高三文科数学数列专题练习

高三文科数学数列专题练习

1. 已知数列是等比数列,且{}()

n a n N *∈130,2,8.n a a a >==

〔1〕求数列的通项公式; 〔2〕求证:；

〔3〕设,求数列的前100项和.

1. 解：〔1〕设等比数列的公比为.

则由等比数列的通项公式得,11n n a a q -=3131a a q -=2

8

4,2

q ∴=

= 又()0,2

2n a q >∴=分

∴数列的通项公式是.{}n a ()12223n n

n a -=?=分

()

123

23

1111211111112221222212

n

n n a a a a ++++

-?=

++++=

- ()11,2n

=-

6分

()11,117,2

n n ≥∴-

<分 ()123111118.n

a a a a ∴++++<分 ()()()(){}()2132log 21219,212112,,

n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=????∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分 ∴数列的前100项和是{}n b ()

10010099

1003210200122

S ?=?+

?=分

2.数列{an}中，，，且满足常数

18a =42a =21n n a a ++-=C

〔1〕求常数和数列的通项公式； 〔2〕设， 〔3〕 , 2．解：〔1〕

125612567

12512567

20520(2)|||||||

|| =(+a )

=2()(++a )

=2S S =260

n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++++++

+++

++｜－－－

〔3〕

3. 已知数列 ， 求n n 2,n a =2n 1,n ??

?为奇数；－为偶数；2n S

12321352124621

3

5

2-1

2

()()2(14)(-1 2222)(3711)34

142

2(41)

23

n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a n n n n n =+++???=+++???++++???=???++++???=++?=++－3.解：－）

（＋＋＋－－

4 .已知数列的相邻两项是关于的方程N 的两根,且{}n

a 1,+n n a a x

022=+-n n b x x ∈n ()

*

11=a .

〔1〕 求证: 数列是等比数列; 〔2〕 求数列的前项和.

4 .解：证法1: ∵是关于的方程N 的两根,1,+n n a a x 022=+-n n b x x ∈n ()

*

∴ ??

?==+++.

,

211n n n

n n n a a b a a

由,得,

n

n n a a 21

=++??? ???--=?-++n n n n a a 23123111

故数列是首项为,公比为的等比数列. ???

?

???-n n

a 23131321=-a 1- 证法2: ∵是关于的方程N 的两根,1,+n n a a x 022=+-n n

b x x ∈n ()

*

∴ ??

?==+++.

,

211n n n

n n n a a b a a

∵,n

n n n n

n n n n a a a a 231

2

312231231111?-?--=

?-?-+++1231231-=?-??? ???--=n n n n a a

故数列是首项为,公比为的等比数列. ???

?

???-n n a 23131321=

-a 1- 〔2〕解: 由〔1〕得, 即.

∴

()[]()[]

1

11121291+++--?--=

=n n n n n n n a a b

. ()[]

1229112---=

+n

n

∴

n

n a a a a S ++++= 321

()()()()

[]{}

n

n 111222231232-++-+--++++=

. ()??

?

???----=+21122311n n

5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算〔即使用多少年时，年平均费用最少〕？

6.

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游

业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.5141

〔1〕设n 年内〔本年度为第一年〕总投入为an 万元，旅游业总收入为bn 万元，写出an,bn 的表达式； 〔2〕至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

7. 在等比数列{an}〔n ∈N*〕中，已知a1＞1，q ＞0．设bn=log2an ，且b1＋b3＋b5=6，b1b3b5=0．

〔1〕求数列{an}、{bn}的通项公式an 、bn ；

〔2〕若数列{bn}的前n 项和为Sn ，试比较Sn 与an 的大小． 111213515561355132131323322522111(1),,1,0,{}, log , 01,1,0.

60,6,log 6,264,1 64,8.81,. 16.

2

n n n n n n n a a q a q a b a b b b a a b b b b b b b a a a a a a a a q q q a a q a a a q --=>>∴==>==++==+==∴===∴=∴===∴===∴=7.解∶由题设有数列是单调数列又及知必有即由及得即即由得1152141

16()2log 5. (6)

2

()(9)

(2)(1),5,.

22

9,0,0,;

12,47;168,;

111

345678,91010974,421,248

n n n n n n n n n n n n n n n n n b a n n b b n n b n S n S a a S n S a a S n S a a S --====-+-=-==>∴>===∴>===∴<；分由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、.

