专题二：等差等比数列对比性质表

一．等差数列和等比数列的性质对照表

7

二、数列的通项公式

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。总结出几种求解数列通项公式的方法。

1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}

n a 的通项公式.

2.公式法：已知n S 求n a ，用作差法：{

11

,(1)

,(2)n n n S n a S S n -==-≥。（合并的一定要合并，不能合并的

分开写）。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

3.作商法：已知)(21n f a a a n = 求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =??=?≥?-?。

例3.数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；

4.累加法：

若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例4. 已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。

如已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--111(2)n ≥，则n a =________ ；

5.累乘法：已知

1

()n n

a f n a +=求n a ，用累乘法： 例5. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=

+，求n a 。

如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2

=，求n a

6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如1n n a ka b -=+、n

n n q qa a +=+1（,k b 为常数）等的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

②n n n q qa a +=+1解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q

q a q a n n n n

1

11+=++构造等差数列求解。。

例6.（2008年全国卷，19）；在数列{a n }中，a 1=1, a n+1=2a n +2n .

（Ⅰ）设1

2n

n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

（2）形如1

1n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7：n n n n a a a a a 求,1,1

3111

=+?=

--, 三、数列求和

（一）主要知识：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 2．公式法： )1(211

+==

∑=n n k S n

k n

222221

(1)(21)

1236

n

k n n n k n =++=++++=

∑

2

33333

1

(1)1232n

k n n k n =+??=++++=????∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；

1111

()(2)22

n n n n =-++

)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=?

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. 典型例题讲解：

一、用定义证明等差或等比数列

例1（2012陕西卷）设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列.

（Ⅰ）求数列{}n a 的公比； （Ⅱ）证明：对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列.

二、用构造法求数列通项

例二、（2012全国大纲20）设数列{}n a 满足10a =且

111

111n n

a a +-=--. （1）求{}n a 的通项公式； (2)

设1

,1n

n n k n k b b S ===<∑记S 证明：.

三、用n n a s 和求通项或前n 项和

例三、（2011湖北卷）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：a a =1(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *

，

,1)r R r ∈≠-.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若存在*N k ∈，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的*

N m ∈，且2m ≥，

1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.

四、与等差数列最值有关的问题

例四、（2008年17）已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．

五、与数列前n 项和有关的问题

例五、（1）（2011全国课标理17）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (I)求数列{}n a 的通项公式.

(II)设 31323log log log ,n n b a a a =++???+求数列1n b ??

?

???

的前项和. （2）（2011辽宁理17） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）求数列??

??

??-12n n a 的前n 项和．

（练熟错位相减法） 六、其它

例六、（2012年广东卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足

2*2n n T S n n N =-∈，．

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式

大同市口泉中学理科数学专题复习二 数列

新课标历年数列高考试题

（2008年4）．设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则2

4

a S =（ ） A ．2

B ．4

C ．

2

15 D ．

2

17 （2008年17）（本小题满分12分）

已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．

（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．

（2009、16）.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m －1+a m+1－a m 2＝0,S 2m －1＝38,则m ＝________________

(2010年17)(本小题满分l2分)设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-= （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

（2011年17）（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

????

的前n 项和.

（2012年5）已知{}

n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）

()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7

（2012年16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为

（2012江西理科）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( )

A. 1

B. 9

C. 10

D. 55 (2012年福建卷理）数列}{n a 的通项公式12

cos +=π

n n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。

大同市口泉中学理科数学专题复习二 数列