清华大学微积分A习题课_9广义积分的敛散性

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x→
π
π
2

π 1 dx 1 2 ∽ ,当 时, 收敛。 q < 1 π q p q p ∫ sin x cos q x sin x cos x π 4 − x 2
故当 p < 1 , q < 1 时,

π 2 0
dx 收敛。 sin x cos q x
p
(6)
1 ln(1 + x ) +∞ ln(1 + x ) ln(1 + x) dx dx + = p p ∫0 x ∫0 x ∫1 x p dx 1 ln(1 + x ) ln(1 + x) 1 ∽ p −1 ,当 p < 2 时, ∫ x →0, dx 收敛; p 0 x xp x +∞ ln(1 + x ) ln(1 + x) ln x ∽ p ,当 p > 1 时, ∫ x → +∞, dx 收敛。 p 1 xp x x +∞ ln(1 + x ) 故当 1 < p < 2 时 ∫ dx 收敛。 0 xp +∞


0
1 1 ln1 + x − 1 + x dx 收敛。
π dx dx dx 4 =∫ + ∫π2 p p q p q 0 sin x cos x sin x cos x 4 sin x cos q x
(5)

π 2 0
π
dx 1 1 ∽ p ,当 p < 1 时, ∫ 4 收敛; x →0, p p q 0 sin x cos q x sin x cos x x
0
1 sin t
2
dt = ∫ 2
0
π
1 sin x
dx ,收敛.
(3)
+ ∞ arctan x 1 arctan x arctan x dx + ∫ dx = ∫ dx p p 0 1 0 x xp x arctan x 1 与 p −1 等价( x → 0 ) , 对第一个积分, p x x

+∞
(7)

1
0
1 ln x ln x ln x 2 dx dx dx = + 1 ∫ ∫ 2 2 0 x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
1
x → 1− ,
1 1 ln x ln x ln x 1 dx 发散,故 ∫ dx 发散。 ~− , ∫1 2 2 0 1− x x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
t → 0+ ,
sin t t
( p +1) / 2
~
1 t
( p −1) / 2
,故
1 sin t p −1 < 1 时 ∫ ( p +1) / 2 dt 收敛; 0 2t 2
+∞ p +1 sin t > 1 时, ∫ dt 绝对收敛, 1 2 2t ( p +1) / 2 +∞ p +1 sin t dt 条件收敛。 0< ≤ 1 时, ∫ 1 2t ( p +1) / 2 2
+∞
2. 若 f ( x) 在 [a,+∞) 上非负且一致连续, ∫a
(5)
π 2 0
dx sin x cos q x
p
(6)
+∞
0
ln(1 + x) dx xp
(7)

1
0
ln x dx x (1 − x) 2
(8)

+∞
0
sin x 2 dx xp
(9)

+∞
0
(−1)[ x ] dx
2
解: (1)由 lim
ln x x
x → +∞ 3
= 0 ,存在 X > 0 ,使得当 x > X > 0 时, ln x < 3 x ,
1 1 1 1 dx 收敛; x → 0+ , ln1 + ∽ − ln x , ∫ ln1 + − 0 x 1+ x x +∞ 1 1 1 1 1 ∽ 2 , + ∫ ln1 + − dx 收敛。 x → +∞, ln1 + − 1 x 1+ x x 1 + x 2x +∞
7 > 1 ,直接比较法,收敛. 6
x ln x x +1
5
<
x3 x x +1
5
,p=
(2)

π
0
1 sin x
dx = ∫ 2
0
π
1 sin x
dx + ∫π
π
1 sin x
dx ,
2
第一个积分显然收敛,对第二个积分令 x − π = t , dx = dt ,

π π
2
1 sin x
dx = − ∫π
作者:闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
第十四周习题课 广义积分 1. 判断下列广义积分的敛散性. (1)

+∞
x ln x x +1
5
1
dx
(2)
∫ ∫
π
0
1 sin x
dx
(3)
∫ ∫
+∞ 0
arctan x dx xp
(4)

+∞
0
1 1 ln1 + x − 1 + x dx
p − 1 < 1, ⇒ p < 2 收敛.
对第二个积分,
arctan x 1 与 q 进行比阶, p x x
0 arctan x lim = π x → +∞ x p −q 2
p>q p=q
因此,当 p ≥ q > 1 时第二个积分收敛。 综合上述分析, 1 < p < 2 时积分收敛。
总之, − 1 < p ≤ 1 时,

+∞
0
2 + ∞ sin x sin x 2 dx 条件收敛; 1 < p < 3 时, ∫ dx 绝对收敛。 0 xp xp
(9) 令 x = t ,
2

+∞
0
(−1)[ x ] dx = ∫
2
+∞
0
(−1)[t ] dt ,Dirichlet 判别法,条件收敛。 2 t
Page 2
of 8
作者:闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
(8) x = t ,
2

+∞
0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
+∞ +∞ 1 sin t sin x 2 sin t sin t = = + dx dt dt dt , p ( p +1) / 2 ( p +1) / 2 ∫ ∫ ∫ 0 0 1 x 2t 2t 2t ( p+1) / 2
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作者:闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
(4)

+∞
0
1 +∞ 1 1 1 1 1 1 ln1 + x − 1 + x dx = ∫0 ln1 + x − 1 + x dx + ∫1 ln1 + x − 1 + x dx
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