,129,; 345678,.(13)n n n n n n n a S n a S =>=<综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、

8. 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且an 是Sn 与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1， 点P 〔bn ，bn+1〕在直线x-y+2=0上. 〔1〕求a1和a2的值；

〔2〕求数列{an}，{bn}的通项an 和bn ； 〔3〕设cn=an·bn ，求数列{cn}的前n 项和Tn. 8. 解：〔1〕∵an 是Sn 与2的等差中项 ∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 ···3分 〔2〕∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2， 又Sn —Sn-1=an ，*),2(N n n ∈≥ ∴an=2an-2an-1， ∵an ≠0，

∴，即数列{an}是等比树立∵a1=2，∴an=2n

*),2(21

N n n a a n n

∈≥=- ∵点P 〔bn ，bn+1〕在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0， ∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，

···8分

〔3〕∵cn=〔2n-1〕2n ∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+〔2n-1〕2n ， ∴2Tn=1×22+3×23+····+〔2n-3〕2n+〔2n-1〕2n+1 因此：-Tn=1×2+〔2×22+2×23+···+2×2n 〕-〔2n-1〕2n+1， 即：-Tn=1×2+〔23+24+····+2n+1〕-〔2n-1〕2n+1， ∴Tn=〔2n-3〕2n+1+6

9. 已知数列的前n 项和为且，{}n a 11,4n S a =1112

n n n S S a --=++ 数列满足且．{}n b 1119

4

b =-

13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且 〔１〕求的通项公式；

〔２〕求证：数列为等比数列; 〔３〕求前n 项和的最小值． 9. 解： 〔1〕由得, ……2分

∴ ……………………………………4分111(1)24

n a a n d n =+-=

- 〔2〕∵,∴,

∴;1111111111113

()3324364324

n n n n n b a b n n b n b n ----=+-+=-+=-+

11111113

(1)2424

n n n n b a b n b n -----=--+=-+

∴由上面两式得,又

111

3n n n n b a b a ---=-1111913044

b a -=--=-

∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分{}n n b a -1

3

〔3〕由〔2〕得，∴

121111111

30()(1)30()243243

n n n n b b n n ----=--?--++?

= ，∴是递增数列 ………11分2211111

30()(1)20()023323

n n --+?-=+?>{}n b

当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时,11194b =-23104b =-3510

43b =- >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.4710

49

b =-

且…………………………13分31101(135)3010414312

S =++---=-

10. 已知等差数列的前9项和为153．{}a n

〔1〕求；

〔2〕若，从数列中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第项 ，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前n 项和.{}c n {}c n S n 10. 解：〔1〕 ………5分 〔2〕设数列 的公差为d ，则

23+=∴n a n

………9分

S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n - …12分

11.已知曲线：〔其中为自然对数的底数〕在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，……，依次下去得到一系列点、、……、，设点的坐标为〔〕．

〔Ⅰ〕分别求与的表达式； 〔Ⅱ〕求．

11.解：〔Ⅰ〕∵，

∴曲线：在点处的切线方程为，即．C x

y e =()1,P e ()1y e e x -=-y ex =

此切线与轴的交点的坐标为，x

1Q ()

0,0

∴点的坐标为． ……2分

1P ()

0,1

∵点的坐标为〔〕，

∴曲线：在点处的切线方程为， ……4分C

x

y e =n P (),n n x y ()n n x x n y e e x x -=- 令，得点的横坐标为．0y =1n Q +11

n n x x +=-

∴数列是以0为首项，为公差的等差数列．{}

n x 1- ∴，．〔〕 ……8分 〔Ⅱ〕∴

1234101232122112

234 ........(1) (1)234 ........(1) (2)(1)(2)(1)1........(1)1(1) [1](1)(1n n n n n n S e e e e n e eS e e e e n e e S e e e n e e n e S e e ==∴=++++∴=－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－得到：－－－－－－－－)

