初中数学《函数》ppt北师大版11
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_ ___ __ _
学习目标
1．知道函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数A、ω、φ 的物理意义．(易混易错点)
2、整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 ，并能解决有关问题．(重点)
复习回顾
1.函数 y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点 向左(当>0时)或向右(当<0时) 平行 移动 || 个单位而得到的.
依据五点列表法原理，各点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π； “第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的值时，还要注意题目中给出的 φ 的范围，不
2
y 0 2 0 2 0
2
(2)描:点
O
2
7
5 13 x
-2 2
(,0)(,2,2)(,7,0)(,5,2)(,13,0)
2
2
2
2
2
(3)连线:
例2:如图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
y/cm
A2 T0.8 f 1.25 2- A
E
(2)从O点算起，到曲线上的哪
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。 2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。 3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。 4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。 5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。 6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。 7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。 8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。 9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
T
O
6
-2
∵过点
3
(
,0)
6
5
6
令－π6×2＋φ＝0+2kπ
x ∵|φ|＜ π2
3
y2sin2(x )
3
方法二：(待定系数法)
由图象知 A＝2，又图象过点π3，0和56π，0，根据五点作图法原 理，以上两点为“五点法”中的第三点“下始点”和第五点“终 点”，
∴ π356·πω·ω＋＋φφ＝＝π， 2π，
的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T.
即由图示两点的横坐标确定周期 T，进而由 ω＝2Tπ求得 ω.
(3)φ：从“五点法”中的第一个点－φω，0(也叫初始点)作为突破口，
要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，一般地可将所给一段图
象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．
36
伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y 2sin(1 x )
36 的图象.
y
y2sin1(x)③
3
36
2
y=sin(x-
)①
6
1
ysin1(x) ②
36
13
o
2
2
7
x
-１ 6 2
2
-2
y=sinx
-3
(画法 )利 二"用 五点 "画 法函 y 数 2sin1x()在
36
一个周 (T期 21 6)内的.图象
解：由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，
即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，
∴f(x)在 x＝0 时取得最值．即 sin φ＝1 或－1. ……2 分
依题设 0≤φ≤π，∴解得 φ＝π2.
……4 分
由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知
sin34πω＋π2＝0，解得 ω＝43k－23，k∈Z. …… 6 分
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
A ： 振 幅
A＞0, >0
(运 动 的 物 体 离 开 平 衡 位 置 的 最 大 距 离 )
T： 周 期 T＝ 2
(运 动 的 物 体 往 复 运 动 一 次 所 需 要 的 时 间 )
f： 频 率 f T 1＝ 2
(运 动 的 物 体 在 单 位 时 间 内 往 复 运 动 的 次 数 )
3
令 X 1 x,则 x 3 (X ).
36
6
当X取0, , , 3 ,2时,可求得相对应的x和y
22
的值,得到"五点",再描. 点作图. 然后将简图 .
再描点作图 , " 五点 "
X0
x 2
y0
2
2
7 2
20
3
2
2
5 13
2
2 0
(1)列表:
X0
2
3
2
2 y
x 2
2 7
2
5 13
答案：y＝3sin7x＋π6
例1 画出y 函 2si数 1 nx ()的简 . 图
36
解: (画法一)先把正弦曲线上所有点向右平移 个
6源自文库
单位长度,得到y sin(x )的图象;再把后者所有
6 点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到
y sin(1 x )的图象;再把所得图象上所有的纵坐标
在要求范围内的要通过周期性转化到要求的范围内．
(4)A，ω，φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难点，除使用初始点－ωφ，0 外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解 φ.
注意：由五个点中的任一点横坐标代入 ωx＋φ 均可求得 φ，其关 键是要认清所选择的点是“五点法”中的哪一个点．一般用最高 点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时一定要 分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ＝π)，否 则将有可能得出错解．此外，若 φ 不在要求的范围内，可通过加 2kπ(k∈Z)来完成．
3、 y=Asin(ωx+φ)+b的对称轴与其图象的交点为其最高点和
最低点；
4、求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式，要注意φ的限制范围，否则
解析式不唯一；
5、将 y=Asin(ωx+φ)+b的图象变换得y=sinx图象与将y=sinx的
图象变换得y=Asin(ωx+φ)+b的图象，其过程正好相反。
用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表；由ωx＋φ＝0，π2 ，π，3π 2 ，2π先求出 x，再
由 ωx＋φ 的值求出 y 的值．
x
φ －ω
πφ 2ω－ω
πφ ω－ω
32πω－φω
2ωπ－φω
ωx＋φ 0
π 2
π
32π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．
A2;由 2 0.得 85 2 ;由 图图 象 0知初
于是所求函数表达式是 y2sin 5x,x[0, )
2
变式训练:已知函数 y=Asin(x+)(>0, A>0，|φ|＜π2 )的
图像如下，求其解析式?
