2020年高考理科数学热点10 概率与统计-2020年高考数学(学生版)

热点10 概率与统计

【命题趋势】

统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注

【满分技巧】

1.抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

【考查题型】选择，解答题

【限时检测】（建议用时：55分钟）

1．（2019·陕西高考模拟（理）） 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3

35~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：

3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．

的是（ ）

A ．这10天中有3天空气质量为一级

B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低

C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55

D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日

2．（2019·广东高考模拟（理））广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年

度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）

由上表可得回归方程为??10.2y

x a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ）

A ．118.2万元

B ．111.2万元

C ．108.8万元

D ．101.2万元

3．（2019·河北唐山一中高考模拟（理））2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ）

A ．411

B ．712

C ．511

D ．1112

4．（2019·山东高考模拟（理））已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l ，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：（）

A ．15

B ．35

C ．310

D ．910

5．（2019·山东省淄博实验中学高考模拟（理））已知随机变量()2,1X N ~，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）

附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，

()220.9544P μσξμσ-<≤+=.

A ．0.1359

B ．0.7282

C ．0.8641

D ．0.93205

6．（2019·安徽高考模拟（理））某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( )

A ．12512

B ．3512

C ．274

D ．234

7．（2019·福建高考模拟（理））现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.

D X=，某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若()8 P X=(30)

(20)

<=，则p=（）

P X

A．0.16B．0.2C．0.8D．0.84

二、填空题

8．（2019·河北高考模拟（理））体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．9．（2019·河南高考模拟（理））《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率__________．

10．（2019·山东高考模拟（理））如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．

三、解答题

11．（2019·河北高考模拟（理））东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：

（视样本频率为概率）

（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望

（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

12．（2019·青海西宁四中高考模拟（理））经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：

其中：

8

2

1

221

1

??

?,,17232

n

i i

i

i

n

i

i

i

x y n x y

b a y bx x

x n x

=

=

=

-??

==-=

-?

∑

∑

∑

，

8

1

47384

i i

i

x y

=

=

∑

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+；（??,a

b 的值精确到0.01） （3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06~倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12~倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20~倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？

13．（2019·江西高考模拟（理））2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20～10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20～9：40记作区间[20,40)，9:40～10:00记作[40,60)，10:00～10:20记作[60,80)，10:20～10:40记作[80,100].比方：10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X 为9:20～10:00之间通过的车辆数，求X 的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布

2(,)N μσ，其中μ可用这600辆车在9:20～10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46～10:40之间通过的车辆数（结果

保留到整数）.参考数据：若2(,)T N a μ:，则()0.6826P T μσμσ-<≤+=，

()220.9544P T μσμσ-<≤+=，()330.9974P T μσμσ-<≤+=.

14．（2019·云南高考模拟（理））某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为

(0.70.9)p p ≤≤.

（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及()E X ； （2）将（1）中的()E X 取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.

①求一棵B 种树苗最终成活的概率；

②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利 不 低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？

15．（2019·全国高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试

验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4

p 的值解释这种试验方案的合理性．

以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”

首先要做到以下两点：

1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）

然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）

其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚

讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

做题之后加强反思。学生一定要明确，现在正坐着的题，一

定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

主动复习总结提高。进行章节总结是非常重要的。初中时是

教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

积累资料随时整理。要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

精挑慎选课外读物。初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，

另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

配合老师主动学习。高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

合理规划步步为营。高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间，注意事项

我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学

习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。