】

此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题

22．ABC 【分析】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减

解析：ABC 【分析】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n

-<恒成立，当n 为偶数时有1

2a n

<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1

2+a n

-<恒成立，

由12+n 递减，且1

223n

<+≤，

所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1

2a n

<-恒成立， 由12n -

第增，且31

222n ≤-<， 所以3

2

a <

， 综上可得：322

a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.

23．ABD 【分析】

根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】

依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不

解析：ABD 【分析】

根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，

342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正

确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，

，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

累加可知D 正确. 【详解】

依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，

312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以

712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；

由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，

可得

13572019a a a a a ++++

+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，

故C 不正确；

2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，

，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

所以

2222

2

12342019

a a a a a ++++

+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，

所以

222

122019

20202019

a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.

24．BD 【分析】

根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；

数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要

解析：BD 【分析】

根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】

因为数列{}n a 满足112

a =-，11

1n n a a +=-，

2121

31()

2

a ∴=

=--；

32

1

31a a =

=-； 41311

12

a a a =

=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-

，2

3

，3； 故选：BD ． 【点睛】

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．

25．AD 【分析】

对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案； 对于，由求出及

解析：AD 【分析】

对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案； 对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】

对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，

所以2

4619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；

对于B ，因为130S >，140S <，所以

77713()

1302

a a a +=>，即70a >，

787814()

7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以

7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；

对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++

++=，所以12133()0a a +=，即

12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值

是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；

对于D ，若2

n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，

221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，

所以12120a a =?-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】

关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.

26．ABC 【分析】

由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断. 【详解】 当时，由，

得， 即，又，

所以是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 即，故C 正确； 所以，故A 正确； ，

解析：ABC 【分析】

由)

2

12n a =

-1=，再利用等差数列的定义求

得n a ，然后逐项判断. 【详解】

当2n ≥时，由)

2

12n a =-，

得)

2

21n a +=

，

1=，又12a =，

所以

是以2为首项，以1为公差的等差数列，

2(1)11n n =+-?=+，

即2

21n a n n =+-，故C 正确；

所以27a =，故A 正确；

()2

12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；

数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC

27．BD 【分析】

由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】

由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误

解析：BD 【分析】

由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误.

【详解】

由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；

753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；

()()()22

171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -??

--??=+=-+==--?? ??

?????，

当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.

n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.

故选：BD.

28．AB 【分析】

根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列中，即， .

对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，

解析：AB 【分析】

根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，

1149

249,2

a d a d =-=-

. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149

2

a d =-

，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?

?=+-=-

+-=- ??

?，令0n a ≥得5151

0,22n n -

≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.