ArcGIS教程：半变异函数与协方差函数
ArcGIS中空间数据统计、插值分析-以克里金插值法为例-胡碧峰解析
（在搜寻邻域内为常数， 不同邻域可以有差别）
可得到关系式:
n
i 1
i 1
Z*(x0)
（2）估计方差最小
2 k
EZ*x0Zx0EZ*x0Zx02
EZ*x0Zx02
min
应用拉格朗日乘数法求条件极值
j E Z * x 0 Z x 0 2 2 i n 1j 0 , j 1 , ,n
2.
分析图层及属性设置
参 数 设 置
插值 方式
3.参数设置
误差 统计
图例调整
输入级 别间距
选择分 级数目
选择手工 输入方式
最后点 OK
空间数据的插值分析-以克里
金插值法为例
2014级硕士胡碧峰
空间插值
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续 的数据曲面，它包括内插和外推两种算法。前者是 通过已知点的数据计算同一区域内其他未知点的数 据，后者则是通过已知区域的数据，求未知区域的 数据。
主要的内插方法有：
反距离加权（Inverse Distance Weighted） 全局多项式（Global Polynomial Interpolation） 全局多项式（Local Polynomial Interpolation） 径向基函数（Radial Basis Funtions） 克里格内插（ Kriging ）
4、半变异函数/协方差函数。 该图可以反应数据的空间相关
程度，只有数据空间相关，才有必要进行空间插值法。图表的横 坐标表示任两点的空间距离，纵标表示该两点的半变异函数值。 根据距离越近越相似的原理，因而x值越小，y值应该越小。
在ArcGIS中进行常规克里格插值 的基本操作流程
调入“地统计分析“工具
半方差函数
半方差函数半方差函数（semivariance function）是地理空间统计学中常用的一种工具，用于描述空间数据的离散程度。
它可以帮助我们分析和理解空间数据的变异性。
1. 什么是半方差函数半方差函数是一种衡量空间数据变异性的函数。
它是指在一定距离内的所有样本点之间的差异的平均值。
具体地说，对于给定的距离 h，半方差函数计算所有样本点对之间的差异的平均值，并除以2。
这就是为什么它被称为“半方差”函数的原因。
半方差函数可以用公式表示如下：$$ \\gamma(h) = \\frac{1}{2n(h)} \\sum_{i=1}^{n(h)} (z(x_i) - z(x_i + h))^2 $$其中，$\\gamma(h)$ 表示半方差函数，n(n)表示距离为h 的样本点对的个数，n(n n)表示在位置n n处的样本值，n(n n+n)表示在位置n n处距离为 h 的样本值。
半方差函数的值越大，表示样本点之间的差异越大，即空间数据的变异性越强。
2. 半方差函数的应用半方差函数在地理空间统计学中有广泛的应用。
它可以帮助我们分析和理解空间数据的变异性，从而更好地进行地理空间分析和模型建立。
2.1 描述空间数据的变异性半方差函数可以帮助我们描述空间数据的变异性。
通过计算不同距离上的半方差值，我们可以了解不同距离上的样本点之间的差异大小。
这有助于我们理解空间数据的空间分布特征，并可以为后续的空间插值和预测提供基础。
2.2 空间插值和预测半方差函数在空间插值和预测中起着重要的作用。
通过分析半方差函数的形状和变化趋势，我们可以选择合适的空间插值方法和模型，以获得更准确的预测结果。
比如，当半方差函数在一定距离范围内保持稳定时，可以采用普通克里金插值方法；当半方差函数在一定距离范围内呈现出可区分的趋势时，可以采用泛克里金插值方法。
2.3 空间优化和数据采样半方差函数还可以用于空间优化和数据采样。
通过分析半方差函数，我们可以选择合适的数据采样密度，以获得更好的空间数据表示。
ArcGIS中空间数据统计、插值分析-以克里金插值法为例--胡碧峰解析
可采用一个线性组合来估计：
n
z*x0 i zxi i 1
无偏性和估计方差最小被作为 选取的标准 i
无偏 E Zx0 Z * x0 0 最优 Var Zx0 Z * x0 min
2、直方图：直方图显示数据的概率分布特征以及概括 性的统计指标。从图中可观察分析数据是否为正态分布。克
里格方法对正态数据的预测精度最高，而且有些空间分析方法特 别要求数据为正态分布。
3、正态QQ Plot图： 检查数据的正态分布情况。作图原理是用分位图
思想。直线表示正态分布，从图中可以看出数据很接 近正态分布
j
E
Z *x0 Zx0 2
2
n
j
0,
i1
j 1, , n
Z*(x0)
1、数据检查，即空间数据探索分析。此功能主要通过 Explore Data菜单中实现。扩展模块提供了多种分析工具， 这些工具主要是通过生成各种视图，进行交互性分析。 如直方图、QQ plot图、半变异函数/协方差图等。
（3）趋势分析图。 蓝线表示南北方向，呈近似水平，可见南北方向无
趋势。绿线表示东西方向，呈倒"U"形，可用二阶曲线 拟合，在后面进行表面预测时将会去除。
4、半变异函数/协方差函数。 该图可以反应数据的空间相关
