人教版数学高二-备课资料数形结合思想解不等式

数形结合思想解不等式

数形结合是一种重要的数学思想方法，在解不等式时如能恰当运用，则可起到事半功倍的作用。下面结合实例给以例析。

一、构造函数，结合图象求解不等式

例1求使不等式1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围为 。

解：设)(log )(2x x f -=，1)(+=x x g 因为 函数)(log )(2x x f -=的图象与

函数x y a log =图象关于y 轴对称。 1)(+=x x g 的图象是一条过点（0，1）的直线，

由图可知得：01<<-x

点评：数形结合避免了解对数不等式复杂运算，画图时要注意一些关键点不要错． 例2解关于x 的不等式:()2|1|0x ax a -<> 解: 在同一坐标系内作()2|1|0y x y ax a =-=>和的图

象

如右图2所示,

2|1|

,y x y ax ⎧=-⎨=⎩由求出交点的横坐标,

221244

a a a a x x -++++==由图象可知,当函数()0y ax a =>的图象位于2|1|y x =-的图象上方时,对应的x 的取值范围即为原不等式的解.

故不等式()2|1|0x ax a -<>的解集为2244a a a a x x ⎧-++++⎪<⎨⎪⎪⎩⎭

.

点评: 数形结合是解决不等式问题直观，高效的方法。有时效果非常明显。

二、数轴标根快速求解不等式

例3 解不等式 ()()()()0323342232<+-+-+-x x x x x x

解 ∵ 2x －x ＋3＞０ 图

2

x y

O

1

—1

图3 ∴ 原不等式可化为 ()()2

22-+x x （x －1）（x +3）＜０ 等价于 ()()()⎩

⎨⎧≠-<+-+020312x x x x 由图3可知原不等式解集为{x ∣x <－３，－2＜x ＜1} 点评：不等式中有恒正或恒负的二次因式（或高次因式）要先去掉后，再划为标准形式，若有重因式，则奇次方的一次因式只得保留它的一次幂，偶次方的一次因式应去掉，同时增加该一次因式不等于零的不等式，变为一个与原不等式同解的不等式组． 例4解不等式x x x x x <-+--2232

22

解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()

12)(2(>+-++-x x x x x

∴012>++x x 恒成立

∵原不等式等价于0)1)(3)(2(>+--x x x

令0)1)(3)(2(=+--x x x 解得

x 1=2 x 2=3 x 3=-1

将x 1，x 2，x 3按大小顺序标在数轴上，如图4：

观察图象可知：

原不等式的解集为：{}320|><

图4