清华大学微积分A习题课_9广义积分的敛散性
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
(整理)9广义积分习题课.
第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。
2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。
3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。
对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。
2、Cauchy 法。
3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。
4、临界情况的定义法。
5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。
注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。
注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。
2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。
3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。
注意判别法使用的顺序。
例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。
分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。
解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。
q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。
q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。
(整理)清华大学微积分A笔记(上)
多元函数、多元向量值函数f(X) F(X)多元函数的切平面、全微分、偏导有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(||X-X0||)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面df=A d X=a1dx1+a2dx2+…+a n dx n是f的全微分b k=∂(f)/∂(x k)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分可以证明若A存在，a k=b k=∂f/ ∂x kNabla算子∇=(∂/∂x1,…, ∂/∂x n)∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇ (f○g) = g∇f+f∇g若有单位向量e=(cosθ1, cosθ2,…, cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，A.e=∂f/∂l 其中l与e平行若f在X0可微：X0处f各一阶偏导存在X0处f有梯度X0处f连续X0处f的各方向导数均存在若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微A=∇ f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A 是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导F(X)=(f1(X),f2(X),…,f m(X))，若所有f i在X0处可微，则称F在X0处可微，即F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||)，其中A=(a ij)m*n=∂F/ ∂X=∂(f1,f2,…,f m)/ ∂(x1,x2,…,x n)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian(F的Jacobian的第i行是F的F i分量的梯度，a ij := ∂F i / ∂x j)F的全微分d F=Ad X当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)Div(F) = ∇.F=∂f1/∂x1 +…+∂f m/ ∂x mCurl(F) = ∇×F复合函数求导一阶偏导：若G=G(X)在X0可微，F=F(U) (U=G(X))在G(X0)可微，则F○G在X0处可微，J(F○G) = J(F(U)) J(G(X))具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,…,u m)，其中U=G(X)即u i=g(x1,…,x n)∂f/∂x j= ∂f/∂U* ∂U/∂x j= Sum[∂f/∂u i * ∂u i/∂x j] {for each u i in U}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(U):=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))∂2f/(∂x1)2 = 数学分析教程P151隐函数、隐向量值函数由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数隐函数：1.存在定理：若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续，且∂(F)/∂(y)(X0,y0)<>0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果∂(F)/∂(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数2.偏导公式：在B内的处，或者说不正式的证明：F(X,y)≡0, 所以∂F/∂x i=0,即Sum[∂F/∂x j* ∂x j/∂x i]=0 (把y记做x n+1)由于X的各分量都是自变量，∂x j/∂x i=0 (i<>j)所以∂F/ ∂x i + ∂F/∂y * ∂y/ ∂x i=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若X∈R n,Y∈R m，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函数，F(P0)=0，且∂F/∂Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意X，存在唯一Y∈B(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)2.