e

……14分

12. 在数列{}

)0,(2)2(,2111>∈-++==*

++λλλλN n a a ，a a n n n

n n 中 （1） 求证：数列是等差数列；2{()}n

n n

a λλ

-

（2） 求数列的前n 项和；{}n a n S

12. 解：〔1〕由，可得

11

1

22

()()1n n n n n n

a a λλ

λλ

+++-=-+

所以是首项为0，公差为1的等差数列. 2{

()}n n

n

a λλ

-

〔2〕解：因为即

设……①2312(2)(1)n n

n T n n λλλλ-=++???+-+-

3412(2)(1)n n n T n n λλλλλ+=++???+-+-……②

当时，①②得1λ≠-2341

(1)(1)n n n T n λλλλλλ+-=+++???+--

211(1)(1)1n n n λλλλ

-+-=---

211212

22

(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---

13. 在等差数列中，公差，且，{}

n a d 0≠56

a = 〔1〕求的值．

〔2〕当时，在数列中是否存在一项〔正整数〕，使得 ， ，

成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

〔3〕若自然数〔为正整数〕满足< << < <， 使得成等比数列，当时， 用表示 13. 解：〔1〕在等差数列中，公差，且，

则 …………………… 3分5

46462a a a , a a 12

=+∴+=

〔2〕在等差数列中，公差，且，

则 ()11233

014621n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=??=∴=-?+=?n N *∈

又 则 ……… 7分235m

a a a =()3631m 3

a , 12=m , m=92=∴-∴

〔3〕在等差数列中，公差，且，

则 1124461n a d 2

d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=??=-∴=-∈?

+=?

又因为公比首项，536

32

a q , a ===32a =1

23t t n a +∴=?

又因为 ………… 12分112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=?=+n N *

∈

14. 已知二次函数满足条件:①; ②的最小值为.

2

()f x ax bx =+(0)(1)f f =()f x 1

8-

〔Ⅰ〕求函数的解析式;

〔Ⅱ〕设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式;

〔Ⅲ〕 在〔Ⅱ〕的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的 值最小? 求出这个最小值.

14.解: 〔1〕 由题知: , 解得 , 故. ………2分 〔2〕 ,

2(1)(1)

2

112

14(2)

5n n n n T a a a n -----??==≥ ?

??

,

1

14(2)

5n n n n T a n T --??

∴==≥ ?

??

,

又满足上式. 所以……………7分1

11a T ==1

4()

5n n a n N -*??=∈ ?

??

〔3〕若是与的等差中项, 则,

从而, 得.

2

11

10()

22

n n n n

a a

b a

-=+22

39

565()

55

n n n n

b a a a

=-=--

因为是的减函数, 所以

1

4

()

5

n

n

a n N

-

*

??

=∈

?

??n

当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;

3

5

n

a≥

3()

n n N*

≤∈

n

b n

3

b

当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为.

3

5

n

a<

4()

n n N*

≥∈

n

b n

4

b

又, 所以,

34

33

55

a a

-<-

34

b b

<

即数列中最小, 且. …………12分{}

n

b

3

b

2

22

3

44224

56

55125 b

??

????

=-=-

??

? ?

????

??

??

15. 已知函数f〔x〕=x2－4，设曲线y＝f〔x〕在点〔xn，f〔xn〕〕处的切线与x轴的交点为〔xn+1,

0〕〔nN +〕，

〔Ⅰ〕用xn表示xn+1；

〔Ⅱ〕若x1=4，记an=lg，证明数列｛｝成等比数列，并求数列｛｝的通项公式；

〔Ⅲ〕若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

15. 解：〔Ⅰ〕由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：．

()

y f x

=(,())

n n

x f x()'()()

n n n

y f x f x x x

-=-

即．

2

(4)2()

n n n y x x x x --=-

令，得．0y =21(4)2()n n n n x x x x +--=-

即．

2

1

42n n n x x x ++=

显然，∴．0

n

x ≠12

2n n n x x x +=

+

〔Ⅱ〕由，知，同理． 故．

从

而

，

即

．

所

以

，

数

列

成

等

比

数

列．故．即．

2

1122()

22

n n n n x x x x ++++=--1122

lg

2lg 22

n n

n n x x x x ++++=--12n n a a +={}

n a 1111112

22lg

2lg 32n n n n x a a x ---+===-12lg 2lg 32n n n x x -+=-

从而所以

1

2232n n n x x -+=-1

1222(31)31n n n x --+=

- 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，

∴∴

1242031n n n b x -=-=>-1

11112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ 当时，显然．当时，1n =1123T b ==<1n >21

121111()()333n n n n b b b b ---<<<<

∴．12n n T b b b =+++111

111()33n b b b -<+++11[1()]

3113n b -=

-133()33n =-?<

综上，．

3n T <(*)

n N ∈