海岸线长度问题
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如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
刘徽——割圆术
2.柯克曲线
1904年，瑞典数学家柯克（Koch，1870～1924） 构造了一种雪花形状的曲线，我们习惯上称为柯克雪 花曲线．这一曲线巧妙地解释了蒙德尔布罗的分形几 何思想，其构造方法如下：
（1）取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为 一边，向外侧凸出作一个正三角形． （2）将原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一个很像雪 花形状的有12条边的六角星． （3）再以上图中每边上中间的1/3为一边，向外凸出作一个 正三角形，然后把原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一 个更像雪花的六角星，这个六角星有48条边． （4）重复以上步骤，不断做下去，得到的图形就是柯克雪花 曲线．
天气预报是怎么做出来的？
（1）分析、研究和总结天气的规律； （2）将这些规律表示成微分方程的形式； （3）编程输入计算机作为一个固定的模式； （4）采样（当地今天各个时间的气温、空气湿度、气压、风向、风力 等数据） （5）将所得的数据输入计算机，通过程序得到明天各个时间的数据； （6）计算机自动将明天各个时间的数据输入，得到后天的数据； （7）重复（6），得到近几天的天气预报。
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行 长期天气预报。
Lorenz发现，Baidu Nhomakorabea气运动的规律不同于人们 通 常研究的物质运动规律。人们通常研究的物质运动， 小的初值改变只会导致结果的小改变。而天气运动 不然，天气运动是“混沌”运动。
海岸线长度问题
《数学文化》课程组
一、问题的产生
英国的海岸线有多长？
英国数学家理查森（Richardson，1881～1953）查了欧洲 许多版本的百科全书，发现其中对英国海岸线的长度说法不一， 出入最多达到20%．显然，通常的测量是不可能产生这么大的 误差的，那这20%的差距是如何产生的呢？
对这一问题进行深入研究的是美籍法国数学家、计算机专 家蒙德尔布罗（Mandelbrot，1924～2010）．他于1967年在国 际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇奇怪却具有划时代意 义的论文——《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数 维》．文中蒙德尔布罗对英国海岸线长度的问题作出了回答， 不过他的回答却让人大吃一惊：他认为无论测量的多么仔细认 真，都不可能得到英国海岸线的准确长度，因为根本就不会有 准确的答案．英国的海岸线长度是不确定的！
一、问题的产生
1.英国的海岸线有多长？
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时， 对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直 线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会 发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。 随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越 多，你测得的曲线长度也就越大。
Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。
Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。
三、混沌
洛仑兹：巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能会引起几周后美国 德克萨斯州有一场风暴。（蝴蝶效应——butterfly effect）
蝴蝶效应是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化 能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌 现象。
B.B.Mandelbrot：
“我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出 了 fractal（分形）这个词．相应的拉丁文动词 fragere 的意义是“使碎裂”、造成不规则的碎 片．……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分 裂的”（像在“分数”或“折射”中那样）， fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都 继承保留了下来”．
客观世界中更多的是“分形”
平面分形图形：海岸线、柯克曲线、下雨区域 的边界、指纹和掌纹、河流的水系图、蜗牛 爬过的路线等；
空间分形图形：天空中的云、地面上的山、河 流的河道、树皮、DNA螺旋线、人的血管分叉、 闪电的线路、人的经络等等。
山
星云
星云
天空中的云朵
植物的叶子
河流分布图
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
（2）Cantor三分集——最简单的分形
（3）谢尔宾斯基“垫片”
（3）谢尔宾斯基“地毯”
（4）门格尔海绵
（4）门格尔海绵
谢尔宾斯基金字塔
3.分形维数的定义
用迭代函数算法画的树
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识 过程中的一个里程碑。
蝴蝶效应的原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边 的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气 流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化， 由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
Koch曲线
雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却 有着无限的周长！
雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却 可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际 上其面积等于原三角形面积的8／5倍。
二、分形
1.客观世界的“分形”
蒙德尔布罗认为： 海岸线更接近于柯克曲线的形式。
（1）海岸线是没有规则的，不能用函数表达出来； (2)海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性; (3)海岸线的部分和整体是很相似的，无论从远处观察还是 从近处观察都一样复杂，有自相似性。
“自相似”的特点
柯克曲线自身的任何一个局部，放大后都与整体非 常相似。
柯克曲线是通过无限的步骤创造的。这无限步骤中 的每一步，都是在上一部图形的每个边上，以中间的 1/3为一边，向外侧突出作一个正三角形，再把原来边 上中间的1/3部分擦掉。这样，柯克曲线自身的任何一 个局部，如此不断地做下去，与整体是非常相似的。