解法一： 由图知振幅 A2 周期：T5
y 2
∴
2 2
6 6
y2si2 nx ()
解得ωφ＝＝π32.，
∴y＝2sin2x＋π3.
说明：由图象或部分图象确定解析式 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，我们能准确地研究其图象与性
质，反过来，在已知它的图象或部分图象时，怎样确定它的解 析式呢？解决此类问题的关键在于确定参数 A，ω，φ.其基本 方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求 解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规 律或顺序来确定 A，ω，φ. (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为 T＝2ωπ，所以往往通过求周期 T 来确定 ω.可通过已 知曲线与 x 轴的交点来确定 T，即相邻的最高点与最低点之间
(5)“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象，实质是利用函数的三 个零点及两个最值点画出该函数在一个周期内的图象，若在一个定区间 内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的 最值点、零点． (6)已知函数图象研究函数性质可借助于周期性进行，先在一个周期内 确定相应性质，再加周期即可．
又
f(x)在0，π2上是单调函数，∴
T 2
≥2π，即
2π
π
2 2
……8 分
∴ω≤2.又 ω＞0，
∴当 k＝1 时，ω＝23；当 k＝2 时，ω＝2. ……11 分
∴φ＝π2，ω＝2 或23. ……12 分
【题后悟道】 关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)的几个结论 (1)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则有 φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
小结：1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期可利用 T＝|2ωπ|求得． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它 能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝Acosωx(Aω≠0) 的形式． (3)求 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的单调区间，一般将 ωx＋φ 看 成一个整体，代入 y＝sinx 相关的单调区间对应的不等式，解之 即可． (4)讨论 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的对称性，一般将 ωx＋φ 看 成一个整体，令 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)可得对称轴．令 ωx＋φ＝kπ(k ∈Z)解出 x 可得对称点的横坐标．
总结：1、在图象变换过程中，图象的： 形状由：振幅变换（A的变化）；周期变换（ω的变换）来确定。 位置由：相位变换（φ的变化）；上下平移变换（b的变换）来确 定。
2、将y=sinx的图象变换得y=Asin(ωx+φ)+b，先左右平移与后左
右平移是不一样的，即y=sinωx应向左或向右平移
个单位才
得y=Asin(ωx+φ)+b的图象；
2.函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的 横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0< <1时) 到原来的 1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
3.函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作把 y=sinx的图象上所有点的 纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时) 到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若函数 y＝Asin(ωx＋φ) 关于点(x0,0)对称，则有 ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)； 若关于直线 x＝x0 对称，则有 ωx0＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
(3)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上是单调函数，则一定 有 b－a≤T2(T 为函数 y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期)．
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例 3、已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函
数，其图象关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2上是单调函
数，求 φ 和 ω 的值．
【规范思维】第一步，看结论：求初相φ和ω的值． 第二步，想方法：由sin φ的值确定φ；再由对称性求ω 的值． 第三步，建联系：由函数为偶函数确定sin φ并求出φ 的值；由图象的对称性求出ω的表达式，再由单调区 间确定ω的值．
ωx＋φ称为相位 x=0时的相位φ称为初相。
做一做
(1)函数 y＝3sin2x＋π3的初相是__π3______．
(2)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值是 3， 最小正周期是27π，初相是π6，则这个函数的表达式是_____． 解：由题意知，A＝3，T＝2ωπ⇒ω＝2Tπ＝7，φ＝π6， 所以 y＝3sin7x＋6π.
【课堂★小结】
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平行移动
| | 个单位长度
y=sin(x+)
y=sinx
横坐标缩短(>1)或 伸长(0< <1) 1/倍
纵坐标不变
y=sinx
纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍
横坐标不变
y=sinx y=Asinx
结论：函数y=Asin(ωx+φ)+b x∈R的图象可以由y=sinx的图象变 换得到的：
一点，表示完成了一次往复运 O 动？如从A点算起呢？
0.4
0.8 1.2
B
D F x/s
C
如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从
A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.
(3)求这个简谐运动的函数表达式.