偏导公式：J(f) := ∂(y1,…,y m)/ ∂(x1,…,x n) := ∂Y/∂X= -[∂F/∂Y]-1 * ∂F/∂X注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.如果只求J(f)中的一列，∂(Y)/∂(x i)= -[∂(F)/∂(Y)]-1 * [∂(F)/∂(x i)]3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算∂F/∂X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对x i求偏导的方法时，Y要看做x i的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数Y=f(X)将R n映射至R m，如果J(f)= ∂f/∂X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=[J(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置2.|J(f-1)|=|J(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面。
高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k n k p k k y x y y x x y x 11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
教师公开招聘考试小学数学极限与微积分-试卷3_真题(含答案与解析)-交互
教师公开招聘考试小学数学（极限与微积分）-试卷3 (总分58, 做题时间90分钟)1. 选择题1.“函数f(x)在点x=x0处有极限”是“函数f(x)在点x处连续”的( )．SSS_SINGLE_SELA 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件分值: 2答案:B解析：根据函数连续的定义，由“函数f(x)在点x处连续"可知“函数f(x)在点x=x0处有极限"，但若“函数f(x)在点x=x处有极限”，函数f(x)在点x处不一定连续，如f(x)= 在x=0处有极限0，但f(x)在x=0处并不连续．因此“函数f(x)在点x=x0处有极限"是“函数f(x)在点x处连续”的必要不充分条件．2.=( )．SSS_SINGLE_SELA 0B 1CD 一分值: 2答案:A解析：=0．故本题选A．3.=( )．SSS_SINGLE_SELA 0BC 1D +∞分值: 2答案:D解析：=+∞．4.=( )．SSS_SINGLE_SELA 一1B 0C 1D 2分值: 2答案:B解析：考生需注意审题，该题目与两个重要极限公式中的=是x→∞时的无穷小量；而｜sinx｜≤1，即sinx是有界函数．根据无穷小量的性质：有界函数乘无穷小量仍是无穷小量，得=0．本题的结果考生可作为结论记住，有利于简化一些题目的解题过程．5.已知函数f(x)=，下列说法中正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 函数f(x)在x=1处连续且可导B 函数f(x)在x=1处连续但不可导C 函数f(x)在x=1处不连续但可导D 函数f(x)在x=1处既不连续也不可导分值: 2答案:B解析：因为=f(1)，故函数f(x)在x=1处是连续的；又因为f'+(x)==一1，f'— (x)=(e x—1 )｜x=1=e x—1｜x=1=1，即f'—(x)≠f'+(x)，故函数f(x)在x=1处是不可导的，所以本题选B．6.设y=x x，则y"=( )．SSS_SINGLE_SELAx 2Bx xCx x (lnx+1) 2 +x x—1Dx x (lnx+1) 2 +x分值: 2答案:C解析：因为y'=(e xlnx )'=x x (xlnx)'=x x (lnx+1)，故y"=(x x )'(lnx+1)+x x (lnx+1)'=x x (lnx+1) x +x x—1．7.设函数f(x)=x 3一3x 2，该函数的极大值为( )．SSS_SINGLE_SELA 一4B 0C 6D 不存在分值: 2答案:B解析：由已知可得，f'(x)=3x 2一6x，f"(x)=6x一6．当f'(x)=0，得到函数的驻点为x1 =0，x2=2．因为f"(0)=一6＜0，f"(2)=6＞0，又f(0)=0，f(2)=一4，所以当x=0时，函数取极大值为0；当x=2时，函数取极小值为一4．8.已知曲线y=f(x)=cosx，下列关于该曲线的凹凸性的表述错误的是( )．SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:B解析：由已知可得，f'(x)=一sinx，f"(x)=一cosx．当x∈(0，2π)时，由f"(x)=一cosx=0得，x1= 时，f"(x)＞0，则原函数是凹的；当x∈( ，2π)时，f"(x)＜0，则原函数是凸的．由此可知，B项的说法是错误的．故本题选B．9.不定积分=( )．SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:C解析：10.计算曲线y=及直线y=2x，y=2所围成的平面图形的面积为( )．SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:B解析：由已知可作图得到所求平面图形如图阴影部分所示，根据图示，故有11.极限=( )．SSS_SINGLE_SELA 0B 1CD分值: 2答案:C解析：12.若n→∞，则下列命题中正确的是( )SSS_SINGLE_SELA ①②B ①②③C ②③④D ①②③④分值: 2答案:D解析：数列((一1) n．的值趋于+∞，因此没有极限．故本题答案为D。
关于广义积分敛散性定义的思考
关于广义积分敛散性定义的思考
广义积分敛散性是指一个函数的积分在某一区间上的值，可以由函数在该区间上的值来确定。
它是一种重要的数学概念，在微积分、泛函分析、概率论等领域有着广泛的应用。
广义积分敛散性的定义是：设f(x)是一个定义在[a,b]上的连续函数，若存在一个定义在[a,b]上的函数F(x)，使得F(x)在[a,b]上连续，且满足F(x)=∫a^bf(t)dt，则称f(x)在[a,b]上具有广义积分敛散性。
广义积分敛散性的定义表明，函数f(x)在[a,b]上具有广义积分敛散性，则函数f(x)在[a,b]上的积分值可以由函数f(x)在[a,b]上的值来确定。
这一性质可以用来解决微积分中的许多问题，例如求解某一函数的积分值，求解某一函数的极限等。
此外，广义积分敛散性还可以用来推导泛函分析中的一些重要概念，例如函数的极限、函数的连续性、函数的可导性等。
此外，广义积分敛散性也可以用来推导概率论中的一些重要概念，例如随机变量的期望、随机变量的方差等。
总之，广义积分敛散性是一种重要的数学概念，它在微积分、泛函分析、概率论等领域有着广泛的应用，可以用来解决许多数学问题。
微积分学广义积分敛散性判别
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
a 1 p
