椭圆的几何性质和综合问题汇总

椭圆的几何性质

一、概念及性质

1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；

2.椭圆的通经：

3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：

4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.

5.直线与椭圆的位置关系：

6.椭圆的中点弦问题：

【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：

(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．

题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于

5

3

. 【典例2】求椭圆40025162

2

=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且

直线AP ，AQ 的斜率之积为2

1

-，则椭圆C 的离心率为（ ）

A.22

B.21

C.42

D.4

1

【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2

－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长

为8，则椭圆的左顶点为( )

A ．(－3，0)

B ．(－4，0)

C ．(－10，0)

D ．(－5，0)

（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4

5

，则k 的值为( )

A ．－21

B ．21

C ．－1925或21

D ．19

25

或21

(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，

B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆

C 的离心率等于________．

【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且

215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是

练习：如图，把椭圆

116

252

2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆

的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++ =

【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，

l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．

【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 2

4

＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分

别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．

【方法归纳】：

1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．

3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．

4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等

式)，利用a 2＝b 2＋c 2

消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．

5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】

1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是3

4，则此椭圆的标准方程是( )

A ．x 216＋y 27＝1

B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1

C ．x 216＋y 225＝1

D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 2

16＝1

2.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(1

2

，1)，则实数k 的取值范围是( )

A ．(0，3)

B ．(3，163)

C ．(0，3)∪(16

3

，＋∞) D ．(0，2)

3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )

A ．22

B ．12

C ．32

D ．33

4.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1

2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，

P 是椭圆上任意一点，则PF →

·PA →

的最大值为________．

5.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b

y a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33

，过F 2的直

线l 交C 于A,B 两点，若△AF 1B 的周长为34，则C 的方程为（ ）

A.

12322=+y x B.132

2=+y x C.181222=+y x D.14

1222=+y x

6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 2

64＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．

7.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线2

3a

x =上一点，

12PF F ?是底角为300的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

A.21

B. 32

C.43

D. 5

4

8.过椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若

02160=∠PF F ，则椭圆的离心率为（ ）

A.25

B.33

C.21

D.3

1

9.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BA BF ⊥，

则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为

10.已知1F 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当

A F PF 11⊥，PO ∥A

B （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为

11．已知方程x 2

2－k ＋y 2

2k －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )

A ．(12，2)

B ．(1，＋∞)

C ．(1，2)

D ．(1

2

，1)

12．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )

A ．2 3

B ．2 6

C ．4 2

D ．4 3

13．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )

A ．x 28＋y 26＝1

B ．x 216＋y 26＝1

C ．x 28＋y 24＝1

D ．x 216＋y 2

4＝1

14.如图，已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)

的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为

________．

15.已知抛物线42

x y =与椭圆)0(118222>=+a y a

x 在第一象限相交于A 点，F 为抛物线的焦点，AB ⊥y 轴于B 点，当∠BAF =300

时，a =

16. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16

＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，

4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．

17．椭圆x 236＋y 29

＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →

的最小值为( )

A ．6

B ．3－ 3

C ．9

D ．12－6 3

18．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．

19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

20.已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2

－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

14. 椭圆()01:22

22>>=+Γb a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线

()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____

设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆

与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为 （A ）

3

1

6 （B ）

2

3 （C ）22 （D ）32

若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12

）作圆22

+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，

直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

21.已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线

段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )

A ．

53 B ．23 C ．22 D ．5

9

22. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>上三点，若直线PQ 过原点，且直线

,AP AQ 的斜率之积为1

2-，则椭圆C 的离心率等于( )

A ．2

B ．12

C ．4

D ．14

题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.

【典例1】当m 为何值时，直线m x y l +=:与椭圆1441692

2

=+y x 相切、相交、相离？

【典例2】已知椭圆

19

252

2=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？

反馈：（2012福建）如图，椭圆E ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，离

心率2

1

=

e ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4交于Q ，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.

【方法归纳】：

直线与椭圆位置关系判断的步骤： ①联立直线方程与椭圆方程；

②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；

③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．

注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？

题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题

该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.

【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆14

22

=+y x 的右焦点，交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长及1ABF ?的周长、面积.

【典例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，

离心率为1

2

，左，右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l ：y ＝－1

2

x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与

以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝53

4

，求直线l 的方程．

【典例3】已知一直线与椭圆36942

2

=+y x 相交于A ,B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程.

变式：过点(1,1)M 作斜率为1

2

-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若

M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为

【典例4】（2015新课标文）已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>> 的离心率为,点

(

在C 上.

（I ）求C 的方程；

（II ）直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.

【典例5】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为2，F 是椭

圆的焦点，直线AF O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

【方法归纳】：

（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.

