下册作业参考答案

12．7 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为ζ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a 处的场强．

（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d 处的场强．

[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为 d λ = ζd x ，

根据直线带电线的场强公式

02E r

λ

πε=

， 得带电直线在P 点产生的场强为

00d d d 22(/2)

x

E r

b a x λσπεπε=

=

+-，

其方向沿x 轴正向．

由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为

/2

0/2

1

d 2/2b b E x b a x σπε-=

+-⎰ /2

/2

ln(/2)2b b b a x σ

πε--=+-

0ln(1)2b

a

σπε=

+． ① 场强方向沿x 轴正向．

（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度仍然为

d λ = ζd x ，

带电直线在Q 点产生的场强为 221/2

00d d d 22()x

E r

b x λ

σπεπε=

=

+，

沿z 轴方向的分量为

221/2

0cos d d d cos 2()z x

E E b x σθθπε==

+， 设x = d tan θ，则d x = d d θ/cos 2θ，因此

d d cos d 2z E E σ

θθπε==

积分得

arctan(/2)

0arctan(/2)

d 2b d z b d E σ

θπε-=

⎰

图13.5

0arctan()2b

d

σπε=

． ② 场强方向沿z 轴正向．

[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为

λ = ζb ，

①式的场强可化为

0ln(1/)

2/b a E a b a

λπε+=

，

当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

02E a

λ

πε→

， ③

这正是带电直线的场强公式．

（2）②也可以化为

0arctan(/2)

2/2z b d E d b d

λπε=

，

当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

02z E d

λ

πε→

，

这也是带电直线的场强公式．

当b →∞时，可得

2z E σ

ε→

， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式．

12．9 面电荷密度为ζ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O 为中心，R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．

[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为

q = πR 2ζ， 通过球面的电通量为

Φe = q /ε0， 通过半球面的电通量为

Φ`e = Φe /2 = πR 2ζ/2ε0．

图12.9

12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．

[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E = 0，（r < R 1）．

（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，

穿过高斯面的电通量为

d d 2

e S

S

E S E rl Φπ=⋅==⎰⎰E S Ñ，

根据高斯定理Φe = q /ε0，所以

02E r

λ

πε=

， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E = 0，（r > R 2）．

12．16 一半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ．若规定该球面上电势值为零，则无

限远处的电势为多少？

[解答]带电球面在外部产生的场强为

2

04Q E r πε=

，

由于 d d R R

R

U U E r ∞

∞

∞-=⋅=⎰⎰

E l

200d 44R

R Q

Q

r r r πεπε∞

∞

-==

⎰

04Q R

πε=

，

当U R = 0时，04Q U R

πε∞=-

．

12．17 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r

223

0(3)

8Q R r U R

πε-=． [证明]球的体积为34

3

V R π=， 电荷的体密度为 3

34Q Q

V R ρπ=

=

．