2020年高考理科数学热点10 概率与统计-2020年高考数学(教师版)

热点10 概率与统计

【命题趋势】

统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注 【满分技巧】

1 .抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用. 【考查题型】选择，解答题

【限时检测】（建议用时：55分钟）

1．（2019·陕西高考模拟（理）） 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3

35~75/g m

μ空气量为二级，超过3

75/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：

3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．

的是（ ）

A ．这10天中有3天空气质量为一级

B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低

C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55

D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日 【答案】C 【解析】 【分析】

认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果. 【详解】

这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确； 从图可知从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低，所以B 正确； 从图可知，这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日，所以D 正确； 由图可知，这10天中 2.5PM 日均值的中位数是4145

432

+=，所以C 不正确； 故选C. 【名师点睛】

该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.

2．（2019·广东高考模拟（理））广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个

年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）

由上表可得回归方程为??10.2y

x a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ） A ．118.2万元 B ．111.2万元

C ．108.8万元

D ．101.2万元

【答案】B 【解析】

分析：平均数公式可求出x 与y 的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出$a

，再将10x =代入回归方程得出结论. 详解：由表格中数据可得，4,50x y ==，

50410.2?a

∴=?+，解得$9.2a =， ∴回归方程为10.2.2?9y

x =+， ∴当10x =时，10.2109.21?11.2y

=?+=， 即预测广告费为10万元时销售额约为111.2，故选B. 【名师点睛】

：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心

(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化

趋势.

3．（2019·河北唐山一中高考模拟（理））2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）

A．

4

11

B．

7

12

C．

5

11

D．

11

12

【答案】C

【解析】

分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求．

详解：如图，时间轴点所示，概率为

555

12111 P==

故选C.

【名师点睛】：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题．

4．（2019·山东高考模拟（理））已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：（）

A．1

5

B．

3

5

C．

3

10

D．

9

10

【答案】C

【分析】

由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】

由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271、共3组随机数，

故所求概率为：

3

10

. 故答案为C.

【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．

5．（2019·山东省淄博实验中学高考模拟（理））已知随机变量()2,1X N ~，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）

附：若随机变量(

)2

,N ξμσ

~，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，

()220.9544P μσξμσ-<≤+=.

A ．0.1359

B ．0.7282

C ．0.8641

D ．0.93205

【答案】D

【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即可得到答案． 【详解】

由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：

()()1

(01)220.13592P X P X P X μσμσμσμσ≤≤=

-≤≤+--≤≤+=???

?， 故所求的概率为0.1359

10.932052

P =-=.故选D. 【名师点睛】

本题主要考查了几何概型中概率的计算，以及正态分布密度曲线的应用，其中解答中熟记 正态分布密度曲线的对称性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

6．（2019·安徽高考模拟（理））某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则()()D Y D X -的值为( )

A ．

125

12

B ．

3512

C ．

274

D ．

234

【答案】A 【解析】 【分析】

依题意可知A 同学正确数量满足二项分布112,

4B ??

???

，B 同学正确数量满足二项分布

112,3B ??

???

，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论. 【详解】

设A 学生答对题的个数为m ，则得分5x m =（分），112,4m B ??

~ ??

?，

()13912444D m =??=，所以()9225

2544

D X =?=，同理设B 学生答对题的个数为n ，

可知112,3n B ??~ ???,()12812333D n =??

=，所以()8200

2533

D Y =?=，所以()()200225125

3412

D Y D X -=

-=

.故选A. 【名师点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量X 分布列的方差为DX ，则aX b +分布列的方差为2a DX .

7．（2019·福建高考模拟（理））现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，

(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ）

A ．0.16

B ．0.2

C ．0.8

D ．0.84

【答案】C 【解析】 【分析】

由(20)(30)p X P X =<=求出

的范围，再由方差公式求出

值．

【详解】

∵(20)(30)p X P X =<=，∵202030303020

5050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即

1

2

p >

，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∵0.8p =，故选C ． 【名师点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题． 二、填空题

8．（2019·河北高考模拟（理））体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =_____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】

由题意可得：()()2

110.784p p p p p +-+-=，据此求解关于实数p 的方程确定实数p 的值即可. 【详解】

由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-=，

整理可得：32

330.7840p p p -+-=，即(

2

(0.4) 2.6 1.96)0p p p --+=,

该方程存在唯一的实数根0.4p =.