（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b )，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y =kx +b ，但要讨论斜率是否存在；②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x =my +a ，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用

m

1

替换. （3）直线被椭圆截得的弦长公式

设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2

－4x 1x 2]

＝（1＋1k

2）[（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2](k 为直线斜率)．

【本节练习】

1.(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b

2＝1(0

直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．

2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2

b

2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1

的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )

A ．1

B ． 2

C ．3

2 D ． 3

3．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 2

4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两

点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．

4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3

，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l

与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．

(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．

5.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1

2

．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →

，求直线l 的方程．

5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为23

，右焦点到直线0

6=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程；

（2）过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，满足5

7

-=，

求直线l 的方程.

6.已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为23

，且长轴长为12，过点P(4,2)

的直线l 与椭圆交于A,B 两点.

(1)求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为2

1

时，求AB 的值；(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.

7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M ：)0(122

22>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线

03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点,且OP 的斜率为

2

1

. (Ⅰ)求M 的方程;

(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.

8. 设12,F F 分别是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l

与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. （1）求E 的离心率；

（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程.

9. 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122

22=+b

y a x （a >b >0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x

轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （I ）若直线MN 的斜率为

4

3

，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .

10． 如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b

＞0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，

过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2

c

于点Q ．

(1)如果点Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．

11.已知椭圆C ：x 2＋2y 2

＝4．

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ， （文）求线段AB 长度的最小值．

（理）试判断直线AB 与圆22

2

=+y x 的位置关系.

圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”. 一、 最值问题 【规律方法】：

（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.

（2）两种常见方法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法. （3）圆锥曲线的综合问题要四重视： ①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的作用；③重视根与系数的关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题，范围中的题6、7.

1.已知椭圆C ：12

22=+y a

x （a >0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在

原点，分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P （不同于O 点），且以BP 为直径的圆经过点A .

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点，求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.

2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b

y a x 的上顶点为（0，1），且离心率为23

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）证明：过椭圆)0(122

22>>=+n m n

y m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为

12020=+n

y

y m x x ； （Ⅲ）从圆162

2

=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.

3.已知动点P 到定点F （1，0）和到定直线x =2的距离之比为

2

2

，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）. （Ⅰ）求曲线E 的方程；

（Ⅱ）当直线l 与圆12

2

=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.

4. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右

焦点，直线AF 的斜率为3

，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

5.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率为23

，且点

)2

1

,3(在椭圆C 上，

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆144:22

2

2=+b

y a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

（ⅰ）求

OP

OQ 的值；

（ⅱ）求ABQ ?面积的最大值。

二、定值问题

解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率、某些代数表达式的值等）的大小与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变化的量所影响的一个值即为定值. 求定值的基本方法：

1.直接推理计算，通过消参得到定值：直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量（如2015高考文科）

2.从特殊入手，求出定值，再证明，即从特殊到一般法：从动点或动直线的特殊位置入手，计算出定值或定点，然后验证一般情形，即证明这个值与变量无关. 【注】：无论哪种方法，其求解过程仍始终贯穿一条主线.

1.已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>，点在C 上.

（1）求C 的方程；

（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.

2.已知椭圆C ：)0(92

2

2

>=+m m y x ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点??

?

??m m ,3，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.

3. 已知动直线l 与椭圆C ：22

132

x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ?的

面积OPQ S ?=

O 为坐标原点．

（Ⅰ）证明：2212x x +和22

12y y +均为定值；

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ?的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得2

ODE ODG OEG S S S ???===？若存在，判断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由．

（安排此题的目的有两个：一是在处理(1)时，所建立的等式OPQ S ?=

量，且这两个变量间再无直接关系，此时可通过观察等式的结构，通过换元，再借助此等式，探索原来两个变量间的关系，以达到消元的目的；二是在处理（2）时，可通过观察2

OM 和2

PQ 的结构，通过变形，使之满足均值不等式求最值的三个条件）

4.如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率e =2

，一条准线的方程为x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P 满足：ON OM OP 2+=，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON

的斜率之积为1

-

2

，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？

若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．

4’.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b

y a x 其焦点为F 1，F 2，离心率为22

，直线l ：x +2y -2=0

与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .

（1）若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；

（2）若线段AB 上存在点P 满足a PF PF 221=+，求a 的取值范围.

5. 已知椭圆：)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，且过点)2

1

,3(.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A ，B ，M 是椭圆上的三点.若5

4

53+=

，点N 为线段AB 的中点，)0,26(-

C ，)0,2

6

(D ，求证：22=+ND NC .

（2014江西文）如图，已知抛物线2

:4C x

y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B

两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；

（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y

=相交于点1N ，与（1）中的定直线

相交于点2N ，证明：222

1||||MN MN -为定值，并求此定值.

三、定点问题 （同定值问题）

1. 已知椭圆C 的中心在为坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值

为3，最小值为1.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左、右顶点），且以

AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

2.（2013陕西）已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

2.（2014课标1）在直角坐标系xOy 中，曲线2

:4

x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交与

,M N 两点，

（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.

