大学物理：3第三讲 电场力的功、电势、电势能

参
E dl
a
Ua
Ub
Wab q0
b
E dl
a
电场中某点的电势等于单位正电荷在该点所具有的 电势能。或者说等于将单位正电荷从该点移到参考 点时，电场力所做的功。
5
讨论：
Ua
Wa q0
参
E dl
a
★电势是描述电场本身性质的物理量，而与试验电 荷无关。
★ 电场中某点的电势是相对于参考点（电势零点） 而言的。
理由：比值 Wab / q0与 q0无关，仅由电场自身在a、b
两点间的性质决定。
讨论：电场中两点间的电势差与计算时所取的路径
无关，也与势能零点的选取无关。
4
电场中两点间的电势差等于该两点间
沿任一路径上各段电势差的代数和。
b
例：如图 Uab Uac Ucd Udb
cd E
2.电势
a
定义：
Ua
Wa q0
方法二：
U P E dl
☆直接用电势叠加原理计算:
UP
n i 1
qi
4 ri
或
UP
dq
q 4 r
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例1：求均匀带电球壳的电场中的电势分布，设球壳 带电q，球半径为R。
解：电场分布
E
0
q
40r2
rˆ
0rR Rr
以无限远为参考点。
q
1.球外： UP
E dl
P
o ER
q
r 40r2
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例3：半径为R的细圆环均匀带电Q。试求通过环心
的垂直轴线上一点p的电势。
解：分割带电环，按电势叠 加原理求和。
dU dq dq dl 4 0 r
y dl
R
o z
r R2 x2
r
x px
U p
dl L 40r 40r
dl 2 R
L
4 0 r
Q 2 R
Q
Q
U p 40r 40 R2 x2
E2
q1
4 0 r 2
(R1 r R2 )
E3
q1 q2
4 0 r 2
(R2 r R3)
三、电势能
静电场是保守力场。可引入与位置相关的能—电势能.
●将电荷由a移动到b，静电场力所做的功等于a、b两
点间的电势能之差，即
b
Aab q0
E dl
a
Wa Wb
★电场中某点a的电势能（规定参考点 Wb W参 =0 ）:
参
Wa Aa参 q0 a E dl
●电场中某点的电势能等于电场力将电荷从该点移 动到电势能零点（参考点）时电场力所做的功。
的a点处的电势。
解：以c点为参考点。
Ua
c
E dl
a
rb dr ra 20r
rc E cos90 dl
rb
ln rb ln rc
E
20 ra 20 ra
a
b
●不能以远为参考点，否则：
ra
Ua
E dl
a
dr
ra 20r
ln r
2 0
ra
rc c
rb rc
注意: 参考点也不能在细线上，即r = 0处。
◎若电荷分布在有限区域，则常选无穷远为参考点。 3
四、电势
1.电势差（电压）
定义：电场中a、b两点的电势差:
b
Wab q0
E dl
a
Uab
Ua
Ub
Wab q0
Aab q0
b
E dl
a
电场中a、b两点间的电势差等于将单位正
电荷由a移到b的过程中电场力所做的功。
●电势差是反映电场本身性质（能量）的物理量。
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例4：半径为R的簿圆盘均匀带电，电荷面密度为，
求其中垂线上一点 p的电势。 解：将圆盘分割成许多细圆环，对圆环电势叠加求和.
dU p
dq
4 0l
dq ds 2 rdr
dr
l
r
p
ox
x
l r2 x2
dU p
2 rdr 40 r2 x2
rdr 20 r2 x2
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U p dU p
★电场力做功与电势差的关系
Aab
q0
b
E dl
a
q0 Ua Ub
★任意电荷q0在场中某点a的电势能
Wa q0Ua
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电势参考点的选取原则 电势零点的选取可以有一定的任意性。但在一些 特殊情况下会受到限制。 理论上常选“无穷远”处为参考点。但只适用于 电荷分布在有限区域；或者电荷分布虽延伸到无限 远，但电荷的代数和为零。（例如带等量异号电荷 的两无限长细线）。 合理选择参考点可使问题简化。 实际中常用“大地”作参考点。
§5-4 电场的环路定理与电势
一、电场力做功的特性
dA F dl q0E dl
q0E cosdl
q0Edr
q0q
4 0 r 2
dr
Aab
b
dA
q0q
a
4 0
rb dr r ra 2
b
F dl q0
dr
r dr
ar
rb
ra
q
q0q
40
1 ra
1 rb
静电场力做功与路径无关, 只与电荷始末位置有关。
P Ei dl
n
Ui
i 1
n i 1
qi
4 ri
U P
n i 1
qi
4 ri
点电荷系的电场中某点的电势，等于各个点电荷单 独存在时在该点所产生电势的代数和。
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连续带电体的电势
P
UP
dUP
dq
q 4 r
r dq
q
5.电势的计算 方法一：
dU P
dq
4 r
☆先求出场强分布，再根据定义求出电势：
1
在点电荷系中，不难得出同样结论：
n
Aab
i 1
b
a q0Ei
dl
百度文库
n i 1
q0qi
40
1 rai
1 rbi
结论 静电场力是保守力。
二、静电场的环路定理
q0
E dl
n i 1
q0q
40
1 rai
1
rbi
ba
0
E dl 0
静电场强沿任一闭合环路的线积分恒等于零。 2
cos 0dr
q
4 0 r
r P dl
☆ 球外等效于置于球心处的点电荷的电势 11
2.球内：
UP
E dl
P
E内 0
R
r E内 dr R E外 dr
q E oP
Rr
R
E外
dr
q
4 0 R
U
q
U
(r)
4 0 r
q
Rr orR
40R
P.19
o
r
球壳及其内部为一等势体
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例2：求距线电荷密度为的无限长均匀带电细线为 ra
R
rdr
0 20 r2 x2
( R2 x2 x) 2 0
dr
l r ox
Up
2 0
(
R2 x2 x)
p
x
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例5：半径分别为 R1、R2和 R3的三个同心球壳均匀带电，
电量分别为 q1、q2 和 q3, 求空间电势分布。
解: 方法一、先写出电场分布，再根据电势定义求。
E1 0 (r R1)
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3.点电荷电场中的电势分布
以无限远为参考点，积分路径 沿矢径r方向。
PE
q r q0 dl
UP
E dl
P
q
cos0 dr
q
r 40r2
4 0 r
U
q0 U 0
U
o
r
q0
o
r
U 0
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4.电势叠加原理
P
点电荷系的电势
q1
n
UP
E dl
P
P
Ei dl
i 1
q3
q2
qn
n
i 1