2019届中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(三).docx

2019 届中考数学 压轴题函数直角三角形问题精选解析（三）

例 5

如图 1，直线 y

4

x 4 和 x 轴、 y 轴的交点分别为 B 、C ，点 A 的坐标是（ -2 ， 0）．

3

（ 1）试说明△ ABC 是等腰三角形；

（ 2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动， 运动的速度均为每秒

1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设

M

运动 t 秒时，△ MON 的面积为 S ．

① 求 S 与 t 的函数关系式；

② 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S ＝ 4 的情形？若存在，求出对应的

t 值；若

不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△

MON 为直角三角形时，求 t 的值．

图 1

解析

（ 1）直线 y

4 4 与 x 轴的交点为 B （ 3，0）、与 y 轴的交点 C （ 0，4）． Rt △ BOC

x

3

中， OB ＝ 3， OC ＝ 4，所以 BC ＝ 5．点 A 的坐标是（ -2 ， 0 ），所以 BA ＝ 5．因此 BC ＝BA ，所 以△ 是等腰三角形．

ABC

（ 2）①如图 2，图 3，过点 N 作 NH ⊥ AB ，垂足为 H ．在 Rt △ BNH 中，BN ＝ t ，sin

B

4

，

4

t ． 5

所以 NH

5

如图 2，当 在

上时，

＝ 2－

，此时

M

AO

OM

t

S 1 OM NH

1

(2 t)

4 t

2 t 2 4

t ．定义域为 0＜ t ≤ 2．

2 2

5

5 5

如图 3，当 M 在 OB 上时， OM ＝ t －2，此时

S 1 OM NH

1 2)

4 2

2

4 t ．定义域为

2 ＜ t ≤ ．

2

(t

t

5t

5 5

2

5

图 2 图 3

②把 S ＝ 4 代入 S

2 t 2 4 t ，得 2 t 2 4 t 4 ．解得 t 1 2 11 ， t 2 2 11（舍

5 5 5 5

去负值）．因此，当点

在线段

上运动时，存在

＝ 4 的情形，此时

t 2

11

．

M

OB

S

③如图 4，当∠ OMN ＝ 90°时，在 Rt △BNM 中， BN ＝t ，

BM

5 t ， cos B

3 ，所以

5

5 t 3 25 ．

t

．解得 t

8

5

如图 5，当∠ OMN ＝ 90°时， N 与 C 重合， t 5 ．不存在∠ ONM ＝90°的可能．

25 或者 t

5 时，△ MON 为直角三角形．

所以， 当 t

8

图 4

图 5

考点伸展

在本题情景下，如果△

MON 的边与 AC 平行，求 t 的值．

如图 6，当 ON // AC 时， t ＝ 3；如图 7，当 MN // AC 时， t ＝ 2.5 ．

图 6

图 7

例 6

已知 Rt △ ABC 中， ACB 90 ， CA CB ，有一个圆心角为 45 ，半径的长等于 CA 的

扇形 CEF 绕点 旋转，且直线 ， 分别与直线 AB 交于点 ， ．

C CE CF M N

（ 1）当扇形 CEF 绕点 C 在 ACB 的内部旋转时，如图

1，求证： MN 2 AM 2 BN 2 ；

思路点拨：考虑 MN 2

AM 2

BN 2 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解

决．可将△ ACM 沿直线 CE 对折， 得△ DCM ，连 DN ，只需证 DN BN ， MDN 90 就

可以了．请你完成证明过程．

（ 2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图 2 的位置时，关系式

MN 2

AM 2

BN 2 是否仍然成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图 1图2解析

（ 1）如图 3，将△ ACM 沿直线 CE 对折，得△ DCM ，连 DN ，则△ DCM ≌△此 CD CA ，DM AM ，DCM ACM ，CDM A．

又由CA CB，得CD CB ．由 D C N E C F D C M 45 BCN ACB ECF ACM9045ACM 45ACM ，得DCN 又 CN CN ，所以△ CDN ≌△ CBN ．因此 DN BN ，CDN B ．

所以MDN CDM CDN A B 90 ．ACM ．因

D C M，

BCN ．

在 Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2DM2DN 2 ．即MN2AM2BN 2．

图3图 4

（ 2）关系式MN 2AM2BN 2仍然成立．

如图所以又由4，将△ ACM 沿直线 CE 对折，得△DCM ，连 DN ，则△

CD CA ， DM AM ，DCM ACM ，CDM

CA CB ，得CD CB ．由DCN DCM ECF

DCM ≌△

CAM ．

DCM

ACM

45

．

，

BCN ACB ACN90( ECF ACM )45ACM，得DCN BCN．又CN CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN BN，CDN B 45．

又由于

CDM CAM180CAB135，

所以MDN CDM CDN1354590．

在 Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2DM2DN2 ．即MN2AM2BN 2．