数学基础知识的教学

第七章数学基础知识的教学

§7．1 数学概念及其教学

7．1．1 数学概念

1、数学概念的意义

客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性．人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性．反映事物本质属性的思维形式叫做概念．

数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系．反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念．数学概念通常用特有的名称或符号来表示．名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴．概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式．有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五”、“five”都表示同一个数.又如，等边三角形和正三角形表达同一个数学概念.因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念本身．有时同一个名称在不同的情况下会表达不同的概念，如“角”.

必须注意“属性”与“本质属性”的不同．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻画了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不再是本质属性．

2、概念的外延与内涵

概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．

一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2”．一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．把这个概念的每一个本质属性都称为这个概念的内涵的一个表现形式，那么这些本质属性之间是相互等价的，它们的全体构成一个等价类．因此，一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元(如正方形的定义)．我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元．

一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻画了这个概念，每个概念

都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵．

概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形．其外延在小学阶段为0o 到180o 的角，到初中发展为0o 到360o 的角．后来发展成，角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形．其外延，在平面几何中为0o 到360o 的角，在三角中发展为任意角．在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，并且如前面已经说过的，概念的外延和内涵二者是相互确定的．当用集合(){}x x A Φ=表示一个概念的外延时，()x Φ就给出了这个概念的内涵．

3、概念间的关系

为了弄清数学概念，必须对互相联系着的概念进行比较，即比较它们的外延与内涵，研究相互间的关系．这里介绍中学数学中常见的一些关系，从比较概念的外延入手，并结合分析内涵之间的关系．

（1）相容关系 如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系．相容关系可分为以下三种情况：

i ）同一关系 如果两个概念的外延完全相同，则称这两个概念间的

关系为同一关系，这两个概念称为同一概念．同一关系可

用图7-1表示．

之所以提出同一关系，是因为虽然概念的外延完全确定了概念的内涵，但内涵的表现形式可以不同．研究同一关系可以对概念的本质属性有更深刻、更全面的认识，在推理证明中，这些等价的本质属性互相代换，可使问题易于解决．

例1 下列各组概念是同一概念：

（i ）偶素数；最小的正偶数．

（ii ）有理数；形如q / p （p 、q 是整数，p ≠0）的

数．

（iii ）等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线．

ii ）从属关系

如果一个概念A 的外延真包含于另一个概念B 的外延，

A （

B ）

图7-1 图7-2

那么称这两个概念之间的关系为从属关系．外延较小的概念A 叫做种概念，外延较大的概念B 叫做属概念．如图7-2所示．

例2 下列各组概念间具有从属关系，前者是种概念，后者是属概念： （i ）有理数；实数．

（ii ）一元二次方程；整式方程．

（iii ）矩形；平行四边形．

种概念和属概念是相对而言的．例如，“平行四边形”这一概念，相对于“矩形”概念来说是属概念，而相对于“四边形”概念来说却是种概念．

从内涵方面看，显然种概念具有属概念的一切属性，而两者的本质属性又不相同，所以属概念的本质属性都是种概念的属性，种概念的内涵真包含属概念的内涵．即是说，具有从属关系的概念之间，就包含的意义上讲，外延愈小，内涵愈多；外延愈大，内涵愈少．反之，内涵愈多，外延愈小；内涵愈少，外延愈大．这称为外延与内涵的反变关系．例如：

需要指出的是，如果在给定的一个概念的基础上，增多内涵或缩小外延，就得到原概念的一个种概念；减少内涵或扩大外延，就得到原概念的一个属概念．

在数学中，为了对某一个概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊概念，往往采取逐步增加概念的内涵，使概念的外延缩小的方法，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定．例如，在平行四边形的内涵中增加“有一个角为直角”这一性质，就成为矩形的内涵了；同时，就从平行四边形的外延缩小到了矩形的外延．

从二次根式到n 次根式，从（平面）四边形到空间四边形，都是概念的概括．

iii ）交叉关系

四边形 的外延 平行四边形 的 外 延 矩 形 的外延 正方形 的外延 四边形 的内涵 平行四边形 的 内 涵 矩 形 的内涵 正方形 的内涵 ⊃ ⊃我

⊃ ⊂

⊂ ⊂