设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(x+), x∈[0,+∞)
学习目标
1．知道函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数A、ω、φ 的物理意义．(易混易错点)
2、整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 ，并能解决有关问题．(重点)
复习回顾
1.函数 y=sin(x+)(0) 的图象可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点 向左(当>0时)或向右(当<0时) 平行 移动 || 个单位而得到的.
依据五点列表法原理，各点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π； “第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的值时，还要注意题目中给出的 φ 的范围，不
2
y 0 2 0 2 0
2
(2)描:点
O
2
7
5 13 x
-2 2
(,0)(,2,2)(,7,0)(,5,2)(,13,0)
2
2
2
2
2
(3)连线:
例2:如图是某简谐运动的图象。
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
y/cm
A2 T0.8 f 1.25 2- A
E
(2)从O点算起，到曲线上的哪
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。 2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。 3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。 4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。 5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。 6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。 7.阅历之所以会对读书所得产生深浅有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。 8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。 9.自信让我们充满激情。有了自信，我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
T
O
6
-2
∵过点
3
(
,0)
6
5
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令－π6×2＋φ＝0+2kπ
x ∵|φ|＜ π2
3
y2sin2(x )
3
方法二：(待定系数法)
由图象知 A＝2，又图象过点π3，0和56π，0，根据五点作图法原 理，以上两点为“五点法”中的第三点“下始点”和第五点“终 点”，
∴ π356·πω·ω＋＋φφ＝＝π， 2π，
的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T.
即由图示两点的横坐标确定周期 T，进而由 ω＝2Tπ求得 ω.
(3)φ：从“五点法”中的第一个点－φω，0(也叫初始点)作为突破口，
要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，一般地可将所给一段图
象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．
36
伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y 2sin(1 x )
36 的图象.
y
y2sin1(x)③
3
36
2
y=sin(x-
)①
6
1
ysin1(x) ②
36
13
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2
7
x
-１ 6 2
2
-2
y=sinx
-3
(画法 )利 二"用 五点 "画 法函 y 数 2sin1x()在
36
一个周 (T期 21 6)内的.图象
解：由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)，
即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，
∴f(x)在 x＝0 时取得最值．即 sin φ＝1 或－1. ……2 分
依题设 0≤φ≤π，∴解得 φ＝π2.
……4 分
由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知
sin34πω＋π2＝0，解得 ω＝43k－23，k∈Z. …… 6 分
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
A ： 振 幅
A＞0, >0
(运 动 的 物 体 离 开 平 衡 位 置 的 最 大 距 离 )
T： 周 期 T＝ 2
(运 动 的 物 体 往 复 运 动 一 次 所 需 要 的 时 间 )
f： 频 率 f T 1＝ 2
(运 动 的 物 体 在 单 位 时 间 内 往 复 运 动 的 次 数 )
3
令 X 1 x,则 x 3 (X ).
36
6
当X取0, , , 3 ,2时,可求得相对应的x和y
22
的值,得到"五点",再描. 点作图. 然后将简图 .
再描点作图 , " 五点 "
X0
x 2
y0
2
2
7 2
20
3
2
2
5 13
2
2 0
(1)列表:
X0
2
3
2
2 y
x 2
2 7
2
5 13
答案：y＝3sin7x＋π6
例1 画出y 函 2si数 1 nx ()的简 . 图
36
解: (画法一)先把正弦曲线上所有点向右平移 个
6源自文库
单位长度,得到y sin(x )的图象;再把后者所有
6 点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到
y sin(1 x )的图象;再把所得图象上所有的纵坐标
在要求范围内的要通过周期性转化到要求的范围内．
(4)A，ω，φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难点，除使用初始点－ωφ，0 外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解 φ.
注意：由五个点中的任一点横坐标代入 ωx＋φ 均可求得 φ，其关 键是要认清所选择的点是“五点法”中的哪一个点．一般用最高 点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时一定要 分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ＝π)，否 则将有可能得出错解．此外，若 φ 不在要求的范围内，可通过加 2kπ(k∈Z)来完成．
3、 y=Asin(ωx+φ)+b的对称轴与其图象的交点为其最高点和
最低点；
4、求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式，要注意φ的限制范围，否则
解析式不唯一；
5、将 y=Asin(ωx+φ)+b的图象变换得y=sinx图象与将y=sinx的
图象变换得y=Asin(ωx+φ)+b的图象，其过程正好相反。
用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表；由ωx＋φ＝0，π2 ，π，3π 2 ，2π先求出 x，再
由 ωx＋φ 的值求出 y 的值．
x
φ －ω
πφ 2ω－ω
πφ ω－ω
32πω－φω
2ωπ－φω
ωx＋φ 0
π 2
π
32π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．
A2;由 2 0.得 85 2 ;由 图图 象 0知初
于是所求函数表达式是 y2sin 5x,x[0, )
2
变式训练:已知函数 y=Asin(x+)(>0, A>0，|φ|＜π2 )的
图像如下，求其解析式?