程度，只有数据空间相关，才有必要进行空间插值法。图表的横 坐标表示任两点的空间距离，纵标表示该两点的半变异函数值。 根据距离越近越相似的原理，因而x值越小，y值应该越小。
克里金插值
克里金方法（Kriging）, 是以南非矿 业工程师D.G.Krige (克里格)名字命名的一 项实用空间估计技术，是地质统计学 的重 要组成部分，也是地质统计学的核心。
ArcGIS数据分析
ArcGIS地统计分析模块提供三个功能模块，探索性数据分析、地统计分析向导、以及生成数据子集。
利用这些基本功能模块，可以方便的完成多种地统计分析，创建完善的专题地图，其中探索性数据分析模块能帮助我们确定统计数据属性，探测数据分布、全局和局部异常值(过大值或过小值)、寻求全局的变化趋势。
1、首先了解一下直方图，直方图指对采样数据按一定的分级方案(等间隔分级、标准差分，等等)进行分级，统计采样点落入各个级别中的个数或占总采样数的百分比，并通过条带图或柱状图表现出来。
直方图可以直观的反映采样数据分布特征、总体规律，可以用来检验数据分布和寻找数据离群值。
该地区GDP数据分布具有明显的对数分布，符合正态分布的特征。
但在最右侧有一个明显的值段内没有数据。
2、普通QQPlot(General QQPlot)分布图用来评估两个数据集的分布的相似性。
普通QQPlot图揭示了两个物体(变量)之间的相关关系，如果在QQPlot图中曲线呈直线，说明两物体呈一种线性关系，可以用一个一元一次方程式来拟合。
如果QQPlot图中曲线呈抛物线，说明两物体的关系可以用一个二元多项式来拟合。
3、半变异函数云表示的是数据集中所有样点对的理论半变异值和协方差，并把它们用两点间距离的函数来表示，用此函数作图来表示。
半变异函数是事物空间相关系数的表现，当两事物彼此距离较小时，它们是相似的，半变异值较小;反之，半变异值较大。
图中横坐标为样点对之间的距离，纵坐标表示半变异的函数值，图中所示的曲线为理想状态下半变异函数曲线图，而往往数据的函数图不能呈现如此状态，通过图中异常样对点，我们可以对数据的异常点进行判断在地统计分析中，生成数据曲面的插值方法是建立在平稳假设的基础上，这种假设在一定程度上要求所有数据值具有相同的变异性。
另外，一些插值法(比如说：克里格插值)都假设数据服从正态分布。
如果数据不服从正态分布，需要进行一定的数据变换，从而使其服从正态分布。
半方差函数
半方差半方差函数(Semi-variogram)及其模型半方差函数也称为半变异函数,它就是地统计学中研究土壤变异性的关键函数、2、1、1半方差函数的定义与参数如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性,则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2与空间协方差C(h)来定义:((h)= S2-C(h)((h)反映了Z(x)中的空间相关部分,它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望:(1)实际可用:(2)式中N(h)就是以h为间距的所有观测点的成对数目、某个特定方向的半方差函数图通常就是由((h)对h作图而得、在通常情况下,半方差函数值都随着样点间距的增加而增大,并在一定的间距(称为变程,arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台,sill)、土壤性质的半方差函数也可能持续增大,不表现出确定的基台与变程,这时无法定义空间方差,说明存在有趋势效应与非平稳性、另一些半方差函数则可能完全缺乏空间结构,在所用的采样尺度下,样品间没有可定量的空间相关性、从理论上讲,实验半方差函数应该通过坐标原点,但就是许多土壤性质的半方差函数在位置趋于零时并不为零、这时的非零值就称为"块金方差(Nugget variance)"或"块金效应"、它代表了无法解释的或随机的变异,通常由测定误差或土壤性质的微变异所造成、对于平稳性数据,基底方差与结构方差之与约等于基台值、2、1、2 方差函数的理论模型土壤在空间上就是连续变异的,所以土壤性质的半方差函数应该就是连续函数、但就是,样品半方差图却就是由一批间断点组成、可以用直线或曲线将这些点连接起来,用于拟合的曲线方程就称为半方差函数的理论模型、在土壤研究中常用的模型有:①线性有基台模型:式中C1/a就是直线的斜率、这就是一维数据拟合的最简单模型:((h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下,C1/a可以为0,这时就有纯块金效应模型:((h)=C0, h>0 (4)((0)=0 h=0②球状模型((h)= C0 +C1[1、5h/a-0、5(h/a)3] 0a (5)((0)=0 h=0③指数模型((h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h>0 (6)((0)=0 h=0④双曲线模型(7)⑤高斯模型((h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h>0 (8)((0)=0 