3.设动直线l 与抛物线E ：y x 42

=相切于点P ，与直线1-=y 相交于点Q ，证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.

4.已知结论：若点P (x 0,y 0)为椭圆122

22=+b y a x 上一点，则直线l :12020=+b y y a x x 与椭圆相

切，现过椭圆C :14

92

2=+y x 上一点P 作椭圆的切线交直线559=x 于点A ，试判断以线

段AP 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

5.已知椭圆122

22=+b

y a x 的两个焦点为)0,(),0,(21c F c F -，其中a ,b ,c 都是正数，长轴长为

4，原点到过点A (0,-b )和B (a ,0)两点的直线的距离为7

21

2. (1) 求椭圆的方程；

(2) 若点M ,N 是定直线x =4上的两个动点，021=?N F M F ，证明：以MN 为直径的圆过定

点，并求定点坐标.

5.(2015广东汕头二模)如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)

0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为

2

2

，左顶点A 与上顶点B 的距离为6. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过原点O 的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA 、QA 分别与

y 轴交于M 、N 两点，问：以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.

6. 如图，椭圆E : 22221(0)x y a b a b

+=>>，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆

交于A 、B 两点当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程

（Ⅱ）在平面直角坐标系中是否存在与点P 不同的定点Q ,使得QA PA

QB PB

=

恒成立，若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，说明理由.

7.已知椭圆C :)1(12222≥>=+b a b

y a x 的离心率22

=e ，右焦点到直线0

22=-+by ax 的距离为

3

2

. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知直线0=+-m y x 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的中点不在圆

122=+y x 内，求实数m 的取值范围；

（Ⅲ）过点)3

1,0(-P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在点Q ，使得以AB 为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

8.已知圆2221)1(:r y x F =++与圆2

222)4()1(:r y x F -=+-(0

4

1. （Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）证明直线AB 恒过定点，并求定点坐标； （Ⅲ）求ABM ?的面积的最大值.

四、参数（或式）的取值范围问题

解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

引例1 已知A 是椭圆E ：22

143

x y +

=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.

（I ）当AM AN =时，求AMN 的面积

(II)当2AM AN =2k <<.

引例2 已知椭圆E :13

22=+y t x 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当t =4，AN AM =时，求△AMN 的面积； （II ）当AN AM =2时，求k 的取值范围.

1.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2

2

(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）

A ．[

B ．(

C ．[33

-

D ．(,)33

-

2.已知P 为抛物线221x y =

上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)2

17,6(，

则PM PA +的最小值是（ ） A. 8 B.

219 C. 10 D. 2

21

直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l .

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2

的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个这个定值.

3. 已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线y =mx +1

2

对称． （1）求实数m 的取值范围；

（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．

4.已知椭圆12

22

=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点.设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，

B 两点，线段AB 的的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.

5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离

. (I)求椭圆C 的方程；

(II)A ,B 为椭圆C 上满足AOB ?E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.

6.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22

，过其右焦点F 2作与x 轴垂直的

直线l 与该椭圆交于A 、B 两点，与抛物线x y 42

=交于C 、D 两点，且CD AB 2

2

=

. （1）求椭圆E 的方程；

（2）若过点M (2,0)的直线与椭圆E 相交于G 、H 两点，设P 为椭圆E 上一点，且满足

为坐标原点）

O t t ,0(≠=+，3

11

8<-时，求实数t 的取值范围. 7. 如图、椭圆22

221x y a b

+=（a >b >0）的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，恒有

2

22AB OB OA <+,求a 的取值范围.

8.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22

，过椭圆

右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，23=+CD AB . （1）求椭圆的方程；

（2）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

9.已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b

x a y C 与抛物线)0(2:2

2>=p py x C 有一个公共焦点，

抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一坐标是)2,2(-的交点. （1）求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；

（2）若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OF OE ?的取值范围.

五、存在性问题

1.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，直线c

a x 2

=（c 是椭圆的焦距长的一半）交x 轴于点

A ，椭圆的上顶点为

B ，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P （P 在第一象限），

交AB 于点D ，且满足+=2（O 为坐标原点）. （1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的半焦距为3，过点A 的直线交椭圆于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点C 使得?为常数？若存在，求出点C 的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由.

2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

1

，右顶点为A ，上顶点为B ，以坐标

原点O 为圆心、椭圆C 的短轴长为直径作圆O ，截直线AB 的弦长为)(7

7622

b a -. （）求椭圆C 的标准方程；

（）是否存在过椭圆C 的右焦点F 的直线l ，与椭圆C 相交于G ，H 两点，使得△AFG 与△AFH 的面积比为1:2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

六、动点轨迹方程问题

1.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b

y a x 的一个焦点为)0,5(，离心率为35

.

（）求椭圆C 的标准方程；

（）若动点),(00y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

2.已知圆M ：1)1(2

2=++y x ，圆N ：9)1(2

2

=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N

内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （）求C 的方程；

（）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .