解析几何的解题思路方法与策略

解析几何的解题思路方法与策略 解析几何的解题思路、方法与策略 高三数学复习的目的, 一方面就是回顾已学过的数学知识, 进一步巩固基础知识, 另一方面, 随着学生学习能力的不断提高, 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复, 而就是有对所学知识进一步理解的需求, 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等, 所以高三数学复习既要“温故” , 更要“知新” , 既能引起学生的兴趣, 启发学生的思维, 又能促使学生不断提出问题, 有新的发现与创造, 进而培养学生问题研究的能力. 以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略就是高中平面解析几何的核心内容, 也就是高考考查的重点.每年的高考卷中,一般有两道选择或填空题以及一道解答题, 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用, 而解答题注重对数学思想方法与数学能力的考查,重视对圆锥曲线定义的应用, 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查. 解析几何在高考数学中占有十分重要的地位,就是高考的重点、热点与难点.通过以圆锥曲线为主要载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强.基于解析几何在高考中重要地位,这一板块知识一直以来都就是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” .所以研究解析几何的解题思路,方法与策略,重视一题多解,一题多变,多题一解这样三位一体的拓展型变式教学,就是老师与同学们在高三复习一起攻坚的主题之一.本文尝试以笔者在实际高三复习教学中,在教辅教参与各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路与方法策略. 一、一道直线方程与面积最值问题的求解与变式 例1 已知直线l过点(2,1)M ,若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,O为坐标原点、 (1)设AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程; (2)求OAOB最小值;

(3)求MMAB最小值. 解:方法一:∵直线l交x轴负半轴,y轴正半轴,设直线l的方程为(2)1(0)ykxk,∴）（0,12kkA )12,0(kB,

(1)∴422122)12(2kkkkS, ∴当1)22k（时,即412k ,即 21k时取等号,∴此时直线l的方程为221xy、 解析几何的解题思路方法与策略 (2)3223211221kkkkOBOA,当且仅当22k时取等号; (3)4212)1)(11(24411222222kkkkkkMBMA, 当且仅当1k时取等号; 方法二:设直线截距式为)0,0(1babyax,∵过点(2,1)M,∴112ba

(1)∵abba22121, ∴822abab,∴42121abbaSAOB; (2)322)2(3))(12(baabbabababaOBOA; (3)5)12)(2(52)1()2(2babababaMBMAMBMA 422abb

a.

(3)方法三: sin1MA,cos2MB, ∴42sin4cossin2MBMA,当且仅当12sin时最小,∴4. 变式1:原题条件不变,(1)求△AOB的重心轨迹;(2)求△AOB的周长l最小值. 解:(1)设重心坐标为(,)xy,且(,0)Aa,(0,)Bb,则3ax,3by,

又∵112ba ,∴13132yx,

∴2332312332)23(3123xxxxxy,该重心的轨迹为双曲线一部分; (2)令直线AB倾斜角为,则20,又(2,1)M,过M分别作x轴与y轴的垂线,垂足为,EF, 则sin1MA, cos2MB,tan1AE,tan2BF ∴)20(tan2tan1cos2sin13l

2sin2cos)2cos2(sin22cos2sin22cos23cos)sin1(2sincos132222 解析几何的解题思路方法与策略 )420(12cot)2cot1(22cot3,

令12cott, 则t>0, ∴周长10)2(213tttl ∴32cot212cot。 变式2:求ABOBOA的最小值.(留给读者参照变式1,自行解决) 点评:由于三角函数具有有界性,均值不等式有放大与缩小的功能,在解析几何中遇上求最值的问题,可构建三角函数与均值不等式,合理地放大缩小,利用有界性,求得最值. 圆锥曲线的最值问题, 解法一般分为两种: 一就是几何法, 特别就是用圆锥曲线的定义与平面几何的有关结论来处理非常巧妙; 二就是代数法, 将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题, 然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值; 二、涉及到抛物线的相关题目与证明 例2 证明抛物线的焦点弦定值、

设直线AB:2pxty,与抛物线22ypx交于,AB两点,则有如下一些结论:

①221pyy,2124pxx;②12ABxxp22sinp; ③112AFBFp; ④234OAOBp. 证明:方法一:设),(),(2211yxByxA、 由222ptyxpxy,得0222pptyy,044222ptp、 ① 221pyy,则44422224221222121ppppyypypyxx、 ② 作lAA1,lBB1,,假设11AABB,211pxAAAF,221pxBBBF, 设1BAA, ∴pxxBFAFAB21, ∵221212pyyptyy,

∴pptpppyyyypppyyAB)24(21]2)[(212222212212221 解析几何的解题思路方法与策略 222

sin2)1sincos(2p

p、

方法二:2111sin1sin1sinyyBABEAB 222212122

112()444sinsinsinpyyyyptp;

③ ppxxpxxpxxpxpxBFAF24)(2212111221212121;

④ 2221212344pOAOBxxyypp、 例3 已知A,B为抛物线2:2Cypx(0)p上两点,且满足OAOB,O为坐标原点, 求证:(1)A,B两点横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; (2)直线AB经过一定点.

解:(1)设11(,)Axy,22(,)Bxy,易得2112ypx,2222ypx,又OAOB,则12120xxyy,

∴22221212124()yypxxxx,∴ 2124xxp, 2124yyp; (2) 方法一:由对称性,可知直线AB过定点一定在x轴上,取特值,得定点为(2,0)p; 设直线AB的方程为(2)ykxp(0)k,

化简整理把x代入抛物线2:2Cypx的方程,可得2202kyypkp,

那么212242pkyypkp,2124xxp, ∴ 12120xxyy,则OAOB满足题意,表明直线AB过定点(2,0)p、 方法二:易得直线AB的斜率212122212112222yyyypkyyxxyypp,

∴直线AB的方程为11122()pyyxxyy,整理得2111212222yppyxyyyyyp, 解析几何的解题思路方法与策略 即1212122yypyxyyyy,又∵ 2124yyp,∴ 直线AB的方程为122(2)pyxpyy, 即得直线AB过定点(2,0)p、 方法三:设11(,)Axy,22(,)Bxy,设直线AB方程为xtym, 将其代入抛物线2:2Cypx的方程,得方程2220yptypm, 只需22480ptpm,∴21224yypmp,解得2mp, ∴ 直线AB的方程为2xtyp,即得直线AB过定点(2,0)p、

方法四:设直线OA的方程为ykx,由22ykxypx,得交点为(0,0)O与222(,)ppAkk, 又∵ OB的方程为1yxk,同理可得2(2,2)Bpkpk, ①当1k时,21ABkkk,∴ 直线AB方程为222(2)1kypkxpkk, 即2222(2)111kxpkkyxpkkk,即得直线AB过定点(2,0)p; ②当1k,得(2,2)App,(2,2)Bpp,∴AB的方程为2xp, 综上,由①②直线AB过定点(2,0)p、 点评:方法一就是用特殊位置找结论,再证明,方法二、三、四就是处理垂直关系的通法. 类似地,过椭圆,双曲线的一个顶点Q作QAQB,分别交椭圆,双曲线于,AB,则直线AB也 经过一定点.

变式 如图,椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb,已知圆2C将椭圆1C的长轴三等分,且圆2C的面积为.椭圆1C的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆2C相交于点A、B,直线EA、EB与椭圆1C的另一个交点分别就是P、M. (1)求椭圆1C的方程;

(2)(i)设PM的斜率为t,直线l斜率为lk,求lkt的值;(ii)求△EPM面积最大时直线l的方程. 解:(1)依题意:1b,则3ab,∴椭圆方程为2219xy; (2)(i)由题意知直线PE,ME的斜率存在且不为0,PE⊥ME.