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
证
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
B B
A c
若
c
f (x)d x 与
f (x) d x 同时收敛，则称
f
(x)d x
收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:
讨论下列广义积分的敛散性
讨论下列广义积分的敛散性
广义积分是高等数学中一个重要概念，它有着宽阔的用途及计算结果，在反映
其行为特征时，其敛散性受到广大学者的关注。
首先，将概念上说，广义积分的敛散性取决于在定义域内函数f(x)是否收敛
累积，以及该函数的收敛速率。
收敛性指的是曲线的拐点和不变点之间的连续性，其计算方法也有明显的不同。
若曲线的收敛性越大，整体累积越小，那么积分级数的敛散性也就越强。
反之，当函数f(x)在定义域内变得无限接近于零时，则其敛
散性也就越弱。
其次要说的是，广义积分的敛散性越强，则其可计算性、容易性以及有效性也
就越佳；号反之，数勒定理的范围则会在一定程度上受到限制，不仅影响内在价值的提升，也令计算结果不尽人意。
因此，对敛散性的研究和突破有着重要的意义。
最后再说的就是，掌握广义积分的敛散性并开展有效利用，有助于加深学生对
高等数学的认知，促进我们了解数学之美与思维方式的拓展，以及日后能够利用高等数学在学术研究和工业应用中发挥重要作用。
只有在了解深入，才能有效发挥数学在现实社会中所起到的重要作用，从而更好忠实数学及职责，推动现代社会发展.。
广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
微积分复习题
微积分复习题摘要：微积分复习题第一章函数与极限一,单项选择题1.函数y=+ln(x-1)的定义域是...9.广义积分( )A.收敛 B.发散C.敛散性不能确定 D.收敛于113.下列广义积分...关键词：微积分,积分类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。
不代表牛档搜索（）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！微积分复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中，表示同一个函数的是（ ） A.f(x)=1x 1x2+-与g(x)=x-1B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgxC.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinxD.f(x)=|x|与g(x)=2x5.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e1e xx +-6.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数7.下列极限正确的是( ) A.11si nlim =∞→xx x B.11si nl i m 0=→x x x ； C.1sin lim=∞→xx x ； D.12sin lim=→xx x ；8.=+∞→xx x)21(lim （ ）A. e -2B. e -1C. e 2D.e 9.=→2xtan3x limx （ ）A.∞B.23 C.0 D.110.=-+-→xx x x x 32112lim（ ）A. 21B. 0C. 1D. ∞11.xmx x sin lim→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1 D. m 12. hxh x 22h )(lim-+→ =( )。
高等数学(微积分)课件§广义积分敛散性的判别
'
x (1 x)2
,
x (1,1)
23
幂函数性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运用(求和函数)
例 求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
解 s(xn ) 1 (1n )n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , 1 x
(1x1)
两边积分得
x
s(t)d tln1 (x)
n0
(anxn) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
22
幂函数性质的运用(求和函数)
例：求幂 级n数 xn的和函数。
n1
解：由 1
1－x
n0
xn,
x (1,1)
1－1x
'
n0
xn
'
(xn )'
n0
n1
nxn1,
x (1,1)
上式两边乘以x，可得：
nxn
n1
x 1－1 x
解：由于该幂级数的系 数a 2n1 0(n 0,1,2,...), 故不能直接用前面的定 理。
而直接利用比值判别法 。
lim un1 n un
lim
n
x 2(n1) 2 n 1
2n x2n
1 x2 2
由比值判别法：1 x2 1, 即当 x
2时，
1 x2n绝对收敛；
2
n1 2n
当 x
2时，
n0
(R,R)内可积 ,且对x(R,R)可逐项积分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx
x 0
anxndx
n0
n0an xn1. n0 n1
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（7）
∫
1
0
1 ln x ln x ln x 2 dx dx dx = + 1 ∫ ∫ 2 2 0 x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
1
x → 1− ，
1 1 ln x ln x ln x 1 dx 发散，故 ∫ dx 发散。 ~− ， ∫1 2 2 0 1− x x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
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作者：闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
(4)
∫
+∞
0
1 +∞ 1 1 1 1 1 1 ln1 + x − 1 + x dx = ∫0 ln1 + x − 1 + x dx + ∫1 ln1 + x − 1 + x dx
故
∫
0
1 1 ln1 + x − 1 + x dx 收敛。
π dx dx dx 4 =∫ + ∫π2 p p q p q 0 sin x cos x sin x cos x 4 sin x cos q x
(5)
∫
π 2 0
π
dx 1 1 ∽ p ，当 p < 1 时， ∫ 4 收敛； x →0， p p q 0 sin x cos q x sin x cos x x
0
1 sin t
2
dt = ∫ 2
0
π
1 sin x
dx ，收敛.
