高考数学总复习解题策略：概率统计(2021)

第八讲概率统计

【考点透视】

1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．

2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．

4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．

5．掌握离散型随机变量的分布列.

6．掌握离散型随机变量的期望与方差.

7．掌握抽样方法与总体分布的估计.

8．掌握正态分布与线性回归.

【例题解析】

考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)

()(I card A card ＝n

m ;

等可能事件概率的计算步骤：

① 计算一次试验的基本事件总数n ;

② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数

m ;

③ 依公式()m P A n

求值;

④ 答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );

特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1.

(3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );

特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n

p p C

--)1(.其中P 为事件

A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

① 求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质????

???等可能事件

互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算??

?和事件积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式

()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?

=???+=+?

??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．

[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

[解答过程]0.3提示:1335

C 33

.54C 102

P ==

=?

例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．

[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

[解答过程]1.

20

提示:51.10020P ==

例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的

质量分别为（单位：g）：

492 496 494 495 498 497 501 502 504 496

497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．

[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所

以有51.

204

点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.

例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）

[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ??+??+?=.

故填0.94.

例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

（A ）45

4 （B ）361 （C ）154 （D ）15

8

[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有

222

642

3

3

15C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有

信号

222

642

3

3

15C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有55

120A

=种，所求的概率是

120822515

P =

=，所以选D.

点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.

例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率

()0.96P A =．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．

[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．

[解答过程]（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等

品”，

1A 表示事件“取出的

2件产品中恰有1件二等品”．

则01A A ，互斥，且01A A A =+，故

01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.

P A P A p p p p =+=-+-=-

于是2

0.961p =-．

解得120.20.2p p ==-，（舍去）．

（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0B B =．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220?=件，故

2

8002100C 316()C 495

P B ==．

00316179()()1()1.495495

P B P B P B ==-=-

=

例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率

是 （结果用分数表示）．

[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 4

4244288135

A A A P A ==

种.所以,填135.

例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为4

3，求n.

[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.

[标准解答]（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .

22222245111

().61060

C C P A C C =?=?=

（II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1

B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B .

由题意，得31()1.4

4

P B =-=

211112

2222

12

2224242

()n n n n C C C C C C P B C C C C ++??=?+?22;3(2)(1)n n n =++

22

2

22242()n n C C P B C C +=?(1);6(2)(1)

n n n n -=

++

所以, 1

2

()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=

+++++1

4

=，

化简，得2

71160,n

n --=解得2n =，或37

n =-

（舍去），

故 2n =.

例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．