复数讲义(绝对经典)

复数

一、复数的概念

1．虚数单位i:

（1）它的平方等于，即；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．

（3）i与－1的关系:

i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．

（4）i的周期性：

，，，．

2．数系的扩充：复数

3．复数的定义：

形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示

4．复数的代数形式:

通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．

5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：

对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数

6．复数集与其它数集之间的关系：

7．两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，

二、复数的几何意义

1．复平面、实轴、虚轴：

复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．

2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

3．

这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．

三、复数的四则运算

1．复数与的和的定义：

2．复数与的差的定义：

3．复数的加法运算满足交换律:

4．复数的加法运算满足结合律:

5．乘法运算规则：

设，(、、、)是任意两个复数，

那么它们的积

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．

6．乘法运算律：

（1）

（2）

（3）

7．复数除法定义：

满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者

8．除法运算规则：

设复数(、)，除以(，)，其商为（、)，

即∵

∴

由复数相等定义可知解这个方程组，得

于是有:

②利用于是将的分母有理化得：

原式

．

∴(

点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．

9．共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

例题精讲

1．复数的概念

【例1】已知为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（）

A．2，5 B．-3，1 C．-1．1 D．2，

【答案】D

【例2】计算：（表示虚数单位）

【答案】

【解析】∵，而（），故

【例3】设，，则下列命题中一定正确的是（）

A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限

C．不是纯虚数D．是虚数

【答案】D

【解析】．

【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（）

①两个复数不能比较大小；

②若是纯虚数，则实数；

③是虚数的一个充要条件是；

④若是两个相等的实数，则是纯虚数；

⑤的一个充要条件是．

⑥的充要条件是．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；时，，②错；为实数时，也有，③错；时，，④错；⑤⑥正确．

2．复数的几何意义

【例5】复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【解析】由已知在复平面对应点如果在第一象限，则，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．

【例6】若，复数在复平面内所对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】结合正、余弦函数的图象知，当时，．

【例7】如果复数满足，那么的最小值是（）

A．1 B．C．2 D．

【答案】A

【解析】设复数在复平面的对应点为，因为，

所以点的集合是轴上以、为端点的线段．

表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离，其距离为．

【例8】满足及的复数的集合是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离相等，故轨迹为直线），故选D．

【例9】已知复数的模为，则的最大值为_______．

【答案】

【解析】，

，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．

如图，由平面几何知识，易知的最大值为．

【例10】复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

【答案】A

【解析】A；设，则有，，

化简得：，故为圆．

【点评】①的几何意义为点到点的距离；

②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．

【例11】复数，满足，，证明：．

【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．也可设，则由向量与向量垂直知，

，故．

【例12】已知复数，满足，，且，求与的值．

【答案】；4．

【解析】设复数，在复平面上对应的点为，，由于，

故，

故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．

【例13】已知，，，求．

【解析】设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，记所对应的顶点为，由知，（可由余弦定理得到），故，

从而．

【例14】已知复数满足，求的最大值与最小值．

【答案】，

【解析】设，则满足方程．

，

又，故当时，；当时，有．

3．复数的四则运算