(3)
+ ∞ arctan x 1 arctan x arctan x dx + ∫ dx = ∫ dx p p 0 1 0 x xp x arctan x 1 与 p −1 等价（ x → 0 ） ， 对第一个积分， p x x
∫
+∞
+∞
2. 若 f ( x) 在 [a,+∞) 上非负且一致连续， ∫a
作者：闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
第十四周习题课 广义积分 1. 判断下列广义积分的敛散性. (1)
∫
+∞
x ln x x +1
5
1
dx
(2)
∫ ∫
π
0
1 sin x
dx
(3)
∫ ∫
+∞ 0
arctan x dx xp
(4)
∫
+∞
0
1 1 ln1 + x − 1 + x dx
t → 0+ ，
sin t t
( p +1) / 2
~
1 t
( p −1) / 2
，故
1 sin t p −1 < 1 时 ∫ ( p +1) / 2 dt 收敛； 0 2t 2
+∞ p +1 sin t > 1 时， ∫ dt 绝对收敛， 1 2 2t ( p +1) / 2 +∞ p +1 sin t dt 条件收敛。 0< ≤ 1 时， ∫ 1 2t ( p +1) / 2 2
7 > 1 ，直接比较法，收敛. 6
x ln x x +1
5
<
x3 x x +1
5
,p=
(2)
∫
π
0
1 sin x
dx = ∫ 2
0
π
1 sin x
dx + ∫π
π
1 sin x
dx ，
2
第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x − π = t , dx = dt ，
∫
π π
2
1 sin x
dx = − ∫π
x→
π
π
2
，
π 1 dx 1 2 ∽ ，当 时， 收敛。 q < 1 π q p q p ∫ sin x cos q x sin x cos x π 4 − x 2
故当 p < 1 ， q < 1 时，
∫
π 2 0
dx 收敛。 sin x cos q x
p
(6)
1 ln(1 + x ) +∞ ln(1 + x ) ln(1 + x) dx dx + = p p ∫0 x ∫0 x ∫1 x p dx 1 ln(1 + x ) ln(1 + x) 1 ∽ p −1 ，当 p < 2 时， ∫ x →0， dx 收敛； p 0 x xp x +∞ ln(1 + x ) ln(1 + x) ln x ∽ p ，当 p > 1 时， ∫ x → +∞, dx 收敛。 p 1 xp x x +∞ ln(1 + x ) 故当 1 < p < 2 时 ∫ dx 收敛。 0 xp +∞
1 1 1 1 dx 收敛； x → 0+ , ln1 + ∽ − ln x ， ∫ ln1 + − 0 x 1+ x x +∞ 1 1 1 1 1 ∽ 2 ， + ∫ ln1 + − dx 收敛。 x → +∞, ln1 + − 1 x 1+ x x 1 + x 2x +∞
(5)
π 2 0
dx sin x cos q x
p
(6)
+∞
0
ln(1 + x) dx xp
（7）
∫
1
0
ln x dx x (1 − x) 2
（8）
∫
+∞
0
sin x 2 dx xp
（9）
∫
+∞
0
(−1)[ x ] dx
2
解: (1)由 limFra bibliotekln x x
x → +∞ 3
= 0 ，存在 X > 0 ，使得当 x > X > 0 时， ln x < 3 x ，
p − 1 < 1, ⇒ p < 2 收敛.
对第二个积分，
arctan x 1 与 q 进行比阶， p x x
0 arctan x lim = π x → +∞ x p −q 2
p>q p=q
因此，当 p ≥ q > 1 时第二个积分收敛。 综合上述分析， 1 < p < 2 时积分收敛。
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作者：闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
（8） x = t ，
2
∫
+∞
0
+∞ +∞ 1 sin t sin x 2 sin t sin t = = + dx dt dt dt ， p ( p +1) / 2 ( p +1) / 2 ∫ ∫ ∫ 0 0 1 x 2t 2t 2t ( p+1) / 2
总之， − 1 < p ≤ 1 时，
∫
+∞
0
2 + ∞ sin x sin x 2 dx 条件收敛； 1 < p < 3 时， ∫ dx 绝对收敛。 0 xp xp
（9） 令 x = t ，
2
∫
+∞
0
(−1)[ x ] dx = ∫
2
+∞
0
(−1)[t ] dt ，Dirichlet 判别法，条件收敛。 2 t