故答案为： 0.4 【名师点睛】

本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.

9．（2019·河南高考模拟（理））《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三根线组成（“

”表示一根阳线，“

”

表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率

__________．

【答案】

5 14

【解析】

【分析】

由图可得：三根都是阳线的有一卦，三根都是阴线的有一卦，两根阳线一根阴线的有三卦，

两根阴线一根阳线的有三卦，利用组合数可得基本事件总数2

8

C，分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个，问题得解.

【详解】

从八卦中任取两卦，共有2

828

C=种取法

若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算；当有一卦阳、阴线的根数为3、0时，另一卦阳、阴线的根数为0、3，共有1种取法.

当有一卦阳、阴线的根数为2、1时，另一卦阳、阴线的根数为1、2，共有339

?=种取法.

所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1910

+=种.

则从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为

105

2814 p==

【名师点睛】

本题主要考查了组合计数及分类思想，考查古典概型概率计算公式，属于中档题.

10．（2019·山东高考模拟（理））如图所示，在正方形OABC 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为______．

【答案】

2

2e 【解析】 【分析】

结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解． 【详解】

正方形的面积为e 2，

由e

1

?

lnxdx ＝（xlnx ﹣x ）e

1|=1， 由函数图像的对称性知黑色区域面积为2e

1

?

lnxdx=2 即S 阴影＝2，

故此点取自黑色部分的概率为

2

2

e ， 故答案为：

22e

【名师点睛】

本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的

面积．

三、解答题

11．（2019·河北高考模拟（理））东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：

（视样本频率为概率）

（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望

（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；

（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策.

【详解】

（1）根据题意可得

()111

30

Pξ==?=，

5525

()133

31251025P ξ==??=，

()12331

3225510104P ξ==??+?=，

()11327

332251010525P ξ==??+??=，

()31221134210105550

P ξ==

??+?=， ()212

35251025P ξ==??=，

()111361010100

P ξ==

?=， ξ的分布列如下：

()131711213031323334353632.825254255025100

E ξ=?

+?+?+?+?+?+?= （2）当购进32份时，利润为

()()2131

324314830416252525

??

+?-?+?-? 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为

()()()59131

3343248314163042410042525

??

+?-?+?-?+?-? 77.883012.96 3.84124.68=+++=，

125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.

【名师点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．（2019·青海西宁四中高考模拟（理））经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：

其中：

8

2

1

221

1

??

?,,17232

n

i i

i

i

n

i

i

i

x y n x y

b a y bx x

x n x

=

=

=

-??

==-=

-?

∑

∑

∑

，

8

1

47384

i i

i

x y

=

=

∑

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程?

??

y bx a

=+；（?

?,a b的值精确到0.01）

（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06

~倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12

~倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20

~倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？

【答案】(1)答案见解析；(2)0.918.5?80y

x =+；(3)中度高血压人群. 【解析】 【分析】

（1）根据表中数据即可得散点图；

（2）由题意求出x ，y ，

8

21

i

i x

=∑，

8

1

i i

i x y =∑，代入公式求值，从而得到回归直线方程；

（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群． 【详解】

（1）

（2）2832384248525862

458

x +++++++=

=，

114118122127129135140147

1298

y +++++++=

=．

∵8

182221473848451291180.9117232845129?8i i i i i x y nx y b x x ==-?-??===≈-?-?∑∑． 1290.914588.5??0a

y bx =-=-?=． ∵回归直线方程为0.918.5?80y

x =+． （3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为

()0.917088.05151.75mmHg ?+=，

∵

180

1.19151.75

≈．∵收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群．

【名师点睛】

本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：

∵依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；

∵计算21

1

,,,n n

i i i i i x y x x y ==∑∑的值；∵计算回归系数??,a b ；∵写出回归直线方程为???y bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利

用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

13．（2019·江西高考模拟（理））2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20～10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20～9：40记作区间[20,40)，9:40～10:00记作[40,60)，10:00～10:20记作[60,80)，10:20～10:40记作[80,100].比方：10点04分，记作时刻64.

