数列全部题型归纳(非常全面-经典!)

数列百通

通项公式求法 (一)转化为等差与等比

1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =

,n N *∈２≤n ≤８）

，则它的通项公式n a 什么

2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么

3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么

4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n

a a +=-，*N n ∈. 求证：11n a ???

?-??

是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；

5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式

（二）含有n S 的递推处理方法

1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.

2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2

(2)8

n n a S +=则，数列n a

3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4

n n n n a S S a a -=-≠=

则，数列n a

4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++

求数列n a

（三） 累加与累乘

（1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a

（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式

(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.

（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2

n n S n a a ==则，数列n a

（四）一次函数的递推形式

1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==

+(2)n ≥，数列n a

2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==

+ (2)n ≥，数列n a

（五）分类讨论

（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a

（2）

122

2,(3)1,3n n a n a a a -=≥==，求数列n a

（六）求周期

16 （1） 121,41n n n

a a a a ++=

=-，求数列2004a

（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a

拓展1：有关等和与等积

（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式

（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式

(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*

11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列{a n }的通项公式.

拓展2 综合实例分析

1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠

（1）求此数列{a n }的通项公式

(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围

2已知整数列{a n }满足31223341 (3)

n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a

3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式n a 是什么

4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134

n n n a a a +=

+，则它的通项公式n a 是什么

5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设n

n n b a c =

，求数列{}n c 的通项公式。

6

设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且当n N ∈时，总有1312n n S S +=+，求n a 及n S ．

7 数列{}n a 满足()11n n p S a -=-，其中p 为正实数，12n S a a =++…()*n a n N +∈

(1)证明：{}n a 为等比数列，并求出它的通项；

(2)数列{}n b 中，11b =，1n n n b b a +=+，求{}n b 的通项公式

数列求最值的方法

（一）化为函数方法

转化为耐克函数

（1）如果数列{}n a 的通项公式是n a =24n n n

++，此数列的哪一项最小？并求其最小值

（2）如果数列{}n a 的通项公式是n a =2156n n +，此数列的哪一项最大？并求其最大值

转化为分式函数

（3）如果数列{}

n a 的通项公式是n a ，此数列的哪一项最大？并求其最大值

转化为二次函数

（4）如果数列{}n a 的通项公式是n a =22n kn ++是单调递增数列，求k 的取值范围。 如果该数列在第四项最小，求k 的取值范围