解法一： 由图知振幅 A2 周期：T5
y 2
∴
2 2
6 6
y2si2 nx ()
解得ωφ＝＝π32.，
∴y＝2sin2x＋π3.
说明：由图象或部分图象确定解析式 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，我们能准确地研究其图象与性
质，反过来，在已知它的图象或部分图象时，怎样确定它的解 析式呢？解决此类问题的关键在于确定参数 A，ω，φ.其基本 方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求 解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规 律或顺序来确定 A，ω，φ. (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为 T＝2ωπ，所以往往通过求周期 T 来确定 ω.可通过已 知曲线与 x 轴的交点来确定 T，即相邻的最高点与最低点之间
(5)“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象，实质是利用函数的三 个零点及两个最值点画出该函数在一个周期内的图象，若在一个定区间 内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的 最值点、零点． (6)已知函数图象研究函数性质可借助于周期性进行，先在一个周期内 确定相应性质，再加周期即可．
又
f(x)在0，π2上是单调函数，∴
T 2
≥2π，即
2π
π
2 2
……8 分
∴ω≤2.又 ω＞0，
∴当 k＝1 时，ω＝23；当 k＝2 时，ω＝2. ……11 分
∴φ＝π2，ω＝2 或23. ……12 分
【题后悟道】 关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)的几个结论 (1)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则有 φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
小结：1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期可利用 T＝|2ωπ|求得． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它 能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝Acosωx(Aω≠0) 的形式． (3)求 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的单调区间，一般将 ωx＋φ 看 成一个整体，代入 y＝sinx 相关的单调区间对应的不等式，解之 即可． (4)讨论 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的对称性，一般将 ωx＋φ 看 成一个整体，令 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)可得对称轴．令 ωx＋φ＝kπ(k ∈Z)解出 x 可得对称点的横坐标．
总结：1、在图象变换过程中，图象的： 形状由：振幅变换（A的变化）；周期变换（ω的变换）来确定。 位置由：相位变换（φ的变化）；上下平移变换（b的变换）来确 定。
2、将y=sinx的图象变换得y=Asin(ωx+φ)+b，先左右平移与后左
右平移是不一样的，即y=sinωx应向左或向右平移
个单位才
得y=Asin(ωx+φ)+b的图象；
2.函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的 横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0< <1时) 到原来的 1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
3.函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作把 y=sinx的图象上所有点的 纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时) 到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若函数 y＝Asin(ωx＋φ) 关于点(x0,0)对称，则有 ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)； 若关于直线 x＝x0 对称，则有 ωx0＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
(3)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上是单调函数，则一定 有 b－a≤T2(T 为函数 y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期)．
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例 3、已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函
数，其图象关于点 M34π，0对称，且在区间0，π2上是单调函
数，求 φ 和 ω 的值．
【规范思维】第一步，看结论：求初相φ和ω的值． 第二步，想方法：由sin φ的值确定φ；再由对称性求ω 的值． 第三步，建联系：由函数为偶函数确定sin φ并求出φ 的值；由图象的对称性求出ω的表达式，再由单调区 间确定ω的值．
ωx＋φ称为相位 x=0时的相位φ称为初相。
做一做
(1)函数 y＝3sin2x＋π3的初相是__π3______．
(2)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值是 3， 最小正周期是27π，初相是π6，则这个函数的表达式是_____． 解：由题意知，A＝3，T＝2ωπ⇒ω＝2Tπ＝7，φ＝π6， 所以 y＝3sin7x＋6π.
【课堂★小结】
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平行移动
| | 个单位长度
y=sin(x+)
y=sinx
横坐标缩短(>1)或 伸长(0< <1) 1/倍
纵坐标不变
y=sinx
纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍
横坐标不变
y=sinx y=Asinx
结论：函数y=Asin(ωx+φ)+b x∈R的图象可以由y=sinx的图象变 换得到的：
一点，表示完成了一次往复运 O 动？如从A点算起呢？
0.4
0.8 1.2
B
D F x/s
C
如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从
A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.
(3)求这个简谐运动的函数表达式.
设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(x+), x∈[0,+∞)