（1）估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X 为9:20～10:00之间通过的车辆数，求X 的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ可用这600辆车在9:20～10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似

代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46～10:40之间通过的车辆数（结

果保留到整数）.参考数据：若2

(,)T N a μ:，则(

)0.6826P T μσμσ-<≤+=，

()220.9544P T μσμσ-<≤+=，()330.9974P T μσμσ-<≤+=.

【答案】（1）10点04分；（2）详见解析；（3）819辆. 【解析】 【分析】

（1）用每组中点值乘以频率，然后相加，得到平均值.（2）先用分层抽样的知识计算出10 量车中位于[

)20,60的车辆数，然后利用超几何分布的知识计算出分布列，并求得数学期望.（3）由（1）可知64μ=，计算出方差2σ和标准差σ，利用正态分布的对称性，计算出在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆的概率，乘以1000得到所求车辆数. 【详解】

解：（1）这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

()300.005500.015700.020900.0102064?+?+?+??=，即10点04分.

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[

)20,60这一区间内的车辆数，即

()0.0050.01520104+??=，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4.

所以()464101

014C P X C ===，()31644108121C C P X C ===，()22

644

10327C C P X C ===，()136********C C P X C ===，()04

644101

4210

C C P X C ===，

所以X 的分布列为

所以()0123414217352105

E X =?

+?+?+?+?=. （3）由（1）可得64μ=，

()()()()2222

230640.150640.370640.490640.2σ=-?+-?+-?+-? 324=，

所以18σ=.

估计在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是46100T <≤通过的车辆数， 由(

)2

,T N μσ

~，得(641864218)P T -<≤+?

()

()

222

2

P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+=

+

0.8185=，

所以，估计在9:46～10:40这一时间段内通过的车辆数为10000.8185819?≈（辆）. 【名师点睛】

本小题主要考查根据频率分布直方图估计平均数和方差，考查超几何分布概率计算以及数学期望的计算，考查正态分布计算，属于中档题.

14．（2019·云南高考模拟（理））某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为

(0.70.9)p p ≤≤.

（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及()E X ；

（2）将（1）中的()E X 取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处

理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活. ∵求一棵B 种树苗最终成活的概率；

∵若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利 不 低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？ 【答案】（1）详见解析；（2）∵0.96；∵700棵. 【解析】 【分析】

（1）依题意，得到X 的所有可能值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；

（2）由（1）可知当0.9p =时，()E X 取得最大值，∵利用概率的加法公式，即可求得一棵B 树苗最终成活的概率；∵记Y 为n 棵树苗的成活棵数，()M n 为n 棵树苗的利润，求得()()

286E M n n =，要使()()

200000E M n ≥，即可求解. 【详解】

（1）依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3. 则()()2

00.21P X p ==-；

()()()2

1210.810.21P X p C p p ==?-+???- ()()2

0.810.41p p p =-+-，

即()2

10.4 1.20.8P X p p ==-+，

()()21220.20.81P X p C p p ==+???- ()220.2 1.61 1.4 1.6p p p p p =+-=-+，

()230.8P X p ==； X 的分布列为：

所以()()()

222

10.4 1.20.82 1.4 1.630.8E X p p p p p =?-++?-++? 20.8p =+.

（2）当0.9p =时，()E X 取得最大值.

∵一棵B 树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96+??=. ∵记Y 为n 棵树苗的成活棵数，()M n 为n 棵树苗的利润，

则(),0.96Y B n ~，()0.96E Y n =，()()3005035050M n Y n Y Y n =--=-，

()()()35050286E M n E Y n n =-=，要使()()200000E M n ≥，则有699.3n ≥.

所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元. 【名师点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及期望的实际应用问题，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

15．（2019·全国高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i

时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11

i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，

0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列；

(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257

p =. 【解析】 【分析】

（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得

()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=???，从而

整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合

8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .

【详解】

（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1

()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-

则X 的分布列如下：