h=0选定了半方差函数的拟合模型后,通常就是以最小二乘法计算方程的参数,并应用Ross等的最大似然程序(MLP),得到效果最好的半方差方程、2、1、3 模型的检验(cross-validation,又称作jacknifing)为了检验所选模型三个参数的合理性,必须作一定的检验、但就是到现在为止还没有一个有效的方法检验参数的置信区间;同时,由于我们不知道半方差模型的确切形式,所选定的模型只就是半方差函数的近似式,故无法以确切的函数形式对模型参数进行统计检验、交叉验证法的检验方法,一种间接的结合普通克立格的方法,为检验所选模型的参数提供了一个途径、这个方法的优点就是在检验过程中对所选定的模型参数不断进行修改,直至达到一定的精度要求、交叉验证法的基本思路就是:依次假设每一个实测数据点未被测定,由所选定的半方差模型,根据n-1个其它测定点数据用普通克立格估算这个点的值、设测定点的实测值为,估算值为,通过分析误差,来检验模型的合理性、2、1、4半方差函数的模型的选取原则与参数的确定半方差函数的模型的选取原则就是:首先根据公式计算出((h)的散点图,然后分别用不同类型的模型来进行拟合,得到模型的参数值及离差平方与,首先考虑离差平方与较小的模型类型,其次,考虑块金值与独立间距,最后用交叉验证法来修正模型的参数、2、2 Kriging最优内插估值法如果区域化变量满足二阶平稳或本征假设,对点或块段的估计可直接采用点克立格法(Puctual Kriging )或者块段克立格法(Block Kriging)、这两种方法就是最基本的估计方法,也称普通克立格法(Origing Kriging,简称OK)、半方差图除用于分析土壤特性空间分布的方向性与相关距离外,还可用于对未测点的参数进行最优内插估值与成图,该法原理如下:Kriging最优内插法的原理设x0为未观测的需要估值的点,x1, x2,…, xN 为其周围的观测点,观测值相应为y(x1 ),y(x2),…,y(xN)、未测点的估值记为(x0),它由相邻观测点的已知观测值加权取与求得:(9)此处,(i为待定加权系数、与以往各种内插法不同,Kriging内插法就是根据无偏估计与方差最小两项要求来确定上式中的加权系数(i的,故称为最优内插法、1、无偏估计设估值点的真值为y(x0)、由于土壤特性空间变异性的存在,以及,•1。
半方差
半方差半方差函数(Semi-variogram)及其模型半方差函数也称为半变异函数,它是地统计学中研究土壤变异性的关键函数.2.1.1半方差函数的定义和参数如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性,则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2和空间协方差C(h)来定义:((h)= S2-C(h)((h)反映了Z(x)中的空间相关部分,它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望:(1)实际可用:(2)式中N(h)是以h为间距的所有观测点的成对数目.某个特定方向的半方差函数图通常是由((h)对h作图而得.在通常情况下,半方差函数值都随着样点间距的增加而增大,并在一定的间距(称为变程,arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台,sill).土壤性质的半方差函数也可能持续增大,不表现出确定的基台和变程,这时无法定义空间方差,说明存在有趋势效应和非平稳性.另一些半方差函数则可能完全缺乏空间结构,在所用的采样尺度下,样品间没有可定量的空间相关性.从理论上讲,实验半方差函数应该通过坐标原点,但是许多土壤性质的半方差函数在位置趋于零时并不为零.这时的非零值就称为"块金方差(Nugget variance)"或"块金效应".它代表了无法解释的或随机的变异,通常由测定误差或土壤性质的微变异所造成.对于平稳性数据,基底方差与结构方差之和约等于基台值.2.1.2 方差函数的理论模型土壤在空间上是连续变异的,所以土壤性质的半方差函数应该是连续函数.但是,样品半方差图却是由一批间断点组成.可以用直线或曲线将这些点连接起来,用于拟合的曲线方程就称为半方差函数的理论模型.在土壤研究中常用的模型有:①线性有基台模型:式中C1/a是直线的斜率.这是一维数据拟合的最简单模型:((h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下,C1/a可以为0,这时就有纯块金效应模型:((h)=C0, h>0 (4)((0)=0 h=0②球状模型((h)= C0 +C1[1.5h/a-0.5(h/a)3] 0a (5)((0)=0 h=0③指数模型((h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h>0 (6)((0)=0 h=0④双曲线模型(7)⑤高斯模型((h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h>0 (8)((0)=0 h=0选定了半方差函数的拟合模型后,通常是以最小二乘法计算方程的参数,并应用Ross等的最大似然程序(MLP),得到效果最好的半方差方程.2.1.3 模型的检验(cross-validation,又称作jacknifing)为了检验所选模型三个参数的合理性,必须作一定的检验.但是到现在为止还没有一个有效的方法检验参数的置信区间;同时,由于我们不知道半方差模型的确切形式,所选定的模型只是半方差函数的近似式,故无法以确切的函数形式对模型参数进行统计检验.交叉验证法的检验方法,一种间接的结合普通克立格的方法,为检验所选模型的参数提供了一个途径.这个方法的优点是在检验过程中对所选定的模型参数不断进行修改,直至达到一定的精度要求.交叉验证法的基本思路是:依次假设每一个实测数据点未被测定,由所选定的半方差模型,根据n-1个其它测定点数据用普通克立格估算这个点的值.设测定点的实测值为,估算值为,通过分析误差,来检验模型的合理性.2.1.4半方差函数的模型的选取原则和参数的确定半方差函数的模型的选取原则是:首先根据公式计算出((h)的散点图,然后分别用不同类型的模型来进行拟合,得到模型的参数值及离差平方和,首先考虑离差平方和较小的模型类型,其次,考虑块金值和独立间距,最后用交叉验证法来修正模型的参数.2.2 Kriging最优内插估值法如果区域化变量满足二阶平稳或本征假设,对点或块段的估计可直接采用点克立格法(Puctual Kriging )或者块段克立格法(Block Kriging).这两种方法是最基本的估计方法,也称普通克立格法(Origing Kriging,简称OK).半方差图除用于分析土壤特性空间分布的方向性和相关距离外,还可用于对未测点的参数进行最优内插估值和成图,该法原理如下: Kriging最优内插法的原理设x0为未观测的需要估值的点,x1, x2,…, xN 为其周围的观测点,观测值相应为y(x1 ),y(x2),…,y(xN).未测点的估值记为(x0),它由相邻观测点的已知观测值加权取和求得:(9)此处,(i为待定加权系数.和以往各种内插法不同,Kriging内插法是根据无偏估计和方差最小两项要求来确定上式中的加权系数(i的,故称为最优内插法.1. 无偏估计设估值点的真值为y(x0).由于土壤特性空间变异性的存在,以及, y(x0)均可视为随机变量.当为无偏估计时,(10)将式(9)代入(10)式,应有(11)2. 估值和真值y(x0)之差的方差最小.即(12)利用式(3-10),经推导方差为(13)式中,((xi,xj)表示以xi和xj两点间的距离作为间距h时参数的半方差值,((xi, x0)则是以xi和x0两点之间的距离作为间距h时参数的半方差值.观测点和估值点的位置是已知的,相互间的距离业已知,只要有所求参数的半方差((h)图,便可求得各个((xi,xj)和((xi,x0)值.因此,确定式(9)中各加权系数的问题,就是在满足式(11)的约束条件下,求目标函数以式(13)表示的方差为最小值的优化问题.求解时可采用拉格朗日法,为此构造一函数,(为待定的拉格朗日算子.由此,可导出优化问题的解应满足:i=1,2,N (14)由式(14)和式(11)组成n+1阶线性方程组,求解此线性方程组便可得到n个加权系数(i和拉格朗日算子(.该线性方程组可用矩阵形式表示:(15)式中,( ij为((xi,xj)的简写.求得各(i值和(值后,由式(9)便可得出x0点的最优估值y(x0).而且还可由式(13)求出相应该估值的方差之最小值(2min.将式(14)代入式(13),最小方差值还可由下式方便地求出:(16)上述最优化问题求解还可用其他方法,在应用Kriging内插法时还有其他方面的问题,在此都不一一列举了.。
ArcGIS中几种空间插值方法
ArcGIS 中几种空间插值方法1. 反距离加权法(IDW)ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。
可表示为：1111()()n nip p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
2.多项式法多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。
在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。
前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。
3.样条函数内插法样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。
样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。
4.克里格插值法克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。
这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。
这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。
地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。
Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。
克里格方法的半变异函数
克里格方法的半变异函数The semivariogram in the Kriging method is a fundamental tool for spatial interpolation and analysis. It quantifies the spatial variability of a variable by measuring the degree of similarity or dissimilarity between values at different locations. The semivariogram represents the variance of the differences between values at various distances, providing insights into the spatial structure and autocorrelation of the data.克里格方法中的半变异函数是空间插值和分析的基本工具。
它通过测量不同位置之间值的相似性或差异性来量化变量的空间变异性。
半变异函数表示在不同距离上值之间差异的方差，为数据的空间结构和自相关性提供了深刻见解。
The semivariogram is typically plotted as a function of distance, with the x-axis representing the separation distance between data points and the y-axis representing the semivariance. This plot helps identify the range, sill, and nugget effect, which are key parameters in Kriging interpolation. The range indicates the distance at which values become spatially independent, the sill represents the maximum semivariance or total spatial variability, and the nugget effect accounts for the variability that cannot be explained by spatial autocorrelation.半变异函数通常作为距离的函数进行绘制，其中x轴表示数据点之间的分离距离，y轴表示半变异值。
地学计算第四章
（3）若依先前的采样间距得到的半方差函数有明 显的结构，但研究区内样点分布不均匀，则可进 一步优化其分布。
对于第（1）（2）情况，可以采取套合采样解决。
2020/1/29
华中农业大学 资源与环境学院
2020/1/29
华中农业大学 资源与环境学院
28
套合模型
当h一定时，变异函数r(h)应包含小于h的所有影 响因素，因此，绝大多数变异函数都由下面两个 变异函数组成：
r(h)=r0(h)+r1(h)，即一个代表纯块金方差，一个 代表空间相关的方差。一般情况下，套合模型可
以用放映各种不同尺度变化的多个变异函数之和
最优拟合—确定曲线类型
一般来讲，通过(h,r(h))散点图确定曲线的大 致类型或初步类型，对这个大致的初步类 型进行参数最优估计，确定是否为最优曲 线。
2020/1/29
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最优拟合—参数最优估计
变异函数的理论模型主要是曲线模型，将曲线模型经过适当的变换， 化为线性模型，然后用最小二乘法原理求未知参数的估计。
[ z ( xi
h)
z ( xi
)]2
r*(hij ) r*(hij )
2020/1/29
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3
4.1 半方差函数—经验半方差函 数
在实践中，一般是将滞后距（h）划分为不同的级 别，计算每个滞后级别上的平均半方差值，进而
得到经验半方差值和经验半方差图来分析数据的 空间关系。
2020/1/29
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origin半变异函数拟合
Origin半变异函数拟合1. 定义Origin半变异函数拟合是一种拟合半方差函数的方法，用于地质学、地球物理学、地理信息系统等领域中对空间数据的分析和建模。
半方差函数（semi-variogram function）是描述空间变量之间相关性的函数，通常用于分析空间数据的自相关性和空间结构。
Origin软件提供了多种半方差函数拟合方法，其中包括了半变异函数拟合。
2. 用途半变异函数拟合在地学和地理信息系统领域中有广泛的应用，常用于以下方面：•空间数据分析：通过拟合半方差函数，可以得到空间数据的半方差函数模型，从而揭示数据之间的空间相关性和结构。
这对于地质勘探、地质模型构建和资源评估等具有重要意义。
•空间插值：基于半方差函数模型，可以进行空间插值，从而预测未知位置的数据值。
常见的空间插值方法如克里金插值（Kriging）就是基于半方差函数模型进行预测的。
•空间优化：通过对半方差函数的拟合，可以得到最佳拟合的半方差函数模型，从而优化空间数据的采样设计和空间变量的分布策略。
3. 工作方式Origin半变异函数拟合的工作方式如下：3.1 数据准备首先，需要准备空间数据的样本点数据集。
这些样本点可以是地球表面上的采样点、地下岩石样本的测量点或者其他空间数据的采样点。
每个样本点都有其空间位置坐标和对应的变量值。
3.2 半方差函数选择在进行半变异函数拟合之前，需要选择适合当前数据集的半方差函数。
Origin软件提供了多种常见的半方差函数，例如指数函数、高斯函数、线性函数等。
根据数据的特点，选择适合的半方差函数。
3.3 拟合半方差函数选择好半方差函数后，将其与数据集进行拟合。
Origin软件提供了拟合工具，可以自动拟合半方差函数与数据集，得到最佳拟合的半方差函数模型。
拟合过程中，软件会调整半方差函数的参数，使得拟合的误差最小化。
3.4 模型评估拟合完成后，需要对拟合的模型进行评估。
常见的评估指标包括残差分析、半方差函数的拟合程度、模型参数的置信区间等。
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半变异函数和协方差函数将邻近事物比远处事物更相似这一假设加以量化。半变异函数和协方差都将
统计相关性的强度作为距离函数来测量。
对半变异函数和协方差函数建模的过程将半变异函数或协方差曲线与经验数据拟合。目标是达到最佳
拟合，并将对现象的认知纳入模型。之后模型便可用于预测。
在拟合模型时，浏览数据中的方向自相关。基台、变程和块金是模型的重要特征。如果数据中有测量
误差，请使用测量值误差模型。跟踪这一链接来了解如何将模型与经验半变异函数拟合。
半变异函数
半变异函数定义为
γ(si,sj) = ½ var(Z(si) - Z(sj)),
其中 var 是方差。
如果两个位置 si 和 sj，在 d(si, sj) 的距离测量上彼此相近，那么您会希望这两个位置相似，以
便缩小两个位置的差值 Z(si) - Z(sj) 的大小。当 si 和 sj 距离逐渐增大时，它们变得越来越不相似，
它们的值 Z(si) - Z(sj) 的差异也会增大。在下图中可以看到这一情况，其中显示了典型半变异函数的解
析图。
请注意，差值的方差会随距离的增大而增加，因此可以将半变异函数视为相异度函数。与这一函数经
常关联的术语也可用在 Geostatistical Analyst 中。半变异函数在其呈平稳状态时所达到的高度称为基
台。它通常由两部分组成：原点处不连续(称为块金效应)和偏基台;二者一起形成基台。块金效应可以细分
为测量误差和微刻度变化。块金效应就是测量误差和微尺度变化的和，由于任一组件都可为零，因此块金
效应可以完全由一个组件或另一个组件形成。变程是半变异函数达到平稳基台处的距离。
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协方差函数
协方差函数定义为
C(si, sj) = cov(Z(si), Z(sj)),
其中 cov 是协方差。
协方差是相关性的缩放版。因此当两个位置，si 和 sj 彼此相近时，您会希望这两个位置相似，而他
们的协方差(相关性)会变大。当 si 和 sj 距离逐渐增大时，它们变得越来越不相似，并且它们的协方差
会变为零。在下图中可以看到这一情况，下图显示典型协方差函数的解析图。
请注意，协方差函数随距离的增大而减小，因此可将其视为一种相似度函数。
半变异函数和协方差函数之间的关系
在半变异函数和协方差函数之间存在以下关系：
γ(si, sj) = sill - C(si, sj),
从图中可看出该关系。由于这一相等关系，您可以在 Geostatistical Analyst 中使用两种函数中的
任一种来执行预测。(Geostatistical Analyst 中所有半变异函数都拥有基台。)
半变异函数和协方差不是任意函数皆可。为使预测具有非负的克里金标准误差，只有部分函数可以用
作半变异函数和协方差。Geostatistical Analyst 提供了多种可接受的选项，您可以为数据尝试不同的选
项。您也可以通过同时添加多个模型的方式获得模型 - 此构造提供有效的模型，可以在 Geostatistical
Analyst 中添加其中的最多四个模型。有一些当半变异函数存在时，协方差函数却不存在的实例。例如，
有一个线性半变异函数，但它没有基台，并且没有相对应的协方差函数。Geostatistical Analyst 中仅使
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用带有基台的模型。在选择“最佳”半变异函数模型时，没有必须遵守的规则。您可以查看经验半变异函
数或协方差函数并选择看起来适合的模型。你也可以使用验证和交叉验证作为指南。