“自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。”
---- B.B.Mandelbrot
2.分形图形欣赏
（1）蒙德尔布罗集—— 分形的标志
M集的局部放大
M集的多局部放大
刘徽——割圆术
2.柯克曲线
1904年，瑞典数学家柯克（Koch，1870～1924） 构造了一种雪花形状的曲线，我们习惯上称为柯克雪 花曲线．这一曲线巧妙地解释了蒙德尔布罗的分形几 何思想，其构造方法如下：
（1）取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为 一边，向外侧凸出作一个正三角形． （2）将原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一个很像雪 花形状的有12条边的六角星． （3）再以上图中每边上中间的1/3为一边，向外凸出作一个 正三角形，然后把原来边上中间的1/3部分擦掉，就构成了一 个更像雪花的六角星，这个六角星有48条边． （4）重复以上步骤，不断做下去，得到的图形就是柯克雪花 曲线．
天气预报是怎么做出来的？
（1）分析、研究和总结天气的规律； （2）将这些规律表示成微分方程的形式； （3）编程输入计算机作为一个固定的模式； （4）采样（当地今天各个时间的气温、空气湿度、气压、风向、风力 等数据） （5）将所得的数据输入计算机，通过程序得到明天各个时间的数据； （6）计算机自动将明天各个时间的数据输入，得到后天的数据； （7）重复（6），得到近几天的天气预报。
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具——计算机进行天气模拟，试图进行 长期天气预报。
Lorenz发现，Baidu Nhomakorabea气运动的规律不同于人们 通 常研究的物质运动规律。人们通常研究的物质运动， 小的初值改变只会导致结果的小改变。而天气运动 不然，天气运动是“混沌”运动。
海岸线长度问题
《数学文化》课程组
一、问题的产生
英国的海岸线有多长？
英国数学家理查森（Richardson，1881～1953）查了欧洲 许多版本的百科全书，发现其中对英国海岸线的长度说法不一， 出入最多达到20%．显然，通常的测量是不可能产生这么大的 误差的，那这20%的差距是如何产生的呢？
对这一问题进行深入研究的是美籍法国数学家、计算机专 家蒙德尔布罗（Mandelbrot，1924～2010）．他于1967年在国 际权威的美国《科学》杂志上发表了一篇奇怪却具有划时代意 义的论文——《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数 维》．文中蒙德尔布罗对英国海岸线长度的问题作出了回答， 不过他的回答却让人大吃一惊：他认为无论测量的多么仔细认 真，都不可能得到英国海岸线的准确长度，因为根本就不会有 准确的答案．英国的海岸线长度是不确定的！
一、问题的产生
1.英国的海岸线有多长？
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时， 对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直 线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会 发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。 随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越 多，你测得的曲线长度也就越大。
Lorenz发现混沌运动的两个重要特点： （1）对初值极端敏感；(2)解并不是完全随机的。
Lorenz之后，混沌学的研究开始蓬勃发展。
三、混沌
洛仑兹：巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能会引起几周后美国 德克萨斯州有一场风暴。（蝴蝶效应——butterfly effect）
蝴蝶效应是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化 能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌 现象。
B.B.Mandelbrot：
“我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出 了 fractal（分形）这个词．相应的拉丁文动词 fragere 的意义是“使碎裂”、造成不规则的碎 片．……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分 裂的”（像在“分数”或“折射”中那样）， fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都 继承保留了下来”．
客观世界中更多的是“分形”
平面分形图形：海岸线、柯克曲线、下雨区域 的边界、指纹和掌纹、河流的水系图、蜗牛 爬过的路线等；
空间分形图形：天空中的云、地面上的山、河 流的河道、树皮、DNA螺旋线、人的血管分叉、 闪电的线路、人的经络等等。
山
星云
星云
天空中的云朵
植物的叶子
河流分布图
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
（2）Cantor三分集——最简单的分形
（3）谢尔宾斯基“垫片”
（3）谢尔宾斯基“地毯”
（4）门格尔海绵
（4）门格尔海绵
谢尔宾斯基金字塔
3.分形维数的定义
用迭代函数算法画的树
三、混沌
1.洛仑兹的天气预报
美国气象学家E.N.Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识 过程中的一个里程碑。
蝴蝶效应的原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边 的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气 流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化， 由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。
Koch曲线
雪花曲线令惊异的性质是：它具有有限的面积，但却 有着无限的周长！
雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却 可以画在一张很小的纸上，所以它的面积是有限的，实际 上其面积等于原三角形面积的8／5倍。
二、分形
1.客观世界的“分形”
蒙德尔布罗认为： 海岸线更接近于柯克曲线的形式。
（1）海岸线是没有规则的，不能用函数表达出来； (2)海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性; (3)海岸线的部分和整体是很相似的，无论从远处观察还是 从近处观察都一样复杂，有自相似性。
“自相似”的特点
柯克曲线自身的任何一个局部，放大后都与整体非 常相似。
柯克曲线是通过无限的步骤创造的。这无限步骤中 的每一步，都是在上一部图形的每个边上，以中间的 1/3为一边，向外侧突出作一个正三角形，再把原来边 上中间的1/3部分擦掉。这样，柯克曲线自身的任何一 个局部，如此不断地做下去，与整体是非常相似的。
“自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。”
---- B.B.Mandelbrot
2.分形图形欣赏
（1）蒙德尔布罗集—— 分形的标志
M集的局部放大
M集的多局部放大